考研数学基础班张宇高等数学辅导讲义

会计学1考研数学基础班张宇高等数学辅导讲义2015考研数学基础班高等数学辅导讲义函数、极第一讲限、连续性—、函数1.函数(1)函数的定义设数集DR,则称映射f:DR为定义在D上的函数,简记为yf(x),xD,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记为Df,f(D)为值域,记为Rf.(2)函数定义的两要素:定义域，对应法则.2.函数的特性有界性:若M0，对于xI，都有f(x)M，则称f(x)在I上有界.单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间ID，若对于x1,x2I，当x1x2时，有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))，则称f(x)在区间I上单调增加(单调减少).(3)奇偶性:1第1页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义(3)单调函数存在反函数,反之不成立合则函数yf[g(x)],xDg称为由函数ug(x)与函数yf(u)构成的复合函数.(2)5.初等函数(1)基本初等函数:幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数.(2)初等函数:.(3)初等函数必须能用一个式子表示,不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数,故二、极限1.数列极限(1)数列极限的定义设xn为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数,总存在正整数N,使得.4当nN时,有xna成立,则称数列xn收敛于a,n记为limana.2.(2)数列极限的基本性质:复①(唯一性)如果数列xn收敛，那么它的极限唯一.n

n

n

n设有数列x，y .如果limxA，limyB，则:只有当函数u (x)的值域与yf(u)的定义域的交非n空时,才能将它们复合成复合函数.n由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子表示的函数①

lim(xn

yn

)

A

B

；②limxnynAB；分段函数一.般.不.是.初等函数.nn函②(有界性)如果数列x 收敛，那么数列第x2页一定/有共界4，5即页:M0，使得n有xM.n n n数③(保号性)如果limxna，且a0(或a0)，那么NN，当nN时，有xn0(或n(1x)n复合0函).数的定义(3)数列设函数yf(x)的定义域为Df，函数ug(x)的定义域为Dg，且其值域RgDf极限，的四则运算法则2015考研数学基础班高等数学辅导讲义xnB

An

ynn③当y0且B0时,lim.(4)数列极限存在的判定①(夹逼法则)如果数列xn，yn，zn满足:1)

yn

xn

zn

(

n

1,2,3…

)；n那么数列xn的极限存在,且limxna.n2)limyna,limzna,②(单调有界准则)单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)的数列xn必定存n在极限.2.函数极限(1)xx0时,函数极限的定义o设函数f(x)在U(x0)内有定义,如果存在常数A,对于0,总存在 0,使得00x

时的极0x0x

xx

x当x满足0xx 0时,有f(x)A0,那么常数A就叫做函数f(x)当x注:limf(x)Alimf(x)limf(x)A.x(2)x 时,函数极限的定义设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数限,记作l,imf(x)A.xx总存在正数X,使得当x满足不等式xX时,有f(x)A ,那么常数A就叫做函xx

x0x0时,有①(f唯(一x)性)如M果.limf(x)存在，那么它的极限唯一，即:若limf(x)A，且limf(x)B，x3③(局部保号性)如果lim

f

(xx0

)x00,使得当A,且A0(或A0),那么xx0则A

B

.0

x

x0时,有f(x)0(或f(x)0).数f(x)当x 时的极限,记作limf(x)第A.3页/共45页x(②3)(函局数部极有限界的性)性如质果limf(x)A,那么M0和 0,使得当0xxx02015考研数学基础班高等数学辅导讲义(4)函数极限的四则运算法则如果limf(x)A,limg(x)B,则xx0x

x0②

lim[

f

(x)

g(x)]

A

Bx

x0f③lim(x)

A(

B

0x

x①0

lim[)；f

(x)g(x)x

x0g

(

x)

Bg(x)]

A

B

；④

lim

f

(x)

A

(

A

0

).B

x

x0推论1:如果limf(x)存在，c为常数，则lim[cf(x)]climf(x).xx0x0nxx0推论2:如果xlimf(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]nxlim

f

(x)

.x

x0

x

x0x0(5)函数极限存在的判定准则①(夹逼法则)如果函数f(x)，g(x)，h(x)满足:1)当xU(x0,)○时，g(x)f(x)h(x)；2)limg(x)A，limh(x)A，xx0 xx0xx0

x

x000那么limf(x)存在,且limf(x)A.②(单调有界准则)设f(x)在0x的某左邻域内单调有界,则f(x)在x的左极限f(x)必定存在.(6)复合函数的极限:设yf[g(x)]是由函数ug(x)和yf(u)复合而成的，yf[g(x)]在x0的某去心邻域有定义，若limg(x)u0，limf(u)A且在x0的邻域内xx0uu0u

u0①

xli0

m

sxin

x

1；1xxxn4n②xli0

m(1

x)x

e

或lim

1e

(1lim

1e

).3.无穷小与无穷大 1(1g)(无x)穷小量u0的,定则义limf[g(x)]limf(u)A.xx0(7)两个重如要果极当限x0x时函数f(x)极限为零,那么称函数f(x)为当x0x

