2000年第11“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）

2000年第11届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）1．（6分）的相反数是A．2000 B． C． D．12．（6分）有如下四个命题：①有理数的相反数是正数；②两个同类项的数字系数是相同的；③两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和；④两个负有理数的比值是正数．其中真命题有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（6分）如图，平行直线、与相交直线、相交，图中的同旁内角共有A．4对 B．8对 C．12对 D．16对4．（6分），A． B． C． D．5．（6分）已知三个锐角的度数之和大于，则一定有一个锐角大于A． B． C． D．6．（6分）如果有理数，，，满足，则A． B． C． D．7．（6分）有三个正整数，，，其中与互质且与也互质．给出下面四个判断：①不能被整除②不能被整除③不能被整除④不能被整除其中，不正确的判断有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．（6分）已知是不为0的整数，并且关于的方程有整数根，则的值共有A．1个 B．3个 C．6个 D．9个9．（6分）已知代数式，当时，值为1，那么该代数式当时的值是A．1 B． C．0 D．210．（6分）在某班的新年晚会上，每个同学都写若干字条祝福他人，已知在任意四个人中，每一位都祝福其他三人中的至少一位，那么该班中没有得到其他同学祝福字条的同学最多有位．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）11．（6分）甲车的车轮转一周在地上的车轮印痕长为90厘米，乙车的车轮转时，车轮印痕长为20厘米，那么，甲车轮直径是乙车轮直径是倍12．（6分）已知：，，，，则．13．（6分）如果，，，且，则．14．（6分）若，则．15．（6分）已知，．则．16．（6分）如图，正方形的面积是1．，，，．则四边形的面积是．17．（6分）从甲地到乙地是上坡路，从乙地到丙地是下坡路，王燕同学自甲地途经乙地到丙地，立即再沿原路返回甲地，共用3.5小时，已知王燕上坡速度相同，下坡速度也相同，并且走上坡路所用时间比下坡路所用时间多0.5小时．那么，王燕走上坡路共用了小时．18．（6分）满足的正整数和的最大公约数记为．那么所有这样的值得和等于．19．（6分）在满足，，的条件下能达到的最大值是．20．（6分）某商店每月的销售额存放在计算机中．用4位数码表示月份：第1，2位是年份数的后两位，第3，4位是月份数．现有如下数据月份销售额（万元）月份销售额（万元）99091.200012.499101.300022.099111.500031.899122.000041.9某软件提供自动统计的功能：输入开始、结束月份（如9910，，计算机则会输出从开始月份到结束月份的总销售额．该软件的统计方法是：检查存放数据中每个月的信息，如果某一个月的4位数码的每一位都不大于结束月份对应位的数码，并且不小于开始月份对应位的数码，则将该月份的销售额计算在内，否则就跳过去，将计算机统计1999年9跃到2000年3月的总销售额记为，实际总销售额为，则等于．三、解答题（共3小题，满分30分）21．（10分）一个人的背包可以装12千克的物品，现有五件物品如下：物品重量（千克）33426价值（百元）12.361460该人把五件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最大，请你指出背包中所装物品是哪几件？他们的总价值是多少百元？22．（10分）已知长方形的面积是48，周长是28，则对角线长为．23．（10分）如图，和是高度同为的圆柱形容器，底面半径分别为和，且．一龙头单独向注水，用分钟可以注满容器．现将两容器在他们高度的一半处用一个细管连通（连通细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向注水，问分钟时，容器中水的高度是多少？（注：若圆柱体底面积半径为，高为，体积为，则．

2000年第11届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）1．（6分）的相反数是A．2000 B． C． D．1【分析】根据相反数的定义求解，即的相反数为．【解答】解：的相反数为，即为．故选：．【点评】掌握相反数的定义，即的相反数是，记住0的相反数还是0．2．（6分）有如下四个命题：①有理数的相反数是正数；②两个同类项的数字系数是相同的；③两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和；④两个负有理数的比值是正数．其中真命题有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：、0的相反数是0，而0不是正数．故本选项错误；、所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．如：与是同类项，但是它们的数字系数不相同．故本选项错误；、如：，，，，显然，．故本选项错误；、根据有理数的除法法则：两数相除，同号得正，可知两个负有理数的比值是正数．故本选项正确．故选：．