高考数学专项练习常见多元问题的本质

高考数学专项练习常见多元问题的本质【例1】（2021•道里模拟）已知函数．（1）讨论的零点个数．（2）若有两个零点，且，求证:．【例2】（2021•广东期末）已知函数有两个极值点，其中．（1）求实数的取值范围;（2）当时,求的最小值．【例3】（2021•长沙模拟）已知．（1）当时，求的单调区间;（2）若为的导函数，有两个不相等的极值点，求的最小值．【例4】（2021•芜湖模拟）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线的方程；（2）设函数有两个极值点，其中，求的最小值．【例5】（2021•福建月考）已知函数．（1）当时,求函数在上的最值．（2）若,是函数的两个极值点,且,求证:．【例6】(2021•东北三省一模)已知函数．（2）设，当时，其中，，求证:．【例7】(2021•浙江月考)已知函数（为常数），（为常数，）．（1）若函数有且只有一个零点,求的取值范围；（2）当（1）中的取最大值时,求证:．【例8】(2021•台州月考)已知函数．（1）若．求证;（2）若存在,使,求的最大值;（3）求证:当时,．【例9】（2011•辽宁卷）已知函数．（2）若函数的图像与轴交于,两点，线段的中点的横坐标为，证明：． 【例10】（2018•全国卷I）已知函数．（2）若存在两个极值点，，证明：．【例11】已知函数且．（1）若，，，当函数在上有三个不同的零点时,求实数的取值范围．（2）若，，是曲线上不同的两点,点是弦的中点,过点作轴的垂线交曲线于点,设直线的斜率为,曲线在点处的切线斜率为,求证:．【例12】（2020•攀枝花一模）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程;（2）若函数（其中是的导函数）有两个极值点、，且，求的取值范围．【例13】（2020•湖南模拟）函数有两个不同的极值点，，其中为实数．（1）求的取值范围;（2）求证:对任意，．【例14】（2020•长沙月考）已知函数，当函数有两个极值点，，且时，总有成立，求的取值范围．【例15】（2020•湖北期末）已知函数．若函数有两个极值点，，求证．【例16】（2020•河北期末）已知函数．（1）若在处取得极值，求过点且与在处切线平行的直线方程;（2）有两个极值点，，且时，恒成立，求实数的取值范围．【例17】（2020•江苏期末）已知函数，．（1）当时,求在上的最小值;（2）若与的图象恰有不同的交点,，求证:．达标训练达标训练1.(2021·和平月考)已知函数，为常数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个极值点，，且，求证:2.已知，，，其中为常数.是增函数，且存在零点(为的导函数).(1)求的值;(2)设，，是函数的图像上两点，(为的导函数)，求证:.3.已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)当时，讨论函数的单调区间;(2)当时，求证:对任意的，.4.(2021•江西模拟)设函数．(1)试讨论函数的单调性;(2)设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，，，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．5.(2021·张家口期末)已知函数．(1)若，使得恒成立，求的取值范围;(2)设，为函数图象上不同的两点，的中点为．求证:．6．(2021·武汉模拟)设函数．(1)讨论的单调性;(2)若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系并给出证明．7.(2020•绵阳模拟)己知函数，其中．(1)讨论函数的单调性;(2)设函数有两个极值点，(其中)，若的最大值为，