湘教版春九年级数学下册湘教版版：第2章圆

第2章圆

2.1圆的对称性

01基础题

知识点1圆的有关概念

I.下列说法正确的是(c)

A.直径是弦，弦是直径B.过圆心的线段是直径

C.圆中最长的弦是直径D.直径只有一条

2.下列命题中正确的有(A)

①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，已知AB是。0的弦，且AB=OA,则NAOB=W_度.

4.如图，中，点A,0,D以及B,0,C分别都在同一条直线上.

(1)图中共有几条弦？请将它们写出来；

(2)请任意写出两条劣弧和两条优弧.

解：(1)2条，它们是弦AE,AD.

(2)答案不唯一，如：劣弧有余，笳等，优弧有旗，麻等.

知识点2点与圆的位置关系

5.(梧州中考)已知00的半径是5,点A到圆心0的距离是7,则点A与。0的位置关系是(C)

A.点A在。。上B.点A在。。内

C.点A在。。外D.点A与圆心0重合

6.已知。。的半径为6,点P在。0内，则0P的长可能是(A)

A.5B.6C.7D.8

7.圆心在坐标原点，其半径为7的圆，则下列各点在圆外的是(D)

A.(3,4)B.(4,4)

B.(4,5)D.(4,6)

8.已知。。的半径为R,点P到圆心。的距离为d,并且dmR,则点P与圆0的位置关系是点P在。0上

或。0外.

9.(教材习题变式)已知。0的半径为5cm,A为线段0P中点，试判断点A与。0的位置关系：

(l)0P=6cm；(2)0P=10cm；(3)0P=14cm.

解：(1)点A圆内.(2)点A在圆上.(3)点A在圆外.

知识点3圆的对称性

10.（三明中考）下列图形中，不是轴对称图形的是（A）

11.如图，。0与。0'是任意两个圆,把这两个圆看作一个整体，它是一个轴对称图形，请你作出这个

图形的对称轴.

解：如图所ZK.

02中档题

12.已知一点到圆的最小距离为1cm,最大距离为3cm,则圆的半径为(D)

A.1cmB.2cmC.3cmD.1cm或2cm

13.如图，点A,D,G,M在半圆0上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,

则下列各式中正确的是（B）

C.c>a>bD.b>c>a

14.（连云港中考）如图，在格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为

格点）.如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为

（B）

A.2*<r<p

B.诟<r<3侦

C.V17<r<5

D.5<r<V29

提示：从图中可计算出到点A的距离最近的是怀了=乖，其次是/不了=，万，这样的点有两

个，再次是4行下=/=3也，.•.恰好只有三个点在。A内，则半径r的范围为：p<r<3乖,故选择

B.

15.已知一个点到圆上的点的最大距离是6,最小距离是1,则这个圆的直径是7或的

16.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2,则其阴影部分的面积之和为2

21.（结果保留口

17.如图，在。。中，AB为弦，C,D在AB上，且AC=BD,请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出

来，并说明理由.

解：等腰三角形有两个：△OAB,AOCD.

理由：VOA=OB,.♦.△OAB是等腰三角形.AZA=ZB.XVAC=BD,OA=OB,

△OAC^AOBD./.OC=OD....△OCD是等腰三角形.

18.由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭.近日，A市气象局测得沙尘暴

中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向转移，如图，距沙尘暴中心300km的范围内将受其

影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？

解：过A作ACLBD于点C.

VZABC=45°,/.AC=BC,XAB=400km,AC2+BC2=AB2,/.2AC2=4002,可得AC

=20(h/2km<300km,即A市会受到这次沙尘暴的影响.

03综合题

5

19.如图，0P的圆心的坐标为(2,0),OP经过点B(4,

(1)求。P的半径r；

(2)0P与坐标轴的交点A,E,C,F的坐标；

(3)点B关于x轴的对称点D是否在。P上，请说明理由.

解：(1)过B点作x轴垂线，交x轴于G,连接BP.

则G坐标(4,0).

在R3BG中，PG=4—2=2,BG=1,PB=^22+(1)2=^.