【点评】本题考查了命题的真假判断．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假，关键是要熟悉课本中的定义、性质、法则等．3．（6分）如图，平行直线、与相交直线、相交，图中的同旁内角共有A．4对 B．8对 C．12对 D．16对【分析】每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数．【解答】解：直线、被所截有2对同旁内角；直线、被所截有2对同旁内角；直线、被所截有2对同旁内角；直线、被所截有2对同旁内角；直线、被所截有2对同旁内角；直线、被所截有2对同旁内角；直线、被所截有2对同旁内角；直线、被所截有2对同旁内角．共有16对同旁内角．故选：．【点评】本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角．4．（6分），A． B． C． D．【分析】根据的取值是不大于的整数，可以直接确定的取值范围．【解答】解：的取值是不大于的整数，，故选：．【点评】此题主要考查了取整函数的意义，确定不大于的整数的范围是解决问题的关键．5．（6分）已知三个锐角的度数之和大于，则一定有一个锐角大于A． B． C． D．【分析】设这三个锐角分别是，，，根据题意列出不等式即可求解．【解答】解：设这三个锐角分别是，，，三个锐角的度数之和大于，，若，，，三式相加得：，故一定有其中一个锐角大于．故选：．【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是对题意的正确把握与理解．6．（6分）如果有理数，，，满足，则A． B． C． D．【分析】找出特殊的值，运用举反例的方法，依次证明错误的选项，再利用绝对值不等式的性质即可得正确答案．【解答】解：令则，故选项错误，故选项错误．令，，则故选项错误．，故选项正确．故选：．【点评】此题采用特殊值法，举出反例，同时考查绝对值不等式的性质．7．（6分）有三个正整数，，，其中与互质且与也互质．给出下面四个判断：①不能被整除②不能被整除③不能被整除④不能被整除其中，不正确的判断有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】举出特例使三个正整数，，分别为3，2，5，代入四个判断逐一排除即可解得．【解答】解：令，，；①，能被2整除，所以此选项不正确；②，能被2整除，所以此选项不正确；③，能被5整除，所以此选项不正确；④，能被13整除，所以此选项不正确；综上所述，不正确的判断有3个．故选：．【点评】此题主要利用特殊数字进行验证推理，解答时注意数的选择．8．（6分）已知是不为0的整数，并且关于的方程有整数根，则的值共有A．1个 B．3个 C．6个 D．9个【分析】首先把进行变形，用含的代数式表示；再根据条件是不为0的整数和有整数解到可得中的四项均应为整数；又由是整数，可得到的值，再把的值代入中即可得到的值．【解答】解：有整数解式子中的四项均应为整数能被整除又为整数，2，4，，，当时：当时：当时：当时：当时：当时：故选：．【点评】此题主要考查了求方程的整数根与分类讨论的数学思想的综合运用，分类讨论时要考虑全面，难度较大，综合性较强．9．（6分）已知代数式，当时，值为1，那么该代数式当时的值是A．1 B． C．0 D．2【分析】先把代数式化简，然后把代入化简后的代数式，得，把代入化简后的代数式，得，根据前面的结果即可求出最后的值．【解答】解：，当时，原式，当时，原式，故选：．【点评】本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．10．（6分）在某班的新年晚会上，每个同学都写若干字条祝福他人，已知在任意四个人中，每一位都祝福其他三人中的至少一位，那么该班中没有得到其他同学祝福字条的同学最多有位．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】假设有、两同学没有得到祝福字条，现在任选另外两位同学记为、，则、、、组成一个四人组，由于至少祝福、、中的一位，而、没有得到任何同学的祝福；同理也得到的祝福，由、的任意性可以得出，除，之外，班上其他同学都得到了祝福字条，进而求解．【解答】解：假设有、两同学没有得到祝福字条，现在任选另外两位同学记为、，则、、、组成一个四人组，由于至少祝福、、中的一位，而、没有得到任何同学的祝福，所以得到的祝福；同理也得到的祝福，由、的任意性可以得出，除，之外，班上其他同学都得到了祝福字条．以上分析说明，未得到祝福字条的同学不能超过两人．在，给除他们之外的同学都写了祝福字条，其余同学也都给除、之外的所有同学写了祝福字条的情况下，题目条件满足，即存在恰有两位同学未得到祝福字条的情况，所以最多有两位同学未得到祝福字条．故选：．【点评】此题主要考查了推理论证，正确理解“至少一位”是本题解题的关键．二、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）11．（6分）甲车的车轮转一周在地上的车轮印痕长为90厘米，乙车的车轮转时，车轮印痕长为20厘米，那么，甲车轮直径是乙车轮直径是1.5倍【分析】根据乙车的车轮转时，车轮印痕长为20厘米，利用弧长的计算公式即可求得乙车车轮的半径，即可求解．【解答】解：甲车车轮的半径是：；根据弧长公式可得：乙车车轮的半径是：．甲车轮直径是乙车轮直径的倍数是：故答案是：1.5．【点评】本题主要考查了圆的周长公式以及弧长的计算公式，是需要熟记的内容．