新教材适用2024-2025学年高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算素养作业新人教A版必修第二册

第六章6.26.2.3A组·素养自测一、选择题1．点C在直线AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于(D)A．－2eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) D．2eq\o(AB,\s\up6(→))[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).2．已知λ、μ∈R，下面式子正确的是(C)A．λa与a同向B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μaD．若b＝λa，则|b|＝λ|a|[解析]A项，当λ>0时正确，否则错误；B项，0·a是向量而非数0；D项，若b＝λa，则|b|＝|λa|.当λ>0时，|b|＝λ|a|，当λ<0则不成立．3．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(A)A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))不共线，所以AB与CD不平行．又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b，明显eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，所以AD∥BC，所以四边形ABCD为梯形．故选A．4．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么(D)A．k＝1且c与d同向B．k＝1且d与c反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且d与c反向5．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝(D)A．－4 B．－2C．2 D．4[解析]由图形可知a＝e1＋3e2，λ＝1,μ＝3，λ＋μ＝4.故选D．二、填空题6．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))则使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))的实数λ＝_－2__.[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，则A在线段BC上，且AC＝2AB，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，所以λ＝－2.故答案为－2.7．点C在线段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→)).[解析]∵eq\f(AC,CB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，且eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))同向，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))；又BC＝eq\f(2,5)AB，且eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))反向，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→)).8．已知向量a与b不共线，若向量ka＋2b与向量2a－b共线，则实数k＝_－4__.[解析]∵向量ka＋2b与向量2a－b共线，∴ka＋2b＝λ(2a－b)＝2λa－λb(λ∈R)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2λ,2＝－λ))，解得k＝－4.故答案为－4.三、解答题9．计算：(1)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(2)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[解析](1)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(2)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝(10－3－7)a＋(－8＋9)b＋(2－3)c＝b－c.10．已知两个非零向量e1、e2不共线，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e1＋23e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共线．[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．B组·素养提升一、选择题1．已知向量e1，e2不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2,eq\o(AC,\s\up6(→))＝4e1－e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝5e1－4e2，则(C)A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，B，D三点共线[解析]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝aeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝3，,－a＝2，))无解，故A，B，C三点不共线，A错误；设eq\o(AC,\s\up6(→))＝beq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5b＝4，,－4b＝－1，))无解，故A，C，D三点不共线，B错误；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝4e1－e2－(3e1＋2e2)＝e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝5e1－4e2－4e1＋e2＝e1－3e2，故eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，故B，C，D三点共线，C正确；eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝5e1－4e2－3e1－2e2＝2e1－6e2，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝ceq\o(BD,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2c＝3，,－6c＝2，))无解，故A，B，D三点不共线，D错误．故选C．2．(多选题)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是(ABC)A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b B．eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)bC．eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a[解析]在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a，故A正确；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故B正确；eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－a，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)AB＝b＋eq\f(1,2)(－b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故C正确；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a，故D不正确．故选ABC．3．(2024·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝(B)A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n[解析]因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DA,\s\up6(→))，即eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝2(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B．二、填空题4．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC．若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为eq\f(1,2).[解析]由已知eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，从而λ1＋λ2＝eq\f(1,2).5．e1，e2是平面内两个不共线的向量，且a＝e1＋ke2，b＝4ke1＋e2，若a∥b，则实数k＝±eq\f(1,2).[解析]因为a∥b，所以∃λ∈R，使得b＝λa成立，即e1＋ke2＝4kλe1＋λe2.因为e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝4kλ,k＝λ))，解得k＝±eq\f(1,2).故答案为±eq\f(1,2).三、解答题6．已知向量m，n不共线，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝3m－2n，eq\o(ON,\s\up6(→))＝m－3n，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝2m＋λn.(1)用m，n表示eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))∥eq\o(OQ,\s\up6(→))，求λ的值．[解析](1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝m－3n－(3m－2n)＝－2m－n.(2)因为eq\o(OM,\s\up6(→))∥eq\o(OQ,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))＝3m－2n，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝2m＋λn，所以∃t∈R，eq\o(OM,\s\up6(→))＝teq\o(OQ,\s\up