2024年四川省巴中市中考数学试卷（含答案解析）

巴中市2024年高中阶段教育学校招生统一考试数学试卷(全卷满分150分,120分钟完卷)姓名:

_____________座位号:□□准考证号:□□□□□□□□注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号分别填写在试卷、答题卡规定的位置上.2.选择题填涂时，必须使用2B铅笔按规范填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔作答;作图题可先用铅笔绘出，确认后再用05毫米黑色墨迹签字笔描清楚3、必须在题目所指示的答题卡的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效，在试题卷上答题无效，考试结束后，考生将本试券和答题卡一并交回.4.不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值第I卷选择题(共48分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑)1.在0,1,—1,π中最小的实数是()A.0B.-1C.1D.π2.下列图形中，是轴对称图形的是()ABCD3.函数y=x+2A.x＞0B.x＞-2C.x≥-2D.x≠-24.下列运算正确的是()A.3a+b=3abBC.a⁸÷a²=a⁴a≠05.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是()A.ab＞0B.a+b＜0C.|a|＞|b|D.a-b＜06.如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置.若∠1=40°,则∠2的大小为()A.70°B.60°C.50°D.40°7.如图,∠ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是BC的中点,AC=4.若∠ABCD的周长为12,则△COE的周长为()A.4B.5C.6D.88.某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km,求慢车的速度?设慢车的速度为xkm/h,则可列方程为()A.60x-60x+20C.60x+20-60x=129.一组数据-10,0,11,17,17,31,若去掉数据11，下列会发生变化的是()A.平均数B.中位数C.众数D.极差10.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=()A.8B.10C.12D.1311.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1，则OG=()A.125B.C.D.12.如图,在△ABC中,D是AC的中点,CE⊥AB,BD与CE交于点O,且BE=CD.下列说法错误的是()A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB.∠BDC=3∠ABDC.当E为AB中点时,△ABC是等边三角形D.当E为AB中点时,S第Ⅱ卷非选择题(共102分)二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将正确案直接写在题卡相应的位置上)13.27的立方根是14.从五边形的一个顶点出发可以引条对角线.15.已知方程x²-2x+k=0的一个根为-2，则方程的另一个根为16.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.若四边形ABCO为菱形,则∠ADC的大小为.17.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,DE⊥AC于点E,延长DE与BC交于点F.若AB=3,BC=4,则点F到BD的距离为.18.若二次函数y=ax²+bx+ca0)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称.则下列说法正确的序号为.(少选得1分，错选得①ba=2②当32≤a≤5③对于任意实数m，不等式(am²+bm-a+b≥0一定成立④P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)为该二次函数图象上任意两点,且:x₁＜x₂.当x₁+x₂+2＞三、解答题(本大题共7个小题，共84分.请将解答过程写在答题卡相应的位置上)19.(1)(5分)计算:2(2)(5分)求不等式组2x-6＜(3)(6分)先化简,再求值:1-3x+2÷20.(10分)为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了m名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷.将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题.(1)求m=，并补全条形统计图.(2)若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名?(3)学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队.请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率.21.(10分)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡BE的坡度i=1:3,BE=6m,在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为(1)求点B离水平地面的高度AB.(2)求电线塔CD的高度(结果保留根号).22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A、B两点，点A的横坐标为(1)求k的值及点B的坐标.(2)点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当S△BPO=23.(12分)如图,△ABC内接于⊙O,点D为BC的中点,连接AD、BD,BE平分∠ABC交AD于点E,过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线.(2)求证:BD=ED.(3)若DE=5,CF=4,求AB的长.24.(12分)综合与实践(1)操作与发现平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2.在图2中,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,E、F是AD、BC边上的点.经过剪拼,四边形GHJK为矩形.则△EDK≌(2)探究与证明探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5.在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点.OJKL是拼接之后形成的四边形.①通过操作得出：AE与EB的比值为。②证明：四边形OJKL为平行四边形.(3)实践与应用任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形?若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程.若不能，请说明理由.25.(14分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3a≠0经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方.(1)求抛物线的表达式.(2)如图1,过点P作PD⊥x轴,交直线BC于点E,若PE=2ED,求点P的坐标.(3)如图2,连接AC、PC、AP,AP与BC交于点G,过点P作PF∥AC交BC于点F.记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S₁、S₂、S₃.当S3S2+S答案解析一、选择题1．（3分）在0，1，﹣1，π中最小的实数是（）A．0