(2)与x轴的左交点(2—卑，0),

与X轴的右交点(2+卑，0),

与y轴的正半轴交点y值/J(亨)金奇,

R

所以坐标为(0,

5

与y轴负半轴交点坐标为(0,一蓝).

4

(3)VOP关于x轴对称，

又TB与D关于x轴对称，

，D在。P上.

2.2圆心角、圆周角

2.2.1圆心角

01基础题

知识点1认识圆心角

1.下面四个图中的角，是圆心角的是(D)

2.将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4：4：5：7,则这四个扇形中，圆心角最大的是

(D)

A.54°B.72°C.90°D.126°

知识点2圆心角、弧、弦之间的关系

3.下列说法中，正确的是(B)

A.等弦所对的弧相等

B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等，所对的弦相等

D.弦相等所对的圆心角相等

4.如图，在。0中，AB=AC,ZA0B=122°,则NA0C的度数为(A)

n.J.乙乙D.J.乙uu.oiu.oo

10

第4题图第5题图

5.如图，A,B,C,D是。0上的四点，且AD=BC,则AB与CD的大小关系为(B)

A.AB>CDB.AB=CD

C.AB<CDD.不能确定

6.如图，已知在中，BC是直径，AB=DC,ZA0D=80°,则NABC等于(B)

A.40°B.65°C.100°D.105°

*

第6题图第7题图

7.如图所示，在。0中，AC,BC是弦，根据条件填空：

⑴若AC=BC,则6=留，ZA0C=ZB0C；

(2)若部=R,则AC=BC,NA0C=NB0C；

⑶若NAOC=NBOC,则徐R,AC=BC.

8.如图，在。0中，点C是定的中点，NA=50。，则NBOC等于40°.

第8题图第9题图

9.如图所示，在。0中，AB=AC,ZB=70°,则NA=40°,

10.(贵港中考改编)如图所示，AB是。。的直径，BC=CD=DE,ZC0D=34°,求NAE0的度数.

解：VBC=CD=DE,

NC0D=34°,

：.ZB0E=102°.

VOA=OE,

AZAEO=ZEAO=|ZBOE=51°.

02中档题

11.如图，AB是。0的直径，BC,CD,DA是。0的弦，且BC=CD=DA.则NBCD等于(C)

A.100°B.110°C.120°D.135°

第11题图第12题图

12.如图，在。0中，已知弦AB=DE,0C1AB,0F1DE,垂足分别为C,F,则下列说法中正确的个数为

(D)

①NDOE=NAOB；②信=施；③OF=OC；@AC=EF.

A.1B.2C.3D.4

13.已知翁，而是同圆的两段弧，且施=2而，则弦AB与2CD之间的关系为(B)

A.AB=2CDB.AB<2CDC.AB>2CDD.不能确定

提示：如图，在圆上截取施=而，连接DE,CE,贝！J有施=矗.，AB=CE.又CD+DE=2CD>CE=AB,:.

AB<2CD,故选B.

14.如图，A,B,C是。0上的三点，且有翁=R=琬.

(1)求NAOB,ZBOC,NAOC的度数；

(2)连接AB,BC,CA,试确定aABC的形状.

解：⑴,.脸=R=4,

/.ZAOB=ZBOC=ZAOC.

又,.,NA0B+NB0C+NC0A=360°,

二NAOB=NBOC=NAOC=120".

⑵•.,癌=R=琬，

.,.AB=BC=CA.

.'.△ABC是等边三角形.

15.如图，AB,CD是。0的两条直径，过点A作AE〃CD交。0于点E,连接BD,DE,求证：BD=DE.

证明：连接0E,

VOA=OE,

/.ZA=ZOEA.

；AE〃CD,

.•.NB0D=NA,ZDOE=ZOEA.

.,.ZBOD=ZDOE,

.\BD=DE.

16.如图，已知AB是。。的直径，M,N分别是AO,BO的中点，CM±AB,DNLAB.求证：AC=BD.

证明：连接oc,OD,,

・・・AB是。。的直径，M,N分别是AO,B0的中点,

A0M=0N.

