专题01 绝对值考法全攻略（解析版）-七年级数学上册压轴题攻略（北师大版成都专用）

专题01绝对值考法全攻略【知识点梳理】1.绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|2.绝对值的意义①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。3.绝对值的化简：类型一、多个绝对值的化简例.已知，则化简代数式的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵﹣1≤x≤2，∴x﹣3＜0，x+1≥0，∴=（3﹣x）﹣2（x+1）＝﹣3x+1；故选：A．【变式训练1】若，则化简的结果为A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，．故选：C．【变式训练2】当1时，化简的结果是（）A．-2 B．4 C．2-2 D．2-4【答案】A【解析】，，，故选：A．【变式训练3】当1<<3时，化简|－3|＋|－1|的结果是？【答案】2【解析】∵，∴，，∴；故答案为2类型二、含字母的绝对值的化简例.化简（）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】当时，当时，故选C．【变式训练】若，则________．【答案】a+3．【解析】∵a＞3，∴2﹣a＜0，∴|2﹣a|+5＝﹣（2﹣a）+5＝a﹣2+5＝a+3．故答案为：a+3．类型三、求绝对值中字母的取值范围例.若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即的绝对值等于它的相反数，，故选：D．【变式训练1】若，则a的范围（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴．故选：A．【变式训练2】若，则的取值范围是___________．【答案】【解析】当时，，，，∴，成立，当，，，，，当时，，，∵，∴不成立．综上所述，的取值范围为．故答案为：．【变式训练3】若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，的取值范围是：．故选择：C．类型四、利用数轴化简绝对值例.已知实数a，b，c在数箱正的位置如图所示，则代数式（）A． B． C． D．a【答案】C【解析】由数轴可得：b＜a＜0＜c，∴a+b＜0，c-a＞0，b+c＜0，∴===故选C．【变式训练1】数a，b，c在数轴上的位置如图所示：（1）用“＞”或“＜”填空：a0，b0，c0，a+c0，b﹣c0，b+c0．（2）化简：|a+c|+|b﹣c|﹣|c+b|．【答案】（1）；（2）﹣a+2b﹣c【解析】（1）从数轴可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞|a|，所以a＞0，b＜0，c＜0，a+c＜0，b﹣c＞0，b+c＜0，故答案为：＞，＜，＜，＜，＞，＜；（2）由（1）知：a+c＜0，b﹣c＞0，c+b＜0，所以|a+c|+|b﹣c|﹣|c+b|＝﹣a﹣c+b﹣c+c+b＝﹣a+2b﹣c．故答案为：（1）；（2）﹣a+2b﹣c【变式训练2】已知，为的三边，化简．【答案】-2a+4b-2c【解析】|a-b-c|-2|b-c-a|+|a+b-c|=-（a-b-c）+2（b-c-a）+（a+b-c）

=-a+b+c+2b-2c-2a+a+b-c=-2a+4b-2c．故答案为：-2a+4b-2c【变式训练3】有理数，，在数轴上的位置如图所示．（1）_____，______，______．（用“”或“”或“”号填空）（2）化简：【答案】（1）；；；（2）．【解析】（1）由图可知，，，，，，；（2），，．，，，，，，，，，，故原式．故答案为：（1）；；；（2）．类型五、双重绝对值的化简例.已知，化简：【答案】.【解析】原式.故答案为：【变式训练】如果，则的值是__________.【答案】3.【解析】由，得.若，则，原式，若，则，原式，综上得其值为3.类型六、绝对值的非负性例.已知有理数、满足，则________．【答案】2【解析】，故答案为：2．【变式训练1】若，则________．【答案】-27【解析】∵，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3，∴，故答案为：-27．【变式训练2】若a，b，c均为整数，且，则的值为（）A．2 B．3 C．2020 D．2021【答案】A【解析】∵a，b，c均为整数，且|a-b|2021+|c-a|2020=1，∴|a-b|=1，|c-a|=0或者|a-b|=0，|c-a|=1，当|a-b|=1，|c-a|=0时，c=a，，所以|a-c|+|c-b|+|b-a|=|a-c|+|a-b|+|b-a|=0+1+1=2；当|a-b|=0，|c-a|=1，a=b，所以|a-c|+|c-b|+|b-a|=|a-c|+|c-a|+|b-a|=1+1+0=2；综合可知：|a-c|+|c-b|+|b-a|的值为2．故选：A．【变式训练3】如果，则、的值分别是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，解此方程组得：．故选：C．类型七、利用绝对值的性质求值例.若|x|＝6，|y|＝7，且xy＞0，那么x﹣y的值是（）A．13或﹣13 B．﹣13或1 C．﹣1或1 D．﹣1或﹣13【答案】C【解析】∵|x|=6，|y|=7，∴x=±6，y=±7．又∵xy＞0，∴x=6，y=7或x=-6，y=-7．