时的无穷小.(2)无穷小的性质:第4页/共45页n2015考研数学基础班高等数学辅导讲义(3)无穷小的比较:设,是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且0则:的低阶无穷小.①有限个无穷小的和仍是无穷小.④limkc0，称是的k阶无穷小.②有限个无穷小的乘积仍是无穷小.③⑤有l界im函数与无1穷，小称的乘与积是无是穷等小价.无穷小，记作:~.5①如果lim 0，称是的1高1阶无穷小，记作:2 o(1)；2

1(而4)且等价1无~穷小2替，换定1理~:设2在，自如变果量x的同一变化过程中，1，2，A,则lim1,2都是无穷小,lim A.lim三、函数的连续性1②.如函果数连li续m性的定义,称是(1)函数f

(x)在x0

点连续的定义设函数f(x)在U(x0)内有定义,如果limf(x)f(x0),那么称函数f(x)在点x0连续.xx000(③2)l函i数mf(x)c在x0处,连称续是f(x的)同阶f无(穷x小)；f(x).2.间断点及其分类(1)间断点的定义若函数f(x)在点x不连续,则点x称为函数f(x)的间断0 0点.(2)间断点的分类:第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在)；间断点 跳跃间断点(左极限

右极限)可去间断点(左极限右极限)第一类间断点(左、右极限都存在

)

；0第0

5页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义3.闭区间上连续函数的性质:(1)有界最值定理若函数f(x)在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界且一定能取到最大值和最小值，即:K0，使得x[a,b]，有f(x)K，以及在[a,b]上有1，2使得f(1)m，f(2)M，其中m，M分别为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值.(2)零点定理设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，则 (a,b)使得f()0.(3)介值定理设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)，c是介于f(a)和f(b)间的一个常数，则 (a,b)使得f()c.推论:若函数f(x)在[a,b]上连续，m，M分别为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，mcM，则 [a,b]使得f()c.1.导数定义0

0Δ0lim—、导数Δx

0

Δ

x

Δx

0第二讲

Δ

y导数f与(x微0

分Δ

x)

f

(x0

)Δ

x取得增量Δy f0(xΔx)f(x)；如果 存在,则称li函mx

x00

0数yf(x)在点x处可导,记为f(x),或y,dydf

(x)

dxdxx

x0,.x

x0(21)导函数数的的定定义义若设函数yf(x)在U开(区x间)I内内有可定导义,对当于自变量xx在I点,都x对处应取着得f增(量x)的x一,个相确应定的的函导数数f(x)的导函数,记作y,ddxy或df(x).dx6值.这样就构成了一个新的函数,这个函数叫y(3)左、右导数的定义第6页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义f

(x0

Δ

x)

f

(x0

)Δx

0

Δf

(x0)

lim

Δ

y

lim

Δ

xx

f

(x0

Δx

Δ0

x)

f

(x0

)f

(x0)

lim

Δ

y

limΔx

0

ΔΔ

x0(4)函数在x点可导的充要条件:xf(x)存在fΔx(0x)0 0 0f(x).(5)可导与连续性的关系:若函数yf(x)在x0点可导,则它在x0点连续.(6)导数的几何意义函数yf(x)在x点处的导数f(x)在几何上表示曲线yf(x)在点M(x,y)0 0 000处的切线的斜率,即f(x)tan,其中为切线的倾角.(7)切线方程与法线方程100

0

0切线方程为yyf(x)(xx),法线方程为yf0

(x

)y

(xx0

)

.v2

(x)2.导数的计算(曲1)线函y数的和f(、x差)、在积M、(商x0的,求y0导)法处则,如果函数uu(x)及vv(x)都在点x具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数,且③v(x)

①u(x)u(x)

v(x)

u

(ux)

(xv)v((xx))

；u(x)v

(x)

(

v(x)

0

).(2)高阶导数的定义②

u(x)v(x)二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.记为d

n

ydxn,n2,3,….其中,d

2

y

d

dy f

(x

Δ

x)

f

(x

)Δ

xdx2

dx

dxΔx

l0im00

.7①如果函数f(x)在点x具有n阶导数,那么f(x)在点x某邻域内必定具有一切低于n阶的导数.第7页/共45页u

(x)v(x)

u(x)v

(x)

；2015考研数学基础班高等数学辅导讲义②和、差、积的n阶导数公式:nu

v(

n)(n)

(n)

