适用于新教材2025版高考数学一轮总复习第五章三角函数解三角形课时规范练18任意角蝗制及三角函数的概念北师大版

课时规范练18基础巩固组1.(2024·江西抚州高三期末)已知角θ的终边经过点P(3,4),sinθ+2cos2θ=()A.2625 B.1625答案:D解析:由题意,r=32+42=5,则sinθ=45,cosθ=35,所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=352-452=-725,于是sinθ+2.(2024·河南洛阳高三期中)如图,圆O1内切于圆心角为π3,半径为3的扇形OAB,则图中阴影部分面积为(A.π6 B.π4 C.π答案:D解析:设圆O1的半径为r,圆O1与OA切于点E,与弧AB切于点F(如图).依题意可得∠AOO1=π6,OO1=2O1E=2r,依据对称性可知,O,O1,F三点共线,所以2r+r=3,所以r=1,所以图中阴影部分面积为12×32×π3-π·12=3.(2024·北京门头沟高三期末)“角α,β的终边关于x轴对称”是“sinα+sinβ=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由角α,β的终边关于x轴对称,可知sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0成立.当sinα+sinβ=0时,取α=π4,β=54π,则角α,β的终边不关于x轴对称,所以“角α,β的终边关于x轴对称”是“sinα+sinβ=4.(2024·湖北荆门高三期中)已知其次象限角θ的终边上有两点A(-1,a),B(b,2),且cosθ+3sinθ=0,则3a-b=()A.-7 B.-5 C.5 D.7答案:D解析:由cosθ+3sinθ=0得tanθ=sinθcosθ=-13,由三角函数定义知tanθ=-a=2b=-13,解得a=13,b=-6,所以35.(多选)(2024·湖北孝昌高三三模)已知角α的终边经过点P(8,3cosα),则()A.sinα=13 B.cos2α=C.tanα=±24 D.cosα=答案:ABD解析:由题意得|OP|=82+(3cosα)2=64+9cos2α,∴sinα=3cosα64+9cos2α,cosα=864+9cos2α,∴sinα64+9cos2α=3cosα,即sin2α(64+9cos2α)=9cos2α,∴sin2α[64+9(1-sin2α)]=9(1-sin2α),即9sin4α-82sin2α+9=0,解得sin2α=9(舍去)或sin2α=19.∵cosα>0,∴sinα>0,∴sinα=13,故A正确;由sinα=13,得cosα=226.(2024·江西赣州高三月考)已知角α与180°-α的顶点均在原点,始边均在x轴的非负半轴上,终边相同,且450°<α<720°,则α=(用角度表示).

答案:630°解析:由题意得,α=(180°-α)+k·360°,k∈Z,即α=(2k+1)·90°,k∈Z,而450°<α<720°,即450°<(2k+1)·90°<720°,解得2<k<72,k∈Z,所以k=3,α=630°7.(2024·湖北宜昌高三月考)若角α的终边落在直线y=3x上,角β的终边与单位圆交于点12,m,且sinαcosβ<0,则cosαsinβ=.

答案:±3解析:由角β的终边与单位圆交于点12,m,得cosβ=12,又sinαcosβ<0,所以sinα<0.因为角α的终边落在直线y=3x上,所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),则|OP|=1,即x2+y2=1,又y=3x,解得x=-12,y=-32,即cosα=-12.因为点12,m在单位圆上,所以122+m2=1,解得m=±32,即sinβ=±32,所以cosαsinβ=8.(2024·湖南长郡中学高三模拟)如图,已知扇形AOB的半径为10,以O为原点建立平面直角坐标系,OA=(10,0),OB=(6,8),则AB的中点C的坐标为.

答案:(45,25)解析:由三角函数定义得cos∠BOA=610∵2cos2∠COA-1=cos∠BOA=35∴cos∠COA=45∴sin∠COA=1-∴xC=10cos∠COA=45,yC=10sin∠COA=25,故点C的坐标为(45,25).综合提升组9.(2024·全国甲,理8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD2OA.当OA=2,∠AOB=60°时,s=A.11-3C.9-3答案:B解析:由已知得,△OAB为等边三角形,所以AB=OA=2,则OC=3,CD=2-3,所以s=2+(2-3)22创新应用组10.(2024·山东临沂高三月考)电影《流浪地球》中描述了运用发动机推动地球运动的场景.某科学爱好小组提出了一套新装置:运用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周,一端连接强力发动机P绷紧绳索,为地球供应动力.若绳索比地球赤道长2cm,则发动机距地面的高度约为取地球半径为6400