高中数学竞赛(预赛)训练试题+数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛（预赛）训练试题+数学竞赛初赛试题（含答案）

高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）

一'填空题（本题满分56分，每小题7分。）

1.已知复数机满足根+L=1,则/〃2008+/^=

m机2009

2,设/（x）=—cos?工+——sinxcosx+2,xe[——,—],则/（x）的值域为____________.

2264

CCC

3.设等差数列｛/｝的前〃项和为S.，若%>0,S|6<0,则3•，①，…,2臣中最大的是.

为ai5

4.已知。是锐角△ABC的外心，AB=6,AC=10,若Z5=xQ+yn,且2x+10y=5,则

cosZBAC=.

5.已知正方体ABCD-A]B|GR的棱长为1，。为底面ABCD的中心，M,N分别是棱4D1和CC1

的中点.则四面体。-MNB]的体积为

6.设AU8UC={1,2,3,4,5,6},且4nB={1,2},{1,2,3,4}=8UC，则符合条件的(A,8,C)共

有组.（注：A,B,C顺序不同视为不同组.）

7.设丁=sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx,则|y|的最小值为

8.设p是给定的正偶数，集合A。=｛x|20<X<2°T,X=3以weN｝的所有元素的和是

二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）

9.设数列｛。“｝（〃>0）满足a1=2,am+n+。吁“一机+〃=-（a2m+%,,），其中neN,m>«.

（1）证明：对一切〃eN,有a,.=2a“+]-a“+2；

（2）证明：一+—+•••+—!—<1.

a\a2a2（m

10.求不定方程*+々+当+3%,+3匕+54=21的正整数解的组数.

11.已知抛物线C:^=耳/与直线/：y=Zx-l没有公共点，设点P为直线/上的动点，过P作抛

物线C的两条切线，A,8为切点.

(1)证明：直线AB恒过定点Q;

12.设为正实数，且o+b+c+d=4.证明:

hcda

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一)

参考答案

一、填空题(本题满分56分，每小题7分。)

1.已知复数加满足=则一"项+―黑=0.

mm

2.设/(x)=；cos2x+*sinxcosx+2,xe»则/(%)的值域为f2,2-1]

cccc

3.设等差数列{/}的前n项和为S“，若‘5>0,S16<0,则3■，也，…，上中最大的是也.

qa2at5a8

4.已知。是锐角△ABC的外心，AB=6,AC=W,若布=x^+y而且2x+10y=5,则

cosZBAC--.

3

5.已知正方体ABC。—A心G4的棱长为1，。为底面A8CD的中心，M,N分别是棱45和CG

.7

的中点.则四面体。-MNB]的体积为—.

6.设AU5UC={1,2,3,4,5,6},且4nB={1,2},{1,2,3,4}uBUC，则符合条件的（A,B,C）共

有1600组.（注：A,B,C顺序不同视为不同组.）

7.设y=sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx,则|y|的最小值为20-1.

8.设p是给定的正偶数，集合={x|20<X<2PM,X=3"，加eN}的所有元素的和是

22/,|-2P~'.

二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）

9.设数列{”（心。）满足q=2,限+限-加+〃=；（“+如），其中

（1）证明：对一切〃eN,有a“+2=2。“+]-%+2；

（2）证明：—+—+•••+——<1.

a\a2^2009

证明⑴在已知关系式限+**+〃4期+%）中，令…〃’可得4=5

令〃=0,可得

«2,„=4am-2m①

令〃?=〃+2,可得

a

2n+2+。2-2=g（a2n+4+a2n）②

由①得。2"+2=4。“+1-2（n+1）,42=46-2=6,七"+4=4%+2-2（〃+2）,a2n=4an-In,

代入②，化简得q+2=2。,用一6,+2.------------------------7分

（2）由a,"=2a“+]-%+2，得（区,+2-。,+1）=（。“+|-七）+2，故数歹（]{/用一%}是首项为

a,-a0=2,公差为2的等差数列，因此。,用—a“=2〃+2.

于是=Z(4-4-i)+4=Z(2Z)+0=〃(〃+l).

k=lk=\

因为」-=---=-一一—(«>1),所以

%n(n+1)nn+1

-------)=1

2010---------2010

-----------------------------14分

10.求不定方程再+/+%3+3匕+3/+5%6=21的正整数解的组数.

解令再+无2+无3=%，匕+/=y，/=z,则x23,y22,z21.

先考虑不定方程x+3y+5z=21满足》?3,丁22,221的正整数解.