B．﹣1

C．1

D．π【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜π，∴在0，1，﹣1，π中最小的实数是﹣1．故选：B．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．

B．

C．

D．【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；选项D的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意．故选：D．3．（3分）函数自变量的取值范围是（）A．x＞0

B．x＞﹣2

C．x≥﹣2

D．x≠﹣2【解答】解：由题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2，

故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．3a+b＝3ab

B．a3•a2＝a5

C．a8÷a2＝a4（a≠0）

D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：3a与b不是同类项，无法合并，则A不符合题意；a3•a2＝a5，则B符合题意；a8÷a2＝a6（a≠0），则C不符合题意；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则D不符合题意；故选：B．5．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．ab＞0

B．a+b＜0

C．|a|＞|b|

D．a﹣b＜0【解答】解：由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴ab＜0，a+b＞0，|a|＜|b|，a﹣b＜0，故选项A、B、C错误，选项D正确，故选：D．6．（3分）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为（）A．70°

B．60°

C．50°

D．40°【解答】解：由题意，如图，过A作n∥p，

∴∠1＝∠3＝40°．∵m∥n，n∥p，∴m∥p．∴∠2＝∠BAC＝30°+∠3＝30°+40°＝70°．故选：A．7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（）A．4

B．5

C．6

D．8【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝4，∴AB＝CD，BC＝AD，OC＝OA＝AC＝2，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE＝BC，OE＝AB，∴CE+OE＝（BC+AB），∵▱ABCD的周长为12，∴2BC+2AB＝12，

∴（BC+AB）＝3，∴CE+OE＝3，∴CE+OE+OC＝3+2＝5，∴△COE的周长为5，故选：B．8．（3分）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为x

km/h，则可列方程为（）A．

B．

C．

D．【解答】解：设慢车的速度为x

km/h，则快车的速度为（x+20）km/h，根据题意可得：﹣＝．故选：A．9．（3分）一组数据﹣10，0，11，17，17，31，若去掉数据11，下列会发生变化的是（）A．平均数

B．中位数

C．众数

D．极差【解答】解：一组数据﹣10，0，11，17，17，31的平均数为＝11，中位数为＝14，众数为17，极差为：31﹣（﹣10）＝41；若去掉数据11，则平均数为＝11，中位数为＝17，众数为17，极差为：31﹣（﹣10）＝41；所以会发生变化的是中位数．故选：B．10．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（）

A．8

B．10

C．12

D．13【解答】解：设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即（x+1）2＝52+x2，解得x＝12，即BC＝12，故选：C．11．（3分）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（）A．

B．

C．

D．【解答】解：因为图中12个直角三角形都相似，所以360°÷12＝30°，

即直角三角形中较小的锐角为30°．在Rt△OAB中，cos∠AOB＝因为∠AOB＝30°，所以同理可得，所以．又因为OA＝1，所以OG＝．故选：C．12．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（）A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E

B．∠BDC＝3∠ABD

C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形

D．当E为AB中点时，【解答】解：对于选项A，连接DE，如图1所示：

∵CE⊥AB，点D是AC的中点，∴DE为Rt△AEC斜边上的中线，∴DE＝AD＝CD＝AC，∵BE＝CD，∴BE＝DE，∴点D在线段BD的垂直平分线上，即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意；对于选项B，设∠ABD＝α，∵BE＝DE，∴∠EDB＝∠ABD＝α，∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，∵DE＝AD，∴∠A＝∠AED＝2α，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，即∠BDC＝3∠ABD，故选B正确，不符合题意；对于选项C，