(nn)u v,(uv)k0Cku(

n

k

)v(k.)(3)反函数的求导法则1y如果函数xf(y)在区间I内单调、可导且f(y)0,则它的反函数y(x)在x

fy区间Ix

x

f

(

y),

y

I11内可导,且ff

(y()x)dx

1dx或

dy

.dy(4)复合函数的求导法则设yf(u),而ug(x),且f(u)及g(x)都可导,则复合函数yf[g(x)]在点x可dy dydydu导,且其导数为f

(u)g

(x)或.dxdxdu

dx值存在,那么就说方程①参数方程所确定的函数的定义(5)隐函数的求导①隐函数的定义若参数一方般程地,如x果变量(确xt定和)xy与满足y一间个的方函程数关F系(x,,则y)称此函0数,在为一参定数条方程件所下确,定当的x函取数某.区间内 y (t)②参数方程所确定的函数的导数的任一值时如,果相函应数地x总有满足(t这)方具程有的单唯调一连的续y反函数t1(x),F且(此x反,y函)数能0与在函该数区y(t)构成复合函数.若x (t)和y (t)都可导，而且 (t)0，则:dxdt②隐函数的求导:对方程两边对xdx求导，将xyd视t为x的函数，用复合函数的求导法则求导.(t)8dx(t)间内确定了一个隐函数d.ydy

dt

dy

1

(t)

d

,即dy

(t).d(如6)果参x数方程所(确t)定和的函y数的导(数t)二阶可导,t则第8页/共45页d

2

ydx22015考研数学基础班高等数学辅导讲义(t) (t) .(t) (t)3(t)(7)幂指函数的求导uv(u0),如果uu(x),vv(x)都可导,则v对于一般形式的幂指函数y:yuuv

ln

uvu

.二、微分1.函数的微分(1)微分的定义设yf(x)在U(x0)内有定义,若增量Δy f(x0Δx)f(x0)可表示为ΔyAΔxo(Δx)其中A是不依赖于Δx的常数，则称函数yf(x)在点x0是可微的，而AΔx叫做函数yf(x)在点x0相应于增量Δx的微分，记作dy，即dyAΔx.函数连续、可导与可微之间的关系①函数yf(x)在点x处可微f(x)在x处可导，此时Af(x)，即dyf(x)dx.②函数f(x)在xx0可导f(x)在xx0可微f(x)在xx0连续.微分的几何意义:Δy f(x0Δx)f(x0)是曲线y

f

(x)在x量,而微分dy是曲线yf

(x)在点(x

,f

(x

))处的切线的纵坐标相应的增量.xx0002.复合函数的微分法则:设yf(u)及ug(x)都可导，则复合函数yf[g(x)]的微分为:dyyxdxf(u)g(x)dx.由于g(x)dxdu，所以复合函数yf[g(x)]的微分也可以写为dyf(u)du或dyyudu.因此，无论u是自变量还是中间变量，微分形式dyf(u)du保持不变,该性质称为一阶微分形式不变性.9x0

处对应于自变量的增量Δ

x第的9纵页坐标/的共增45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义第三讲

微分中值定理及导数的应用—、微分中值定理

1.罗尔定理如果函数((1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,f(a)f(b)；则在

(a,

b)

内至少存在一点

(a

b)(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；b),使得f(b)f(a)f"()(ba).3.(1)在闭区间[a,b]上连续；(a)10f那么在(a,b)内至少存在一点(ab),g(使b得)f(b)f

(a)

f

(

)

.g

(

)二、洛比达法则x1.)x满足a:时的未定型若函数,使得f"()0.2.拉格朗日中值f定理(如果函数f(x)满足:x)和g(那么在(a,b)内至少存在一点(a

x柯西中值定理)如果函数f

(x)及g(x)满足满足第g10页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义f

(x)x

a

g

(x)(3)limf存在(或为无穷大),xag(x)(x)f则limlim.x

a

(x)2

g(x).x未数(和g满:x

g(x)(x)时的(3)limf存在(或为无穷大),定则limf(x)f

(x)型xlim

.设g(x)0注函:仅当0型才可以考虑用洛比达法则.对于0,xg(x)型或,00,1,0型的未0f定型可以通过转化成为0型或型后,再考虑使用洛比达法则.000n三、泰勒公式x1).泰勒中值定理设f(x)在含有x0的某开区间I内有直到(n1)阶导数,则对于xI,(n)(

f

(x)

f

0(x

)

f

(x

)(x

x2)!

f(0x0

)

(xx

)n2

!

…(x0

)

(xx)nR(x),0x

f)其中Rn(x)

f

(n

11))!()(xx)n1,0介于x与x之间.2.麦克劳林公式足设f(x)在含有x0的某开区间I内有直到(n1)阶导数,则对于xI,11n!(n)(0)

n

fxn

1f(x()1)当fx(0)时f,函(0数2)x!f(x)f和g(x0)都x2趋于…零；(n1)(!x)

x

(n

1()01)

.四、函f函数的单调性(2)当xA时,f(x)和g(x)都存在,且g(x)1.设函数0y；f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导第11页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义如果在在(a,b)内f(x)0，那么yf(x)在[a,b]内单调增加.如果在在(a,b)内f(x)0，那么yf(x)在[a,b]内单调减少.注:上述所给的只是判别单调性的充分条件，并非必要条件，即f(x)0f(x)单调，而不能由f(x)单调f(x)0，只能得到f(x)0.五、曲线的凸凹性和拐点1.曲线的凸凹性(1)定义设函数f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2恒有f