当x=6，y=7时，x-y=6-7=-1．当x=-6，y=-7时，x-y=-6-（-7）=1．

故选：C．【变式训练1】已知，，且，那么的值是（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】，，又，或，则或，故选：A．【变式训练2】已知|x|＝1，|y|＝3，若，则x－y＝____【答案】-2或-4【解析】∵|x|＝1，|y|＝3，∴x=±1，y=±3，∵，∴x+y＞0，又∵|x|＜|y|，∴x=1，y=3或x=-1，y=3，当x=1，y=3时，x－y＝1-3=-2；当x=-1，y=3时，x－y＝-1-3=-4．综上，当|x|＝1，|y|＝3，而且时，x－y＝-2或-4．故答案为：-2或-4．【变式训练3】已知，，且，则a-b=________．【答案】或【解析】因为，所以，因为，，所以，，当，时，，当，时，．综上所述：或．故答案为：或．类型八、绝对值的几何意义应用例1.在学习有理数时时我们清楚，表示3与－1的差的绝对值，实际上也可以理解为3与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x一5|也可以理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索并完成以下题目．（1）分别计算，的值．（2）如图，x是1到2之间的数(包括1，2)，求的最大值．【答案】（1）11；8；（2）3．【解析】（1）；（2）当时，＜当x=1时，原式的最大值为3．故答案为：（1）11；8；（2）3．例2.已知点M，N在数轴上分别表示m，n，动点P表示的数为x．（1）填写表格：m2n62M,N两点间的距离4_____________（2）由表可知，点M，N之间的距离可以表示为，则可以看成是表示为x的数到2的距离，若数轴上表示数x的点位于2与之间（包含2和），那么①_______．②的最小值=_______．（3）的最小值=________．【答案】（1）见解析；（2）①8；②7；（3）5050【解析】（1）2-（-3）=5，（-2）-（-5）=3，填表如下：m2n62M,N两点间的距离453（2）①表示数轴上x到2和x到-6的距离之和，∴；②表示数轴上x到1和x到-2以及x到-6的距离之和，∵表示数x的点位于2与-6之间（包含2和-6），∴当x与-2重合时，最小，即为1-（-6）=7；（3）表示数轴上x分别到1，-2，3，-4，...，99，-100的距离之和，∴当x==时，取最小值，最小值为==5050．故答案为：（1）见解析；（2）①8；②7；（3）5050【变式训练1】的最小值是______；，则x=_________【答案】53.5或-2.5【解析】当x≥3，|x－3|＋|x＋2|＝x－3＋x＋2＝2x－1，当x=3时取得最小值5；当－2＜x＜3，|x－3|＋|x＋2|＝3－x＋x＋2＝5，当x≤－2，|x－3|＋|x＋2|＝3－x－x－2＝1-2x，当x=-2时取得最小值5.∴的最小值是5.当x≥3时，∵，∴2x-1=6，解得x=3.5.当x≤－2，∵，∴1-2x=6，解得x=-2.5.所以第一个空填：5，第二个空填：3.5或-2