VCM±AB,DN±AB,

/.Z0MC=Z0ND=90°.

(OM=ON,

在Rt^OMC和RtZkOND中，

OC=OD9

：.RtAOMC^RtAOND(HL).

/.ZC0M=ZD0N.

.,.AC=BD.

03综合题

17.如图，在。0中，AB,CD是两条弦，0E1AB,OF±CD,垂足分别为E,

(1)如果NA0B=NC0D,那么0E与OF的大小有什么关系？为什么？

(2)如果OE=OF,那么施与面的大小有什么关系？为什么？

解：(1)OE=OF,理由是：

V0E1AB,OF_LCD,0A=0B,OC=OD,

.•.N0EB=N0FD=90。，ZE0B=1zA0B,ZF0D=1zC0D.

■:ZA0B=ZCOD,/.ZE0B=ZFOD.

在AEOB和△FOD中，

Z0EB=Z0FD,

ZE0B=ZF0D,

OB=OD,

•••△EOBg△FOD(AAS).

A0E=0F.

(2)AB=CD,

理由是：・・・OEJ_AB,OF±CD,

.•.Z0EB=Z0FD=90°.

OB=OD,

在RtZiBEO和Rtz!M)FO中，_

OE=OF,

ARtABEO^RtADFO(HL).

ABE=DF.

VAB=2BE,CD=2DF,

AAB=CD.

/.AB=CD.

2.2.2圆周角

第1课时圆周角定理及其推论1

01基础题

知识点1认识圆周角

1.（柳州中考）下列四个图中，Nx是圆周角的是（C）

ABCD

知识点2圆周角定理

2.（铜仁中考）如图所示，点A,B,C在圆0上，NA=64°,则NBOC的度数是（C）

A.26°B.116°

3.如图，/XABC内接于。0,若NA=a,则N0BC等于（D）

A.1800-2aB.2a

C.90°+aD.90°-a

4.（娄底中考）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心0上，斜边和一直角边分别与。0相交于A,B

两点，P是优弧AB上任意一点（与A,B不重合），则NAPB=30°.

第4题图第5题图

5.（株洲中考）如图，点A,B,C都在圆0上，如果/A0B+NACB=84°,那么NACB的大小是翁二.

知识点3圆周角定理推论1

6.（宜昌中考）如图，点A,B,C,D都在。0上，AC,BD相交于点E,则NABD=(A)

A.ZACDB.ZADB

C.ZAEDD.ZACB

第6题图第7题图

7.如图，已知AB,CD是。0的两条直径，ZABC=28°,那么NBAD=(A)

A.28°B.42°C.56°D.84°

8.如图，。0中，弦AB,CD相交于点P,若NA=30°,ZAPD=70°,则NB等于(C)

9.如图，BD是。。的直径，点A,C在。0上，AB=BC,NA0B=60。，则NBDC的度数是(D)

A.60°B.45°

C.35°D.30°

10.(邵阳中考)如图所示，弦AB,CD相交于点0,连接AD,BC,在不添加辅助线的情况下，请在图中找

出一对相等的角，它们是答案不唯一，如：NA=NC,NB=ND,NA0D=NB0C,NA0C=NB0D.

11.如图，已知A,B,C,D是。0上的四个点，AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD.求证：DB平分

ZADC.

/.AB=BC.

二NBDC=NADB.

平分NADC.

02中档题

12.(南宁中考)如图，点A,B,C,P在。0上，CD±0A,CE±0B,垂足分别为D,E,ZDCE=40°,则

ZP的度数为(B)

A.140°B.70°

C.60°D.40°

/>/

(/

(•D

第12题图第13题图

13.(永州中考)如图，P是。。外一点，PA,PB分别交。。于C,D两点，已知融和而所对的圆心角分别为

90°和50°,则NP=(D)

A.45°B.40°

C.25°D.20°

14.如图，边长为1的小正方形构成的格中，半径为1的。0的圆心0在格点上，则NAED的正弦值等于

击.

第14题图第16题图

15.已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°.