,/x>3,y>2,z>1,5z=21—x—3y<12,:.1<z<2.---------------------5分

当z=1时,有x+3y=16,此方程满足x23,y22的正整数解为(x,y)=(10,2),(7,3),(4,4).

当z=2时，有x+3y=ll,此方程满足的正整数解为(x,y)=(5,2).

所以不定方程x+3y+5z=21满足％23,丁22,221的正整数解为

(x,y,z)=(10,2,1),(7,3,1),(4,4,1),(5,2,2).----------------------------------10分

又方程玉+/+七=武工6^^/23)的正整数解的组数为©3,方程狷+七=y(y€^^,%22)的

正整数解的组数为C；T，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为

C：C；+C；C；+C；C；+C；C；=36+30+9+6=81.---------------------------15分

11.已知抛物线C：>=；/与直线/：y=Zx—1没有公共点，设点P为直线/上的动点，过P作抛

物线C的两条切线，A,8为切点.

(1)证明：直线AB恒过定点Q；

\PM\\QM\

⑵若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线C于M,N两点，证明：1-=

|PN||QN|

12

证明⑴设A(X1,y),则

由y=；/得y'=x,所以=

于是抛物线C在A点处的切线方程为y-y=$。一再)，即y=

设P(x0,kxn-1),则有依)-1=xox]-必.

设B(x2,y2)，同理有依,一1=x0x2-y2.

所以AB的方程为左毛-1=xox-y,即/(x-&)-(y-1)=0,

所以直线AB恒过定点Q(Z,1).------------------------7分

(2)PQ的方程为丁="二2(X—Q+l,与抛物线方程》=工，联立，消去y,得

XQ-K2

22攵%-4+(2&~-2)%—2k0

人0一人

xQ-k

设加(无3，%)，N(&,”)，则

2k%—4(2k?_加°_2k

七+匕①

x0-k

\PM\\QM\—xk—x-,

要证J,只需证明」—a=——I即

PM|QN|X4-X0x4-k

2X3X4一(Z+X。)(x3+g)+2女%=0②

由①知，

4%2(2攵之—2)x()-4Z22外)—4

②式左边二—---------U------(2+/)—2——+2k%

xQ-kx「k

2(2%~—2)XQ—4k—(k+)(2攵4)—4)+2Zrx)—k)

=----------------------------------------------=0.

x0-k

故②式成立，从而结论成立.--------------------------15分

12.设〃,上c,d为正实数，且Q+b+c+d=4.证明:

a2b2c2

-------1--------F—+—>4+(6Z-/?)2.

beda

证明因为a+Z?+c+d=4,要证原不等式成立，等价于证明

a2b，c2d2、.,4(a-b)2

—+—+—+——>a+h+c+d+---------------①--------5分

bcdaa+b+c+d

事实上，

a2b~c2d2

—+—+—+------(a+b+c+d)

bcda

a2b2c2d2

=(---\-h-2a)+(--FC-2h)+(---卜d-2c)+(----\-a-2d)

bcda

=-(a-b)2+-(b-c)2+-(c-J)2+-(t/-a)2②--------10分

bcda

由柯西不等式知

2

r(a"(b—c)2(c-d)(d—a)2”,八

[---—+----—+----—+-----](4+匕+C+d)

bcda

>(\a-b\Jt-\b-c\+\c-d\Jt-\d-a\)2③--------15分

又由|Z?—c|+|c-d|+|d—a以人一a|知

(\a-b\+\b-c\-^\c-d\+\d-a\)2>4(a-b)2④

由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立.----------------------20分

高中数学竞赛初赛试题

一选择题

1.如果集合AB同时满足AU6={L2.3.4}4口6={1},AH{1},8H{1}就称有序集对（A,B）为“好集

对”。这里的有序集对（A8）意指当（A,6）和（6,A）是不同的集对，那么“好集对”一共有（）

个。A6488c602

2.设函数〃0=电（10一+1）,方程外一2、）=广（2、）的解为（）

Alog2（lg2）-1fi.lg（log210）-1C.lg（lg2）+1D.log2（log210）+l3.设

A=100101102--499500是一个1203位的正整数，由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A

除以126的余数是（）

A78B36C6D0

4.在直角AA6c中，NC=90,,CD为斜边上的高,D为垂足.4）=。,3。="CD=a—b=l.设数列

{以}的通项为4=Y—ak-'b+_...+,攵=1,2,3,..则（）

A“2008="2007+“2006B.“2008=W2007—“2006

C.2007%0G8=2008U2（107D.2008M2（X）8=2007M2007

5.在正整数构成的数列1.357……删去所有和55互质的项之后，把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新

的数列{q},易见q=1,。2=3,%=7,。4=9,。5=13…那么“2007=

A9597B.5519C.2831D.2759

“A=Jl+cos3°+>/l+cos70+>/l+cosl1°+---Vl+cos87^,._

6,设则A:3=

2-&2+显

-----ri-----C.72-1D.V2+1

二.填空题

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有种.