12．（6分）已知：，，，，则．【分析】本题根据题中所给条件，代入各项，根据运算法则化简计算即可．【解答】解：根据题中条件，将，，，的值代入，则故答案为：．【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握好运算法则即可，计算时要注意看清符号．13．（6分）如果，，，且，则36864．【分析】根据，，，且，可得，，，再代入计算即可求解．【解答】解：，，，且，，，，．故答案为：36864．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．14．（6分）若，则．【分析】由题意，可以令，然后让两式相减，即可求解．【解答】解：，令得，，①，令得，②，①②得，故答案为．【点评】此题主要考查代数式求解，解题的关键是令，然后求解，此题是一道经典类型的题，大家要掌握好．15．（6分）已知，．则4002000．【分析】解此题的思路有两种：一是直接代入；二是先将因式分解再代入计算．【解答】解：因式分解可得：，，，，．【点评】此题主要考查因式分解与数据代入，分析中第一种方法思路简单，但代起来麻烦，而第二种方法较简便．16．（6分）如图，正方形的面积是1．，，，．则四边形的面积是．【分析】要求四边形的面积，根据面积相减法，求出正方形的面积减去图中所有三角形的面积即可．【解答】解：正方形的面积为1，，，，，，，，，的面积；的面积；的面积；的面积；四边形的面积．故本题答案为．【点评】本题考查了正方形各内角均为直角，且各边均相等的性质，考查了直角三角形面积的计算，转换思想求四边形即求正方形面积减去所有三角形面积即可．17．（6分）从甲地到乙地是上坡路，从乙地到丙地是下坡路，王燕同学自甲地途经乙地到丙地，立即再沿原路返回甲地，共用3.5小时，已知王燕上坡速度相同，下坡速度也相同，并且走上坡路所用时间比下坡路所用时间多0.5小时．那么，王燕走上坡路共用了2小时．【分析】由于去时的上坡路即为回时的下坡路，去时的下坡路即为回时的上坡路．把王燕同学往返甲、丙两地中的上坡路、下坡路分别看作一个整体，可设王燕走上坡路用了小时，根据“走上坡路所用时间比下坡路所用时间多0.5小时”，可知她走下坡路用了小时，由“王燕同学自甲地途经乙地到丙地，立即再沿原路返回甲地，共用3.5小时”得到等量关系：走上坡路所用时间走下坡路所用时间小时，列出方程．【解答】解：设王燕走上坡路用了小时，则她走下坡路用了小时．由题意，有，解得．即王燕走上坡路共用了2小时．故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次方程在行程问题中的应用．将王燕同学往返甲、丙两地中的路程分为上坡路与下坡路，并把它们分别看作一个整体是解题的关键．18．（6分）满足的正整数和的最大公约数记为．那么所有这样的值得和等于6．【分析】立方数小于331的只有6个，依次写出这六个数再求出的值，再求出这六组数的最大公约数相加即可解答．【解答】解：7的立方等于343，故的值只能为1、2、3、4、5、6．当时，，他们的最大公约数为1，当时，，他们的最大公约数为1，当时，，他们的最大公约数为1，当时，，他们的最大公约数为1，当时，，他们的最大公约数为1，当时，，他们的最大公约数为1，．故答案为6．【点评】本题主要考查最大公约数与立方数，熟记常见数的立方值是解题的关键．19．（6分）在满足，，的条件下能达到的最大值是6．【分析】根据所给不等式求得用表示的不等式，进而乘以2加上得到的取值范围，根据的取值可得能达到的最大值．【解答】解：，，，又，，，，．的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题考查了函数最值问题，得到用表示的所求的代数式的取值范围是解决本题的关键．20．（6分）某商店每月的销售额存放在计算机中．用4位数码表示月份：第1，2位是年份数的后两位，第3，4位是月份数．现有如下数据月份销售额（万元）月份销售额（万元）99091.200012.499101.300022.099111.500031.899122.000041.9某软件提供自动统计的功能：输入开始、结束月份（如9910，，计算机则会输出从开始月份到结束月份的总销售额．该软件的统计方法是：检查存放数据中每个月的信息，如果某一个月的4位数码的每一位都不大于结束月份对应位的数码，并且不小于开始月份对应位的数码，则将该月份的销售额计算在内，否则就跳过去，将计算机统计1999年9跃到2000年3月的总销售额记为，实际总销售额为，则等于．【分析】求出，的值，可得结论．【解答】解：由题意，，，，故答案为：【点评】本题考查数与式，解题的关键是理解题意，求出，的值．三、解答题（共3小题，满分30分）21．（10分）一个人的背包可以装12千克的物品，现有五件物品如下：物品重量（千克）33426价值（百元）12.361460该人把五件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最大，请你指出背包中所装物品是哪几件？他们的总价值是多少百元？【分析】易得每千克最贵的为，接着为，，，那么根据背包可装的物品的重量及价值最大原则，装，，三件，进而计算总价值即可．【解答】解：背包可以装12千克的物品，每千克最贵的为，接着为，，，使得背包中物品的价值最大，装，，三件物品，总价为（百元）．答：背包中所装物品为，，，总价为百元．【点评】本题考查推理计算；得到能装的较贵的物品是解决本题的关键．22．（10分）已知长方形