16.(黔西南中考)如图所示，在。0中，已知NBAC=NCDA=20°,则NABO的度数为50°.

17.(永州中考)如图，在。0中，A,B是圆上的两点，已知NA0B=40°,直径CD〃AB,连接AC,则

ZBAC=35°.

18.如图，点A,B,C三点在。0上，过C作CD〃AB与。0相交于D点，E是而上一点，且满足AD=DE,

连接BD与AE相交于点F.求证：△AFDs/^ABC.

证明：VAB/7CD,

.,.ZBAC=ZACD,VAD=DE,/.AD=DE.:.ZDAE=ZAED.:.NDAE=ZAED=ZACD=Z

BAC.VZADF=ZACB,NDAE=NBAC,/.△AFD^AABC.

03综合题

19.如图，。。的半径为1,A,P,B,C是。0上的四个点，ZAPC=ZCPB=60°.

(1)判断AABC的形状，并证明你的结论；

(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明你的结论.

p.

D

解：(DAABC是等边三角形.

证明如下：在00中,

•.,NBAC与NCPB是R所对的圆周角，NABC与NAPC是前所对的圆周角，，NBAC=NCPB,

ZABC=ZAPC.又；NAPC=NCPB=60°,AZABC=ZBAC=60°....△ABC为等边三

角形.(2)在PC上截取PD=AP,XVZAPC=60°,.,.△APD是等边三角形./.AD=

AP=PD,NADP=60°,

即NADC=120°.又,.,NAPB=NAPC+NBPC=120°,/.ZADC=ZAPB.在△APB和aADC

ZAPB=ZADC,

中，'ZABP=ZACD,.,.△APB丝△ADC(AAS).；.BP=CD.XVPD=AP.：.CP=

,AP=AD,

BP+AP.

第2课时圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质

01基础题

知识点1圆周角定理推论2

1.(福建中考)如图，AB是。。的直径，C,D是。0上位于AB异侧的两点.下列四个角中，一定与NACD

互余的角是(D)

A.ZADCB.ZABD

C.ZBACD.ZBAD

第1题图第2题图

2.如图，小华同学设计了一个量直径的测量器，标有刻度的尺子0A,0B在0点钉在一起，并使它们保持

垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位长度，0F=6个单位长度，则圆的直径为

(B)

A.12个单位长度B.10个单位长度

C.4个单位长度D.15个单位长度

3.(娄底中考)如图，已知AB是00的直径，ZD=40°,则NCAB的度数为(C)

A.20°B.40°C.50°D.70°

DD

第3题图第4题图

4.如图，CD是。。的直径，已知Nl=30°,则N2=(C)

A.30°B.45°

C.60°D.70°

5.(常州中考)如图，把直角三角形的直角顶点0放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点

M,N,量得0M=8cm,0N=6cm,则该圆玻璃镜的半径是(B)

A.cm

B.5cm

C.6cm

D.10cm

6.如图，AB是。。的直径，点D在。0上，ZA0D=130°,BC〃OD交。。于C,求NA的度数.

解：VZA0D=130°,/.ZBOD=50°.VBC/70D,AZB=ZB0D=50°.

AB是。。的直径，・・・NACB=90°.AZA=90°-NB=40°.

知识点2圆内接四边形对角互补

7.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若NBAD=105。，则NDCE的大小是(B)

A.115°B.105°

8.(常德中考)如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，已知NBOD=100°,则NBCD的度数为(D)

A.50°B,80°

C.100°D.130°

9.(岳阳中考)如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，已知NBCD=110°,则NBAD=70°.

10.如图，已知NEAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC.求证：AD平分NEAC.

证明：VZEAD+ZBAD=180°,ZDCB+ZBAD=180°,

.\ZEAD=ZDCB.

VBD=DC,

-,.ZDBC=ZDCB.

又,.,/DBC=NDAC,

二ZEAD=ZDAC,即AD平分NEAC.