8.设n>2007，且n为使得a“=卜花壶取实数值的最小正整数，则对应此n的an为

9.若正整数〃恰好有4个正约数，则称〃为奇异数，例如6,8,10都是奇异数.那么在

27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有个.

10.平行六面体ABCD-A4G〃中，顶点A出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角

都为60那么这个平行六面体的四条对角线AC},BD},DB„CA}的长度(按顺序)分别为

11.函数〃x),g(x)的迭代的函数定义为/⑴(x)=/(x)J(2)(x)=/(/(x)),…

f(n)(x)=/(产“(x))，g⑴(%)=g(x)，g⑵(%)=g(g(H),…g⑺(x)=g(g(T⑹其中〃=2,3,4...

—)=g(6)(y)

设〃x)=2x—3*(力=3X+2,则方程组./⑼(y)=g(6)(z)的解为

/⑼卜口⑼⑺

12.设平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,BD=2瓜则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的

旋转体的体积为_______________

三解答题

13.已知椭圆r：3x2+4/=12和点Q(q,0),直线/过。且与「交于A,8两点(可以重合).

1)若NAQB为钝角或平角(O为原点)，4=4,试确定/的斜率的取值范围.

2)设A关于长轴的对称点为A，E为椭圆的右焦点,q=4,试判断A和£8三点是否共线，并说明理由.

3)问题2)中，若qw4,那么4,RB三点能否共线?请说明理由.

14.数列｛x“｝由下式确定：xn+l)=1,2,3,…%=1,试求Igx2Go7整数部分左=[怆*2007]•(注["]

+1

表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.)

15.设给定的锐角“SC的三边长a,O,G正实数r,y,z满足生+处+竺=。,其中p为给定的正实

xyz

数，试求s=(〃+。一。)工2+(c+〃-b)y2+(rz+Z?-c)z2的最大值，并求出当s取此最大值时，x,y.z的取

值.

2008年安徽省高中数学联赛初赛试题

一、选择题

1.若函数y=/(x)的图象绕原点顺时针旋转/后，与函数y=g(x)的图象重合，则()

(A)g(x)=/T(-x)(B)g(x)=/T(x)(C)g(x)=-/T(-x)(D)g(x)=-/T(x)

2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为()

(A)椭圆(B)双曲线的一部分(C)抛物线的一部分(D)矩形

3.下列4个数中与8S1+cos2+…+COS2008最接近的是()

(A)-2008(B)-1(C)1(D)2008

4.四面体的6个二面角中至多可能有()个钝角。

(A)3(B)4(C)5(D)6

5.写成十进制循环小数的形式」-=0.000498…625498…625…，其循环节的长度为()

2(X)82(X)8

(A)30(B)40(C)50(D)60

2xi

6.设多项式(1+力豌=%+空+…+4008a\则4,4,…M200s中共有()个是偶数。

(A)127(B)1003(C)1005(D)1881

二、填空题

7.化简多项式£C：G"x(1-=

k=m

3-I-SnY

8.函数/(X)=/的值域为_________________

V5+4cosjc+3sinx

a+a

9.若数列｛an｝满足q>0,4='"-',(〃22),且具有最小正周期2008,则4=

1一的“一|

10.设非负数4,。2,…，。2008的和等于1，则+。2a3+…+。2007。2008+。2008。1的最大值

为.

11.设点A(l,l),B、C在椭圆V+3y2=4上，当直线BC的方程为.时，AABC的面积最大。

12.平面点集G=｛亿））|i=1,2,…=1,2,,易知G2可被1个三角形覆盖（即各点在某个三角形

的边上），G?可被2个三角形覆盖，则覆盖G2（0t需要个三角形。

三、解答题

13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放

2个小球，记7/为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求7；的分布。

14.设421,。“=［加二］,（〃22）,其中［x］表示不超过x的最大整数。证明：无论力取何正整数时，不

在数列｛an｝的素数只有有限多个。

15.设圆。।与圆O?相交于A,B两点，圆O3分别与圆。圆。2外切于C,D,直线EF分别与圆。一圆。2

相切于E,F,直线CE与直线DF相交于G,证明：A,B,G三点共线。

2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.函数/（x）=2x-\j4x-x2的值域是.

