新教材适用2024-2025学年高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.2向量的减法运算素养作业新人教A版必修第二册

第六章6.26.2.2A组·素养自测一、选择题1．(2024·上海期中)下列式子中，不能化简为eq\o(PQ,\s\up6(→))的是(B)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))) B．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→))C．eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→)) D．eq\o(BQ,\s\up6(→))－eq\o(BP,\s\up6(→))[解析]A项，eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；B项，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(QP,\s\up6(→))；C项，eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(QC,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；D项，eq\o(BQ,\s\up6(→))－eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→)).故选B．2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(C)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))D．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0[解析]A项明显正确，由平行四边形法则知B正确；C项中eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，故C错误；D项中eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，故选C．3.如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝(D)A．eq\o(FD,\s\up6(→)) B．eq\o(FC,\s\up6(→))C．eq\o(FE,\s\up6(→)) D．eq\o(BE,\s\up6(→))[解析]由图可知，eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→)).4．八卦是中国古老文化的深邃概念，其深邃的哲理说明了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝(B)A．eq\o(OD,\s\up6(→)) B．eq\o(DO,\s\up6(→))C．eq\o(DA,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→)).5．(多选题)化简以下各式，结果为零向量的是(ABC)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))C．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))[解析]A项，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0；B项，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0；C项，eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝0；D项，eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))≠0.二、填空题6．在△ABC中，D是BC的中点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝d，则d－a＝c，d＋a＝b.[解析]由题意得d－a＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，d＋a＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.7．若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论：①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a.其中全部正确命题的序号为_①②④__.[解析]非零向量a、b互为相反向量时，模肯定相等，因此③不正确．8．如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，则：(1)与向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(OC,\s\up6(→))；(2)与向量eq\o(OA,\s\up6(→))相反的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))；(3)与向量eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).(填图中所画出的向量)[解析]因为O是正三角形ABC的中心，所以OA＝OB＝OC．因为四边形AOCD为平行四边形，所以AD∥OC，且AD＝OC．依据图形可知，与向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(OC,\s\up6(→))；由已知可得，OA∥CD，且OA＝CD，OA∥BE且OA＝BE.所以，与向量eq\o(OA,\s\up6(→))相反的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))；因为OA＝CD＝BE，OA＝OB＝OC，所以与向量eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).故答案为eq\o(OC,\s\up6(→))；eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))；eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).三、解答题9．化简下列各式：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))．[解析](1)eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→)).(2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→)).10.如图，已知向量a、b、c、d、e.(1)用a、d、e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b、c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a、b、e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用c、d表示eq\o(EC,\s\up6(→)).[解析](1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a.(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝e＋a＋b.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－c－d.B组·素养提升一、选择题1．下列各式结果是eq\o(AB,\s\up6(→))的是(B)A．eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)) D．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))[解析]eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).2．在平行四边形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，则必有(C)A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝0或eq\o(AB,\s\up6(→))＝0C．▱ABCD为矩形 D．▱ABCD为正方形[解析]因为在▱ABCD中，明显|eq\o(AD,\s\up6(→))|≠0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠0，则eq\o(AD,\s\up6(→))≠0，eq\o(AB,\s\up6(→))≠0，故A、B错误；因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，则|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，即平行四边形ABCD的对角线长相等，故▱ABCD为矩形，故C正确；因为没有确定|eq\o(AD,\s\up6(→))|，|eq\o(AB,\s\up6(→))|是否相等，故无法确定▱ABCD是否为正方形，故D错误．故选C．3．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(A)A．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0二、填空题4．已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满意eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形态为_平行四边形__.[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．5．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝_5或9__.[解析]当a与b方向相同时，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.三、解答题6．已知点B是▱ACDE内一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，试用a、b、c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(BE,\s\up6(→))、eq\o(CE,\s\up6(→))及eq\o(BD,\s\up6(→)).[解析]∵四边形ACDE为平行四边形．∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝c－a；eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－b；eq\o(BD,\s\up