02中档题

11.圆内接四边形ABCD中，若NA：NB：NC=1：2：5,则ND等于(B)

A.60°B.120°C.140°D.150°

12.如图，AB为。。的直径，关于角p,q,r,s之间的关系(l)p=2q；(2)q=r；(3)p+s=180°中，正

确的是(A)

A.只有(1)和(2)B.只有(1)和(3)

C.只有⑵和(3)D.(1),⑵和⑶

13.(达州中考)如图，半径为3的。A经过原点0和点C(0,2),B是y轴左侧。A优弧上一点，贝!JtanN

OBC为(C)

A1R入历「亚n2也

A.3D.ZyjZ4”3

14.如图，AB为。0的直径，点C,D在。0上，若NA0D=30°,则NBCD的度数是105°.

15.如图，在。0中，AC与BD是圆的直径，BE±AC,CF±BD,垂足分别为E,F.

(1)四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；

(2)求证：BE=CF.

解：(1)四边形ABCD是矩形.理由如下:

•；AC与BD是圆的直径，

.*.ZABC=ZADC=90o,

ZBAD=ZBCD=90°.

四边形ABCD是矩形.

⑵证明：,.•BE_LAC于E,CFJ_BD于F,

.,.ZBE0=ZCF0=90°.

在aBOE和△COF中，

ZBE0=ZCF0,

,NB0E=NC0F,

OB=OC,

.,.△BOEg△COF(AAS).

.,.BE=CF.

16.如图，已知点A,B,C,D均在。。上，CD为NACE的平分线.

(1)求证：4ABD为等腰三角形；

(2)若NDCE=45°,BD=6,求。。的半径.

解：(1)证明；CD平分NECA,

.,.ZECD=ZDCA,

VZECD+ZDCB=180",ZDCB+ZBAD=180",

.*.ZECD=ZDAB.

又,.•/DCA=NDBA,

.,.ZDBA=ZDAB.

.,.DB=DA.

...△ABD是等腰三角形.

(2)VZDCE=ZDCA=45",

.*.ZECA=ZACB=90o.

.♦.AB是直径..,.NBDA=90°.

VBD=AD=6,

.,.AB=^BD2+DA2=^62+62=6V2.

/.OO的半径为队p.

03综合题

17.如图，在。0中，直径AB的两侧有定点C和动点P,点P在靠上运动(不与A,B重合)，过点C作CP

的垂线，与PB的延长线交于点Q.

(1)试猜想：4PCQ与4ACB具有何种关系？(不要求证明)

(2)当点P运动到什么位置时，AABC也aPCB?并给出证明.

解：⑴△PCQs/iACB.

(2)当8为半圆时，

△ABC^APCB.

证明：•••AB是直径，

.*.ZACB=90°.

••,8为半圆，

...CP是直径.

.,.ZPBC=90°,AB=CP.

VCB是公共边，:.RtAABC^RtAPCB(HL).

微课堂

*2.3垂径定理

01基础题

知识点1垂径定理

1.(长沙中考改编)如图，在。0中，弦AB=6,圆心0到AB的距离0C=2,则。。的半径长为(B)

2.如图，AB是。。的弦，0D_LAB于D,交。。于E,则下列说法错误的是(D)

A.AD=BDB.ZAOE=ZBOE

C.AE=BED.OD=DE

3.(珠海中考)如图，在。0中，直径CD垂直于弦AB,若NC=25°,则NB0D的度数是(D)

A.25°B.30°C.40°D.50°

4.如图，AB是。0的弦，半径OC_LAB于点D,若。0的半径为5,AB=8,则CD的长是(A)

A.2B.3

C.4D.5

5.(湘西中考)如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB于点E,OC=5cm,CD=6cm,则0E=4cm.

6.如图，在。0中，直径AB_L弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为空.

7.如图，AB是。0的直径，弦CDLAB于点E,点M在。0上，MD恰好经过圆心0,连接MB.若CD=16,

BE=4,求。。的直径.

B

解：VAB±CD,CD=16,

.*.CE=DE=8.

设OB=x,又；BE=4,

/.X2=(X-4)2+82.

解得x=10.

的直径是20.