(

x1

x2

)

f

(x1)f(x2),那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有22f

(

x1

x2

)

f

(x1)f

(x2

)那么称f

(x)在I

上的图形是(向上)凸的(或凸弧).22(2)判别法设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,则①若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上图形是凹的；2.拐点(1)定义f(x)在区间I上连续,如果点x0为I的内点,如果曲线yf

(x)设y在经过x0,f(x0)时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点x0,f(x0)为曲线的拐点.(2)拐点的判定若f(x0)0(或f(x0)不存在但f(x)在x0点连续),当在x0点的左、右邻域内f(x)异号时0,x,f12x

x0(2)垂直渐近线:如果limf(x) ，则直线xx0是曲线yf

(x)的一条垂直渐近线.②若在(a,b)内f(x)0，则f(x)在[a,b]上图形是凸的.(3)斜渐近线:如果存在直线L:ykxb使得当x (或x ，x)时,曲线第12页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义yf(x)上的动点M(x,y)到直线L的距离d(M,L)0,则称直线L为曲线yf(x)的渐近线.若直线L的斜率k0,则称L为斜渐近线.13(4)直线L

:y

kx

b

是曲线yf(x)的渐近线,则kxxxxf

(x)lixm,xblimf

(x)kx

.x六、函数的极值与最值1.函数的极值(1)函数极值的定义o设函数f

(x)

在U

(x0

)内0有有定义0,如果对于0xU(x)0f

(x)f

(x

)或f

(x)f

(x

)那么就称f

(x

)是函数f

(x)的一个极大值(或极小值).(2)函数的极大(小)值只是它的局部的最大(小)值，不一定是它的全局的最大(小)值.(3)必要条件:设函数f(x)在x点可导，且在x处取得极值，则必有f(x)0.0 0 0注:①驻点不一定是极值点.②极值点不一定是驻点，但在可导的条件下，极值点一定是驻点.2.判定极值充分条件(1)第一充分条件○设函数f(x)在x0处连续,且在x0的某去心邻域U(x0,)内可导,则①若x

(x,x

)时,f

(x)0

；x

(x

,x0

0 0

0)时,f(x)0,则f(x)在x处取得0极大值.②若x

(x0,x0

)时,f

(x)0

;x

(x0

,x0)时,f(x)0,则f(x)在x0处取得极小值.(

2)第二充分条件设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f(x0)0,f(x0)0,则①当f(x)0时,函数f(x)在x处取得极大值；第13页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义一元第四讲函数积分学—、不定积分原函数的定义如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F(x)f(x)那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.若函数f(x)在区间I上连记续作,则它在f(区x间)dIx上,存其在中原函称为积分号,f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式,x称为积数分.变量.34.不基定本积分的公定式义(在1)区间Ik上dx,函k数xf(Cx()k的是带常有数任)意,常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分1,(2)xdxx1

C1,dx(3)lnxdx(4))xC,1x2dx(5141

x2arctanxC,arcsinxC,(6)

cos

xdxsin

x(8)2sec

xdxdxcos2

xdx2tanxsiCn,2x(9)(:)cotxC,sec

x

tan

xdxcsc

xdxsec

xC,(:)csc

x

cot

xdxcsc

xCC,(7)sinxdx cosxC,第14页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义x

x(12) edxeC,15ax

ln

a(13)a

xdxC

.二、不定积分的积分法1.第一换元积分法(凑微分法)设f(u)具有原函数,u(x)可导,则f

[

(x)]

(x)dxf

[

(x)]d

(x)令u(

x)f

[

(x)]

(x)dxf

[u]duF

(u)CF[(x)]C.2.第二换元积分法设x(t)单调的可导函数,且 (t)0,若f (t)(t)dtG(t)C,则令x()(x)]

C

.3.分部积分法设uu(x),vv(x)具有连续导数,则u(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u

(x)dx

.四、定积分1.定积分的定义设函数f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入若干个分点把区间a,b分成n个小区间 x,x , x,x01 12,…, x,x ,各个小区间的长度依次为Δxxx,n1n 110Δxxx,…,Δxxx在每个小区间x,x221 nnn1 i1i上任取一点 (

xi

i

1i

ix),作函在小区间x,x 上 怎样选取,只要当 0时,和S总趋于确定的极限I,那么称这t i1i iba,b上的定积分,a记作f(x)dx.,即个极限I为函数f(x)在:f(x)dxb

na

f

(x)dxlim

f

(0

i

1

i

i)fΔ[x

.(t)] (t)dt

G(t)

C

G[其1中,f(x)叫做被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,a叫做积分下限,第15页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义b叫做积分下限,a,b叫做积分区间.a,xb,2.定积分的几何意义:函数f(x)在[a,b]上的定积分是曲线yf(x)与直线xx轴所围成的曲边形面(1)两条规定aba①

f

(x)dx

0

；a②af

(x)dxbfb

(x)dx

.b(2)定积分b

的性质ba梯

①

[

f

(x)g(x)]dxaf

(x)dx

bag(x)dx

.ab

ac积②

kf

(x)dx

b

k

f

(x)dx

(k

是常数).的ca

a

b代b数和③设

a

c

b

，则

f

(x)dx

f

(x)dx

f

(x)dx

..3b.④如果在区间[a,

b]