2.函数y=的图象与y="的图象关于直线x+y=l对称.

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于.

22

4.设椭圆工+上-=1与双曲线孙=1相切，则/=

t+\t-\----------------

5.设z是复数，则|z—11+1z—，|+1z+11的最小值等于.

6.设a,b,c是实数，若方程/+以2+陵+。=0的三个根构成公差为1的等差数列，则”，。应

满足的充分必要条件是.

7.设。是的内心，AB=5,AC=6,BC=1,OP=xOA+yOB+zOC,0<x,y,z<\,动

点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于.

8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是.

二、解答题（共86分）

2

9.（20分）设数列｛%｝满足％=0,a,,=-----,”22.求4的通项公式.

l+4i

10.（22分）求最小正整数〃使得A?+〃+24可被2010整除.

11.(22分)己知AABC的三边长度各不相等，D,E,尸分别是NA,NB,NC的平分线与边8C,

CA,4?的垂直平分线的交点.求证：AABC的面积小于SE户的面积.

12.(22分)桌上放有几根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多〃-1根火柴，

此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问:

当，=100时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.

2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题

一、填空题(每小题8分，共64分)

1.以因表示集合X的元素个数.若有限集合4,民。满足|AU3|=20,忸ljq=30,

|CUH=4。，则的最大可能值为.

2.设。是正实数.若/(x)=J—一+1(kJ+/x?+25+5〃2,xcR的最小值为10,则

a=.

3.已知实系数多项式/(x)=/+奴3+成+5+4满足/⑴=2,/(2)=4,/(3)=6,则

/(0)+/(4)的所有可能值集合为.

4.设展开式(5x+l)"=a。+qxd-Fa„x">若

a2on=皿H。0，卬，…，《,)，则”=.

5.在如图所示的长方体A8CD-EEG”中，设P是矩形

EFG”的中心，线段AP交平面BDE于点Q.若A3=3,

AD=2,AE=\,则PQ=.

6.平面上一个半径r的动圆沿边长。的正三角形的外侧

滚动，其扫过区域的面积为.

7.设直角坐标平面上的点(x,y)与复数x+yi一—对应.

若点A,B分别对应复数z,zT(z定R),则直线A3与x轴的交点对应复数

(用z表示).

8.设n是大于4的偶数.随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率

为.

二、解答题(第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分)

C，+a2

9.已知数列｛%｝满足q=%=l，aH=l-'"^"-(«>3),求的通项公式.

10.已知正整数6,a,,…,4都是合数，并且两两互素，求证：-+—+

4«2an2

11.设/(x)=aY+bx+c(a,6,c是实数)，当0<x<l时，0W/(x)Wl.求b的最大可能值.

12.设点A(—1,0),B(l,0),C(2,0),。在双曲线——y2=i的左支上，OHA,直线CQ交双曲

线--y2=1的右支于点£求证：直线与BE的交点P在直线x=g上.

2012年安徽高中数学竞赛初赛试题

2012年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷

_________(考试时间:2012年9月8日9:00—11:30)_______

二

题号—•总分

9101112

得分

评卷人

复核人

注意：1.本试卷共12小题，满分150分；2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答;

3.书写不要超过装订线；4.不能使用计算器。

一、填空题(每题8分，共64分)

1.设函数/(x)=arcsin(cos(x)),则/(/(/(x)))的最小正周期为。

2,设实数X,》满足x2-8x+y2-6y+24=0，则x-2y的最大值为

兀2乃3%4〃5乃

3.cos-----cos——+cos-------cos——+cos-=(用数字作答)。

11111111II

4.设两点在以线段48为直径的半圆弧上，线段AC和线段80相交于点E,

43=10,AC=8,BD=5五,则AZBE的面积为

*)72

厂y'x

5.设两个椭圆+2=1和=1有

r+2t-21+/+22〃一3/-5t2+/-7

公共的焦点，则/=0

如图，设正四棱锥P-43。的体积为1,反尸,G,"分别是线段

6.第6题图

AB,CD,PB,PC的中点，则多面体BEG-CFH的体积为

7.不超过2012且与210的最大公约数是1的正整数共有个。

8.设随机变量X〜N(l,2),丫〜N(3,4)。若P(X<0)=P(Y>。)，则a=

二、解答题(第9一10题每题25分，第11—12题每题18分，共86分)

9,已知△X6C的周长为1,sin2^+sin25=4sin/1sinB.