知识点2垂径定理的实际应用

8.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆圆心0到水面的距离OC是6,

则水面宽皿是（A）

A.16

B.10

C.8

D.6

9.（邵阳中考）如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=lm,现

计划安装玻璃，请帮工程师求出施所在圆0的半径r.

解：由题意知0A=0E=r.

VEF=1,.,.0F=r-l.

V0E±AB,

.\AF=~AB=^X3=1.5.

在RtZkOAF中，OF+A^MOA?,

1Q

即(r—iy+L52=r2.解得r=g

o

IQ

即圆0的半径为可m.

o

02中档题

10.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心0,则折痕AB的长为（C）

D.2#cm

11.（西宁中考）如图，AB是。。的直径，弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,NAPC=30°.则CD的长为

(0

I)

H

A.V15

B.2小

C.2y/15

D.8

提示：作OH_LPD于H,连接0D.AP=2,BP=6,则A0=B0=4,则P0=2,又N0PH=NAPC=30°,

.,.OH=1,0D=0B=4,在RtZiHOD中，HD=A/0D2-0H2=V15,.".CD=2HD=2V15.

12.已知。0的半径为13cm,弦AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm,贝ljAB,CD之间的距离为(D)

A.17cmB.7cm

C.12cmD.17cm或7cm

13.如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点，点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),则

点B的坐标为(6,0).

14.（黔东南中考）如图，AJD是。。的直径，弦BC_LAD于E,AB=BC=12,则0C="但.

15.如图，AB是。。的直径，点P是。。上的动点（P与A,B不重合），连接AP,PB,位点0分别作OE_LAP

于E,0FLBP于F.若AB=12,当点P在。0上运动时，线段EF的长会不会改变.若会改变，请说明理由；

若不会改变，请求出EF的长.

解：EF的长不会改变.EF=6.

,••OE_LAP于E,OF_LBP于F,且0为AB中点,

.,.AE=EP,BF=FP.

.".EF=^AB=6.

16.（湘潭中考）如图，CD为。。的直径，弦AB交CD于点E,连接BD,0B.

（1）求证：△AECS/XDEB；

⑵若CDLAB,AB=8,DE=2,求00的半径.

解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，

得NA=ND,ZC=ZABD,

.,.△AEC^ADEB.

(2)VCD±AB,0为圆心，

，BE=]AB=4.

设。0的半径为r,

VDE=2,则0E=r-2.

...在RtZkOEB中，

由勾股定理得：0E2+EB2=0B2,

即&-2尸+42=1,解得r=5.

即。。的半径为5.

03综合题

17.已知NMAN=30°,0为边AN上一点，以0为圆心，2为半径作。0,交AN于D,E两点，设AD=x.

当x为何值时，。。与AM相交于B,C两点，且NBOC=90°?

解：作OFJ_BC于点F.

VZB0C=90°,0B=0C=2,

.,.Z0BC=45°,

BC=^0B2+0C2=2A/2.

V0F±BC,

，BF=JBC=/，ZB0F=45°.

Ct

.,.Z0BF=ZB0F,

.♦.0F=BF=也.

VZMAN=30",.,.0A=20F=2A/2.

：.M)=2yj2-2.

即当x=2m一2时，ZB0C=90°.

小专题(二)与圆的基本性质有关的计算与证明

1.已知：如图，A,B,C,D是。。上的点，Z1=Z2,AC=3cm.

(1)求证:AC=BD；

⑵求BD的长.

.••CD=AB,

.•.CD+BC=AB+BC.

.,.AC=BD.

(2)VAC=DB,

.,.AC=BD.

VAC=3cm,

ABD=3cm.

2.(南京中考)A,B是。。上的两个定点，P是。。上的动点(P不与A,B重合)，我们称NAPB是。0上关

于点A,B的滑动角.已知2APB是。。上关于点A,B的滑动角

(1)若AB是。。的直径，则NAPB=90°；

(2)如图，若。。的半径是1,皿=业求NAPB的度数.

解：(2)连接OA,OB,AB.