上

f

(x)

1，则

f

(x)dx

b

a

.

b定a积bf

(x)

dx

.

b分推⑤论如果2：在区间[af,(bx])上dx，

f

(x)

0

，则

f

(x)dx

0

(a

b)

.的⑥设M

和m

是函数f

(x)在区间[a,b]上最大值及最小值a

a

a，性b质m(b

a)a16f

(x)dx

M

(b

a).推论1:如果在区间上,f(x)g(x),则 f(x)dx g(x)dx(ab).⑦如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续,则在a[a,b]上至少存在a一点使得baf

(x)dx

f

(

)(b

a)

.⑧奇偶函数的积分性质:aaf

(x)dx

0

(f

(x)奇函数).第16页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义aaa

f

(x)dx

02f

(x)dx

(f

(x)偶函⑨周数期)函.数的积分性质:0Tf

(x)dx

f

(x)dx

.aT设f(x)以T为周期,a为常数,则a五、微积分基本公式1.积分上限的函数及其导数(1)积分上限的函数的定义设函数f(x)在区间a,b上连续,则任取xx(xa)xa,ba,定积分f(t)dt有一个对应值,f(t)dtaxb,称为积分上所以它在区间a,b上定义了一个函数，记作:限函数.(2)积分上限的函数的导数x如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续,则积分上限函数(x)af

(t)dt

在[a,b]上d

xdx可导,且 (x)f

(t)dt

f

(x)

(

a

x

b

).a2

(

x)1

(

x)(3)(推广形式)设F

(x)f(t)dt,112(x)

f(x)

(x)

.1(x),2(x)可导，f(x)连续，则F(x)＝f2(x)x注:若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数(x)af

(t)dt

就是f

(x)在[a,b]上的一个原函数.2.牛顿-莱布尼茨公式如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则b

b17af

(x)dx

F(x)F(b)

F(a).a六、定积分的换元积分法和分部积分法1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数x(t)满足条件:①()a,()b；②(t)在[,](或[,])上具有连续导数,且其值域R [a,b],第17页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义f

[

(t)]baba)ux

dxu(ux()xv

)v(x)b则有af(x)dx2(.t)分d部t积.分法bav

x

dx(

.x七、定积应图面角由曲线yy1(x),yy2(x)和直线xa,xb围成的图形的面积为:b分S1＝

y2

(x)

y1(x)

dx

.的a(2)极坐标系用由用曲线 1(),12

()及射线， 围成的图形的面积为:2181S

＝

2122()2

()

d

..2平.旋转体的体积(面1)由曲线y

f

(x)(f

(x)b

和x

轴围成的平面图形0)与直线xa,xb 2a绕x轴旋转一周的体积为:Vx形f

(x)

dx

.ba的绕y轴旋转一周的体积为:Vy2xf

(x)dx

.(2)由曲线xg(y)(g(y)0),与直线yc,yd和y轴围成的平面图形积2dcdc

yg(绕y轴旋转一周的体积为:Vy1)绕x轴旋转一周的体积为:Vx2(直3)平行截面面积为已知的立体的体积平面xa,xb之间的立体,若过点x且垂直与x轴的截面面积为A(x)已知,则该立体b坐的标体积为V系aA(x)dx

.3.平面曲线的弧长*○(1)参数方程所表曲线的弧长g

x dy

.y

dy

.第18页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义x设光滑曲线L

:y(t)(t)t ,(t),(t)在,上有连续的导数,则曲线22(t)(t)

dt

.L

的弧长为S(2)直角坐标系f(x),axb,f(x)有连续的导数,则曲线LbS设光滑曲线L

:y的弧长1ya

2

dx

.(3)极坐标系设光滑曲线L

:r(),,()在,上有连续导数,则曲线L的弧长S(

)22

d(

)

.4.旋转体的侧面积*○曲线yf(x)(f(x)0)与直线xa,xb和x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一b19a周得到的旋转体的侧面积为:Vy2f

(x)

1

y

2

dx

.第五讲微分方程—、微分方程的基本概念微分方程的定义:凡表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程称为微分方程.微分方程的阶:微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶.3.微分方程的解(1)若将函数带入微分方程中能使方程变为恒等式,这样的函数称为微分方程的解.(2)微分方程的解中含有自由常数,且含有独立常数的个数等于方程的阶数,这样的解称为微分方程的通解.(3)微分方程的不含有自由常数的解称为微分方程的特解.二、一阶微分方程1.可分离变量的微分方程第19页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义dx1

122dy(1)方程形式:P(x)Q(

y)