(1)证明：△力BC是直角三角形；(2)求△/8C面积的最大值。

10.设无穷数列｛%｝满足％=1,a„=a„_,+-L（W^2）.证明：

（1）当〃22时，an>42n；（2）不存在实数C使得/<"77万对所有“都成立。

11.设〃=2"',〃?是H整数。求所有满足/（丫2+1）=/*）?+!的〃次实系数多项式/（工）。

12.设〃22.对平面上的任意n个向量以M表示满足i<，且风%<0的

实数对（/・./）的个数。证明：时

2007解答

一、选择题

1.C.2.A.3.C.4,A.5.B6.D.

1.逐个元素考虑归属的选择.

元素1必须同时属于A和8.

元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于人和8,有2种选择：属于A但不属于8,属于

B但不属于A.

同理，元素3和4也有2种选择.

但元素2,3,4不能同时不属于4也不能同时不属于8.

所以4个元素满足条件的选择共有2x2x2-2=6种.换句话说，“好集对”一共有6个.答：C.

2.令)=吆(10-,+1),则y>0,且10-,+1=10>',10-t=10'-1,—x=lg(10>-1),

x=_lg(10f.从而/-'(x)=-lg(10x-l).

令2』,则题设方程为即lg(10z+l)=-lg(10,-1),

故IgKlO(+l)(10z-l)]=0,(10'+1)(10'-1)=1,10"=2,2r=lg2,

解得2、=，=glg2.从而x=log2(^lg2)=log2(lg2)-l.答：A.

3.注意126=2x7x9,2,7和9两两互质.因为A=0(mod2)t

A三(l+0+0)+(l+0+D+(l+0+2)+・・・+(4+9+9)+(5+0+0)

=100+101+1024--••+500=(100+500)x401-2=120300=6(mod9),

所以A=6(mod18).(1)

400400

又因为1()3三一1,io3"=(-l)«Onod7),所以A=Z(500—i)xl()3'-三£(500—i)x(-l)'

i=0i=0

=(500-499)+(498-497)+(496-495)+•••+(102-101)+100=300=6(mod7).(2)

由(1),(2)两式以及7和18互质，知A三6(mod126).答：C.

另解：126=2x63,63|999999,999999=106-1,(106-l)|(106"-1),〃=1,2,3,….所以

A=1OOX1OI20O+1O11O2X1O"94+1O31O4X1O"88+---+497498X106+499500

=100x(IO1200-1)+101102x(IO*194-1)+103104x(IO1188-D+•••+497498x(IO6-1)+

(100+101102+103104+---+497498+499500)

=9999993+100+(101102+49950®x200+2=999999B+100+60060200

=999999B+60060300=999999C+60360,

其中8,C为整数.从而A=637)+60360=63E+6,其中D,E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A

是偶数，所以A除以126的余数也为6.答：C.

4.易见CD~-AD-BD,即(。一人)2,又已知。一匕=1,故ab=l,a(a-l)-1,

a2-«-l=0；伏/?+1)=1,〃+人+i=o

b

显然u是首项为ak,公比为q=-L的等比数列的前k+1项和.故

ka

"A+l/入\&+l

aQ-q)a一(一。)

u=--------------=-----------------,k=1,2,3・・•.

k\-qa+b

从而

承+1/入\A+I八k+2/r\A:+2i

Uk+k=巴一噜+9一牛=」7d+2+右_(W+2_f]

a-vba+b

=-^—[ak+i(a+1)-(-Z,)*+,(-b+1)]=-^—[ak+1-a2-(-b)k+}-b2]

a+ba+b

k+3k+3

=-^-[a-(-b)]=uk+2,k=1,2,3--.

a+b

故答案为A.(易知其余答案均不成立)

另解：易见CO?^ADBD,即(a—b)2=ab,又已知a-b=\,故ab=\,

(a+b)2=(a-b)2+4ab=I2+4x|=5,。+8=有.解得

22

显然人是首项为a",公比为q=的等比数列的前％+1项和，故

a

k+lk+

a-(-b)'1rJ+V5y+i_(]-y+i]

=7[(—-k=1,2,3,….

1一4a+bV52

于是数列｛“J就是斐波那契数列

1,2,3,5,8,13,

uk=1,2,3，….所以答案为A.