的半径是1,即OA=OB=1,

又乖，

.*.0A2+0B2=AB2.

由勾股定理的逆定理可得NA0B=90°.

ZAPB=|zA0B=45".

3.如图，AB是00的直径，C,D两点在。0上，若NC=45°.

(1)求NABD的度数；

(2)若NCDB=30°,BC=3,求。0的半径.

解：(D连接AD.

VZBCD=45°,

.,.ZDAB=ZBCD=45".

TAB是。0的直径，

.,.ZADB=90°.

AZABD=45°.

(2)连接AC.

TAB是。0的直径，

.,.ZACB=90".

VZCAB=ZCDB=30",BC=3,

AAB=6.

.•.(DO的半径为3.

4.如图，A,P,B,C是圆上的四个点，ZAPC=ZCPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.

(1)求证：4ABC是等边三角形；

(2)若NPAC=90°,AB=2A/3,求PD的长.

解：(1)证明：；A,P,B,C是圆上的四个点，ZAPC=ZCPB=60",

-,.ZABC=ZAPC,ZCPB=ZBAC.

又,.•NAPC=NCPB=60°,

.,.ZABC=ZBAC=60".

•\AC=BC,且NBAC=60°.

...△ABC是等边三角形.

(2)•.'△ABC是等边三角形，

.,.ZACB=60°,AC=AB=BC=2V3.

VZPAC=90",.,.ZDAB=30°

.,.ZD=30°.

/.DC=2AC=4V3.

ABD=2^3.

•..四边形APBC是圆内接四边形，ZPAC=90°,

.,.ZPBC=90°,.,.ZPBD=90".

在RtaPBD中,PD=^~=患=4.

5.如图，一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度DF为20

米.求：

(1)桥拱的半径；

(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米?

解：⑴作EFLAB于F,延长EF交圆于点D,

则由垂径定理知，

点F是AB的中点，AF=FB=|AB=40(X)>

EF=ED-FD=AE-DF,

由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+(AE-DF)2.

设圆的半径是r,

则r2=402+(r-20)2,

解得r=50.

即桥拱的半径为50米.

(2)设水面上涨后水面跨度MN为60米，

MN交ED于H,连接EM,

则MH=NH=|MN=30(米)，

.,.EH=^502-302=40(米).

,.,EF=50-20=3Q(米)，

.,.HF=EH-EF=10X.

6.(宁夏中考)已知△ABC,以AB为直径的。0分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.

(1)求证：AB=AC；

(2)若AB=4,BC=2A/3,求CD的长.

解：⑴证明：

.,.ZEDC=ZC,

VZEDC+ZADE=180°,ZADE+ZB=180",

.,.ZEDC=ZB.

/.ZB=ZC./.AB=AC.

⑵连接AE,•.'AB为直径，

/.AEIBC.

由⑴知AB=AC,

.*.BE=CE=1BC=V3.

在△ABC与AEDC中，

VZC=ZC,ZCDE=ZB,

/.△ABC^AEDC.

.CE_CD

--AC=BC'

ACE•CB=CD•CA.

VAC=AB=4,

・・・、/§X2、/§=4CD.

3

ACD=-

乙

7.如图，在△ABC中，AB=BC=2,以AB为直径的。0分别交BC,AC于点D,E,且点D为BC的中点.

(1)求证：AABC为等边三角形；

(2)求DE的长；

(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P,使APBD且AAED,若存在，请求出PB的长；若不存在,

请说明理由.

视频讲解

解：(1)证明：连接AD.

TAB是。。的直径，

.,.ZADB=90°.

•••点D是BC的中点，

•••AD是线段BC的垂直平分线.

/.AB=AC.

VAB=BC,.,.AB=BC=AC.

.•.△ABC为等边三角形.

⑵连接BE.

TAB是直径，...NAEB=90°.

ABEIAC.

•••△ABC是等边三角形，

.,.AE=EC,即E为AC的中点.

TD是BC的中点，故DE为△ABC的中位线,

:.DE=：AB=：X2=L

CJ乙

(3)存在点P使APBD且AAED,

由(1)(2)知，BD=ED,

VZBAC=60",DE〃AB,.,.ZAED=120°.