(Q(

y)0)或M

(x)N

(y)dxM(x)N

(

y)dy

0

.N

(M

(x)N

(

y)(2)解法:先分离变量成M

(x)y)1

dx2dy,再两边积分1

dxdy

C

.M2(x)N1(

y)yx(1)方程形式:dydxxy

.dy2

(2)解法:dxu,则M2(x)u(u),两边积分得du

dxd(uu)

xCu.N1(y)三、一阶d线x

性微分方程dy一阶线性微分方程x齐次方程(1)方程形式P(x)

y

Q(x)

.dxP

x

dxQx

eP

x

dxdx

C.2.贝dy(2)解法:常数变d易x法求得通解ye(1)方程形式:Q努利方x程*

ynn

0,1

.1

P x

y(2)解法:设zy1n，则方程化成dzP(x)zQ(x),再用一阶线性微分方程的求解方1

n

dx法求解.3.全微分方程*(1)方程形式:P(x,y)dxQ(x,y)dy0，满足条件

QP.xy(

x,

y

)①特殊路径积分法:u(x,y)u(0

x

,

y

)P(x,y)dxQ(x,y)dy,x

yy0u(x

,

y

)0P(x,

y

)dQx(x,

y)dy

.x0

0

x0u20②不定积分法:由P(x,

y)

得

u(x,

y)

P(x,(2)解法:上述全微Q(分x方,y程)通解为u(Px(,xy,)y)dCx，求uC(x,(y)的，常求用出方C法:(y)，然后积分即可.y)dxC(y)，对y求导得 y四、可降阶的高阶微分方程*○1.y(n)f

(x)型0

(x0

,y0第)20页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义12n

1nfx

C

.解法:用n次积分求解，通解y…(x)(dx)nCxn1Cxn2…C ,,n次2.yf

(x,y

)型(方程中不显含y

)解法:设yp,则y p,原方程变为pf(x,p),该方程为一阶微分方程.设其解为pg(x,C)，即y g(x,C)，则原方d程p的通dp解为dydpg(x,C)dxC.解法:设y p，1把p看成y的函数，则1y p，把y1,y的2表达式代dxdydxdy21121dy入原方程得pdp f(y,p),设其解为pg(y,C),则 xC.3原.方y

程的通解f为(

y,

y

)

型(方d程y

中五不、显二含阶x

)

g(

y,

C

)①线性微分方程解的性质与结构二阶齐次线性方程:y p(x)y q(x)y0二阶非齐次线性方程:y p(x)y q(x)yf②C2

y2

(x)仍为方程1(.x若)y1(x),y2(x)为齐次方程①的两个解,则它们的线性组合C1y1(x)①的解.特别地,当y1(x)与y2(x)线性无关时,则齐次方程①的通解为yC1y1(x)C2y2(x).2.若y*(x)方程②的一个特解,而Cy(x)Cy(x)为方程①的通解,则非齐次方程②的11 22通解为y

C

y

(x)C

y

(x)y*(x).1122f2

(x)的特解,则y1(x)y2(x)是y p(x)y q(x)yf1(x)1.二阶常系数齐次线性微分方程py qy

0

.(2)解法:先求其特征方程2

pq0的根,其通解结构为①当Δp24q0,特征方程有两个不同的实根,,则通解为yC

e

1

x

C

e

2

x

.1212常②常当系Δ数齐p次2线4性q微0分,方特程征程方程有二重根1 ,2则通解为y12f2(x)的特解.六、CC1xxe.③当Δ

p2

4q

0,特征方程有共轭复根i(1)方程形式:y,则通解为若y1(x),y2(x)为非齐次方程②的两个解,则第C12y11(页x)/共C24y52(页x),(C1C21)仍为②的解；y1(x)y2(x)是齐次方程①的解.设y1(x)与y2(x)分别是y p(x)y q(x)yf1(x)与y p(x)y q(x)y2015考研数学基础班高等数学辅导讲义22y

e

x

(C

cos

x

C

sin

x)

.122.n阶常系数齐次线性方程*○p

y

n

1

p

y

n

2(1)

y

n

…

pypy0,其中p(i1,2,…,n)为常数.112nn

i(2)解法:由特征方程n

p

n

1

p

n

2

…p12n

1p

0

的根写出微分方程的通解n中含有的对应项如下:①若特征方程有n个不同的实根,,…,,则通解yC

e

1

x

C

e

2

x

…

C

e

n

x

.1

2n21n②C

x

…

C

xk

1)e

x

.12k1.f(x)P(x)ex其中P(x)为n次多项式,(1)若不是特征根,则x令y R(x)e,(2)若为特征方程的k重实根(nkn,则通解中含有(C是特征方程单根,则令y xnR(x)ex,(3)若是特征方程的重根,则令y x2R(x)ex,其中R(x)为n次多项式,将y代入原③若i为特征方程的k重共轭复n根(2kn),则通解中含有n方程求出Rn

(x)的各系数得到原方程的特解.12.2

x

k

1e

x[(C

C

x

…

C

xk

1)

cos

x

(D

D

x

…

D

xk

1)

sin

x]