它满足递推关系uk+2-Hjt+1+k，

5.｛4｝可看成是在正整数数列1,2,3,4,5,6,7,…中删去所有能被2,5或11整除的项之后,

把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理,1,2,3,4,­■­,m中不能被2,5或H整

除的项的个数为

mmmmmmm

x,n=m一++

~2yIT552210H0

其中不表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.

mmmmmmm

估值：设2007=x,“«m--------------1---------1----------1-----------

25115522101102511

141044A

-mx—x—x一=一m,故2007x—®5519.

2511114

又因为

5519551955195519551955195519

%55195519-++4-

-y-~rT~^nlo-Tio-

=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007,

并且5519不是2,5,11的倍数，从而知々007=5519.答：B.

又解：｛%｝可看成是在正整数数列1,2,3,4,5,6,7,…中删去所有能被2,5或11整除的项

之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2,5,11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，

-54,-53,…，0,1,2,3,…,55中不能被2,5,11整除的数为±1,±3,±7,±9；±13,±17,±19；±21,

±23,±27,±29；±31‘±37‘±39；±41‘±43‘±47,±49；±51,±53洪40个.(或由欧拉公式，1,2,3,,,,,

110中不能被2,5,11整除的数的个数，等于1,2,3,110中与110互质的数的个数，等于

0(110)=110x(1-1)X(1-1)x(1--)=40.)

2511

显然1,2,3,…中每连续110个整数，不能被2,5,11整除的数都有40个.所以，1,2,3,…，

110x50=5500中，不能被2,5,11整除的数有40x50=2000个.大于5500中的数不能被2,5,11

整除的，是5500+1,5500+3,5500+7,5500+9,5500+13,5500+17,5500+19,….所以5519是第2007个

不能被2,5,11整除的数，亦即所求的％007=5519.答：B.

=cosl.5°+cos3.5°+cos5.5°+・・・+cos43.5°；

=sin1.5°+sin3.5°+sin5.5°+—I-sin43.5°.

注意到

2cos^sinl°=sin(e+l°)-sin(e-l°),2sin6sinl°=cos(^-1°)-cos(^+1°),

所以

A

2sinl°x=(sin2.5°—sin0.5°)+(sin4.5°—sin2.5°)+(sin6.5°-sin4.5°)+…

4-(sin44.5°-sin42.5°)=sin44.5°-sin0.5°=2cos22.5°sin22°,

2sin1°=(cos0.5°-cos2.5°)4-(cos2.5°-cos4.5°)+(cos4.5°一cos6.5°)+…

V2

+(cos42.5°-cos44.5°)=cos0.5°-cos44.5°=2sin22.5°sin22°.

故A:N=(2sinrx:(2sinl°x=(2cos22.5°sin22°):(2sin22.5°sin22°)=cot22.5°

V2+1.答：D.

A

另解：=cosl.5°+cos3.5°+cos5.5°d—++cos43.5°，

-j==sin1.5O+sin3.5°+sin5.5°H----Fsin43.5°,

-=-\-i—==(cos1.5°+isinl.5°)+(cos3.5°+，sin3.5°)d—+(cos43.5°+isin43.5°)

V2V2

21

二(cosl.5°+isinl.5°)Z(cos20+isin20)”

〃=o

l-(cos2°+zsin20)22

(cosl.5°+isin1.5°)

l-(cos2°+1sin2°)

1—(cos440+isin440)

(cosl.5°+zsinl.5°)

l-(cos2"+zsin2")

2$/22°-2isin22°cos22°

=(cos1.5°+isin1.5°)

2sin21°-2/sin1°cosl°

_(cosl.50+zsin1.5°)(-2?sin22°)(cos22°+zsin22°)

(-2zsinl°)(cosr+isinl°)

sin22°

(cos22.5°+/sin22.5°).

sinl0

m二A工B口NSrn.Asin22°cos22.5°Bsin22°sin22.5°

因为一尸和一尸是实数，所以〒=-------------------，,=--------------------,

V2v2V2sinl°<2sinl0

,V2

2

“八ABcos22.502cos22.5°l+cos45°92+V2/-,

V2V2sin22.502sin22.5°cos22.5°sin45°V2V2

答：D.

二、填空题(满分54分，每小题9分)

7.解：设△力比三边长为整数，Q+〃+C=成等差数列，/A为钝角，则

必有2b=a+c,h2+c2<a2.

易解得60=a+b+c=b+(a+c)=b+2b=3b,b-20,«+c=40；b2<a2-c2

=(a+c)(a-c),BP202<40(〃-c)/0<a-c,因此50<(a+c)+(〃-c)=2Q,25<a,即

a>