VZABC=60°,.*.ZPBD=120o.

.,.ZPBD=ZAED,

要使△PBDgZkAED,只需PB=AE=L

2.4过不共线三点作圆

01基础题

知识点1过不共线三点作圆

1.下列条件，可以画出唯一一个圆的是（C）

A.已知圆心

B.已知半径

C.已知不在同一直线上的三点

D.已知直径

2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示.为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小

明带到商店去的玻璃碎片应该是（B）

A.第①块

B.第②块

C.第③块

D.第④块

3.某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷

盘的圆心.（不要求写作法，证明和讨论，但要保留作图痕迹）

解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线

即可.

知识点2三角形的外接圆、外心

4.三角形的外心是（B）

A.三角形三角平分线交点

B.三角形三条边的垂直平分线的交点

C.三角形三条高的交点

D.三角形三条中线的交点

5.如图，。。是aABC的外接圆，N0CB=40°,则NA的度数是（B）

6.若三角形的三边长分别为6,8,10,则此三角形的外接圆半径是（A）

A.5B.4C.3D.2

7.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,-2),则AABC外接圆

的圆心坐标是(D)

A.(2,3)

B.(3,2)

C.(1,3)

D.(3,1)

8.如图，分别作出锐角三角形ABC、直角三角形ABC、钝角三角形ABC的外接圆，观察所画外接圆，探究

三角形的外接圆的圆心与三角形的形状有什么关系？

解：画图略，由作图可知：锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形外接圆的圆心是

斜边上的中点，钝角三角形外接圆的圆心在三角形外部.

02中档题

9.(内江中考)如图，。0是△ABC的外接圆，NAOB=60°,AB=AC=2,则弦BC的长为(C)

第9题图第10题图

10.(陕西中考)如图，^ABC是。。的内接三角形，ZC=30°,。。的半径为5,若点P是。。上的一点,

在AABP中，PB=AB,则PA的长为(D)

C.5mD.5^/3

11.(扬州中考)如图，已知。。是△ABC的外接圆，连接AO,若NB=40°,则N0AC=50°.

12.在直角坐标系中，已知点A(0,4),B(4,4),C(6,2).

(1)点A,B,C能确定一个圆吗？说明理由；

(2)如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的位置;

(3)写出圆心P的坐标，并求出。P的半径.

解：(1)点A,B,C能确定一个圆，

理由是：点A,B,C不在同一条直线上.

(2)如图.

(3)由AB的垂直平分线,BC的垂直平分线的交点，得圆心的坐标是(2,0),

半径的长为4声

13.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在

花坛的边上.

(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)若AABC中，AB=8米，AC=6米，NBAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.

(2)VZBAC=90°,AB=8米，AC=6米,

.*.BC=10米，△ABC外接圆的半径为5米.

小明家圆形花坛的面积为25n平方米.

03综合题

14.阅读材料，解答问题：

ab

命题：如图，在锐角aABC中，BC=a,CA=b,AB=c,aABC的外接圆半径为R,则=•==不=

sinAsinB

sinC=2R，

证明：连接CO并延长交。0于点D,连接DB,则ND=NA....CD是。。的直径，.•.NDBC=90°.在Rt

△DBC中，sinND=第=言，所以sinA=卷，即岛=2R,同理：4后=2R,爵=2R,岛=磊

~~T^=2R.

smC

请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面(1)(2)两题：

(1)前面阅读材料中省略了“一号=2R,「*=2R”的证明过程，请你把“一，=2R”的证明过程补

sinBsinCsinB

写出来；

(2)直接运用阅读材料中命题的结论解题，已知锐角△ABC中，BC=V3,CA=&NA=60°,求

△ABC的外接圆半径R及NC.

解：(1)证明：连接CO并延长交。0于点D,连接AD,则NB=ND.

・・・CD是。。的直径，

AZDAC=90°.

_ACb

在RtADAC中，sinZD=—=—

DLZK

bb

,si116：就,即启