.f

(x)

e

[2P

(x)

cosknxPsinx],其中P(x),P(x)分别为n,l次多项式,则方lnl七(七1)、若二阶常.系.i数不数是非特齐征次方次程线的性根方，方则程令xye

m([1)R

(x)

co(s2)

xR(x)msinx],(程2)的若特解y的．形i特式是征为方:程的根，则令yxxe[Rm(x(1))cosx(2)方程的形式:yR pyqyf(x),其中p,q为常数,特征方程为(2x)spimnqx],0其.中R(1)(x),R(2)(x)是m次多项式,mmax{n,l},将y代入原方程求出R(1)(x),R(2)(x)m

m

mm为实常数，则方程的特解y的形式为:n的各系数,从而得原方程的特解.n第六讲

多元函数微分学—、多元函数的概念1.二元函数的定义第22页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义设D是R2的一个非空子集,称映射f:DR为定义在D上的二元函数,通常记为zf(x,y),(x,y)D,其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量.2.二元函数的极限的定义设二元函数f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点,如果存在常数A,对于成)时,都有f(Pf)(x,Ay)A(x0,y0)时的极限,0, ,使得当点P(x,oy)D∩U(P0,立,那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)记作limy.0

00

0(

x,

y

)

(

x

,

y

)limf

(x,0

y)

f0(x,y),则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.f(二、偏导数x1.偏导数的定义:Δx

0, 设二元函数zf(x,y)在U(P0,)内有定义f,(当x0y固Δ定x,在y0y)0而fx(在x0x,0y处0)有增量Δx时,Δ

x相应的函数有增量f(x0Δx,y0)f(x0,y0),如果lim 存在,则称此极限为函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作fx(x0,)y0),y0Ay

,f

x

x

x0

x

x

x或zz

00

x

x

x.y

y0

y0f

(x,y)在点(x0

,y0

)y类似地,函数z处对y

的偏导数定义为Δy

0Δ

yy

x

x0

y23l(

xi,my

)

(

x

,0y

)

00

0f

(x,

y

Δ

y)

f

(x

,

y

),记y作00f

zxy

yy0y

x

x

0设二元函数f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是0D的聚点,且P0D.如果0f

(x

,

y

),

,yy

xy0.或z3.二元函数的连续性定义2.偏导数的几何意义fx

(x0

,y0

)表示曲面z

f

(x,y)与平面y

y0

的截线在点(x0

,y0

,f

(x0

,y0

))处的切线关于x

轴的斜率；f

y

(x0

,y0

)表示曲面z

f

(x,y)与平面x

x0

的截线在点第23页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义(x0,y0,f(x0,y0))处的切线关于y轴的斜率.3.二元函数的二阶偏导数zfxx

(x,

y)(y

xzxf

(x,

y)()x

y

y2

z设z

f

(x,y),则2

zx2

x

xzx

(x,

y)

z(),2fyy(x,

y)()y

2

zxf

yxyyy

y2z),y224.如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数x和

z

z都在区域D内连续,那么在该yx区域内这两个二阶混合偏导数必相等.三、全微分1.全微分的定义设函数zf(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,如果函数在点(x,y)的全增量Δz f(xΔx,yΔy)f(x,y)可表为Δz AΔxBΔy (),其中A,B不依赖于Δx,Δy,而仅与x,y相关, (Δx)2(Δy)2,则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微分,而AΔxBΔy称为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即dzAΔzBΔy.2.可微的必要条件xy在,且函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分为dz zΔxz

Δ

y

.xy3.可微的充分条件z,如果函数zf(x,y)的偏导数 z在点(x,y)连续,则函数在该点可微分.x

y四、多元复合函数的求导法则1.多dt

v

dt24偏导数,则复合函数zf((t),(t))在点t可导d,t且有dzu

z

uz

v

.第24页/共45页如果函数zf(x,y)在点(x,y)可微分,则该函数在点(x,y)的偏导数z,z必定存学辅导讲义xu2015考研数学基础班高v等xxy数u

yv

yzdv,不管u,v是中间变量还是自变量都成立,该性质叫全微分2.全微分形dz式的不变z性du形式(2)多元函数与多元函数复u合的情形 v的不变性.如果函数u (x,y)和v (x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数五、隐函数的求导zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数zf[(x,y),(x,y)]在点(x,y)1.由方程确定的隐函数的两个偏导数都存在,且有(1)一元隐函数y

0

00

0F(x,y)0,则方程F(x,y)0在点(x,y)的某邻域内恒能唯一确定一个连续且具有dyFz zu zv z zdxu zxv, .连续导数的函数yf(x),它满足条件y0f(x0),且.设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内具有连续偏导F数y,且F(x0,y0)0(2,)二元隐函数0

0

0内具有连续偏导数,0

0

0设函数F(x,y,z)在点P(x,y,z)的某邻域 且F(x,y,z)0,F(x,y,z)0,则方程F(x,y,z)0在点(x,y,z)的某邻域内恒能唯一确定一个连续y000 0000 0

0且具有连续导数的函数zf(x,y),它满足条件zf(x,y),且zFx,zFy

.xFzyFz2.由方程组确定的隐函数设F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又F(x0,y0,u0,v0)0,G(x0,y0,u0,v0)0,且偏导数所组成的函数行列式25

第25页/共45页2015考研数学基础班高等数学辅导讲义Fv(u,

v)

(F

,G)

FJu0

0在点P(x0,y,u0,v)不等于零,则方程组F(x,y,u,v)v0,Fu

FvGu

Gv(x,

v)Fu

FvGu

GvG(x,y,u,v)0

在点(x0

,y0

,u0

,v0

)的某邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数0 0

0

0 0

0的函数uu(xG,y),vGv(x,y),它们满足条件uu(x,y),vv(x,y),并有FxFu

Fxx

J(u,

x)u

u

1

(F

,

G)x

JGxGv,v1(FF,vG)GxG,uFy

Fvu1

(F

,

G)GyGvv1

(F

,

G)Gu

vGvFuGuFyGyFuFGuvGv26.六、多元函数的极值及其求法,1.多元函y数的极值的J定义(y,v) J(u,y)FuF y设函数f

(x,y)的定义域为D

,P0

(x0

,y0

)为D

的内点,若U

(P0

)D

,使得o(x,y)U(P0),都有f(x,y)f(x0,y0),则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极大值of(x0,y0),点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极大值点；若(x,y)U(P0),都有f

(x0

,y0

)则称函数f

(x,y)在点(x0

,y0

)有极小值f

(x0

,y0

),点(x0

,y0

)称为函数f

(x,

y)f(x,y)的极小值点.2.取极值的必要条第26页/共45页27y2015考研数学基础班高等数学辅导讲义则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:但连续点处的函数值及在区域D

的边界上函数的最大、最小值而得.fx

xF(x,y)f(x,y) (x,y),解方x程组Fy

f

(x,

y)(x,y),求驻点,由问题的实(1)ACB20时具有极值，且当FA0时有极大(值x，,y当).A0时有极小值；际意义确定(2极)值AC，此B法2叫拉0格时朗没日有数极乘值法；.(3)ACB20时可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论.注:二元函数的极值点不.一.定.是驻第点第.七讲重积分一4一.求、函二数重的最积大分值与最小值1.二重积分求的函定数义在:有界闭区域D上的最大值与最小值用比较法.即比较驻点、偏导数不存在设函数f

(x,y)是有界闭区域D

上的有界函数.将闭区域D

任意分成n

个小闭区域5.条件极值Δ1,求Δz2,F…(x,,Δy)在n,其(中x,,yΔ)i0表条示件第下i的个极小值闭点区,域先,构也造表辅示助它函的数面积.在每个Δi上ni

.如果各个i

1小闭区域的直径中的最大值nDD

i

x

ii任取一点(i,i),作乘积f(i,i)Δ闭区域D上的二重积分,记作ii1,2,…,n,并作和(x,f(i,i)Δf(x,y)d,y即)0f(x,y)di1limf(,)Δ ,其中,f(x,y)叫做被积函数,f(x,y)d叫做被积表达式,d叫面积元素,x与(yx,叫做积y),ni

i

i分变量,D叫做积分区域, f(,)Δ叫做积分和.i

12.二重积分的几何意义:趋于零时,这和的极第限2总7存页在,/则共称4此5极页限为函数f(x,y)在F2015考研数学基础班高等数学辅导讲义f

(x,y)d

表当f(x,y)为闭区域D上的连续函数,且f(x,y)0,则二重积分示D以曲面zf(x,y)为顶,侧面以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。3.二重积分的性质(1)

kf

(x,

y)dkf

(x,

y)d(k

为常数).dg(x,

y)d

.D(3)如D

果域分D为D

两个

闭D1,域区D2,则区f(2()x,y)dD1f

(x,

y)

f

(gx(,xy,)yd

)Dy)d

.D(4)如果在区域D上,f(x,y)D2g(x,y),则f

(x,

f

(x,

y)dDf

(x,

y)dg(x,y)d,DD特殊地, f(x,y)df

(x,

y)d

.D D(5)设m,M分别为f(x,y)在闭区域D上的最小值和最大值,是D的面积,则m f(x,y)d M.D(6)积分中值定理:设f(x,y)在有界闭区域D上连续，为D的面积，则存在(,)D,使得D在[a,b]上连续,f(x,y)在D上连续,则D1

(

x)二、二重积分的计算f(x,y)d1D.在直角坐标系中b

2

(

x)fa

(x,

y)dxdydxf

(x,

y)dy

.模型II:设有界闭区域D模型I:设有界闭区域D(x,

y)

(

y)

x(x,

y)

a

x(

y),

c

y

d12其中1(y),2(y)在[c,d]上连续,f(x,y)在D上连续则b,(x)y (x) ,其中(x),