当E为AB中点时，则BE＝1/2AB，∵CE⊥AB，∴CE是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC，∵BE＝AB，CD＝AC，BE＝CD，∴AB＝AC，∴AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意；对于选项D，连接AO，并延长交BC于F，如图2所示：当E为AB中点时，∵点D为AC的中点，∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点，∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC，∴∠OBC＝∠OAC＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBF中，OB＝2OF，∴OA＝OB＝2OF，

∴AF＝OA+OF＝3OF，∴S△OBC＝BC•OF，S△ABC＝BC•AF＝BC•OF，∴故选项D不正确，符合题意．故选：D．二、填空题13．（3分）27的立方根是

3．【解答】解：∵33＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．14．（3分）从五边形的一个顶点出发可以引

2条对角线．【解答】解：从五边形的一个顶点出发可以引的对角线条数为5﹣3＝2（条），故答案为：2．15．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为

4．【解答】解：令方程的另一个根为m，因为方程的一个根为﹣2，所以﹣2+m＝2，解得m＝4，所以方程的另一个根为4．故答案为：4．16．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为

60°．

【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，由圆周角定理得：∠D＝∠AOC，∵四边形ABCO为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠AOC+∠AOC＝180°，解得：∠AOC＝120°，∴∠ADC＝60°，故答案为：60°．17．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为

．【解答】解：如图，过点F作FH⊥DB，垂足为H，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝BD＝＝＝5，∴S△ADC＝AD•DC＝AC•DE，即×4×3＝×5×DE，

解得：DE＝∴cos∠EDC＝＝，即＝解得：DF＝∴FC＝＝＝∴BF＝BC−FC＝4−＝∴S△BDF＝BD•FH＝BF•DC，即×5×FH＝××3，解得：FH＝故答案为：．18．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为

①③④．①；②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1．∴﹣＝﹣1．

∴b＝2a．∴＝2，故①正确．将b＝2a代入a2+b2﹣5b+8，∴a2+b2﹣5b+8＝a2+4a2﹣5×2a+8＝5（a2﹣2a+1）+3＝5（a﹣1）2+3．∵∴当a＝时，a2+b2﹣5b+8取最小值为5×（﹣1）2+3＝，故②错误．∵b＝2a，∴am2+bm﹣a+b＝am2+2am﹣a+2a＝am2+2am+a＝a（m2+2m+1）＝a（m+1）2．∵a＞0，（m+1）2≥0，∴am2+bm﹣a+b＝a（m+1）2≥0，即am2+bm﹣a+b≥0，故③正确．∵x1+x2+2＞0，∴＞﹣1．∴x1，x2的中点在对称轴的右侧．∵x1＜x2，∴点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近．∵抛物线开口向上，∴y1＜y2，故④正确．

故答案为：①③④．三、解答题19．（16分）（1）计算：．（2）求不等式组的解集．（3）先化简，再求值：，其中．【解答】解：（1）原式＝2×+2+5﹣1＝1+2+5﹣1＝2+5；（2）解不等式①，得x＞﹣6，解不等式②，得x≤13，∴不等式组的解集为﹣6＜x≤13；（3）原式＝（﹣）•＝•＝当x＝+1时，原式＝＝．20．（10分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了m名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如图统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．

（1）求m＝200，并补全条形统计图．（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．【解答】解：（1）m＝44÷22%＝200（名），喜欢乒乓球的人数；200﹣44﹣16﹣88＝52（名），补全统计图：故答案为：200；（2）1200×＝336（名），答：估计喜欢乒乓球运动的学生有336名；（3）画树状图得：

∵一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．21．（10分）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．（1）求点B离水平地面的高度AB．（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE，∵斜坡BE的坡度∴＝＝在Rt△ABE中，tan∠BEA＝＝∴∠BEA＝30°，∵BE＝6m，∴AB＝BE＝3（m），AE＝AB＝3（m），∴点B离水平地面的高度AB为3m；（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，

由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，设EC＝x米，∵AE＝3米，∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，∴CD＝CE•tan60°＝x（米），在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，∴DF＝BF•tan45°＝（x+3）米，∵DF+CF＝CD，∴x+3+3＝x，解得：x＝6+3∴CD＝x＝（6+9）米，∴电线塔CD的高度为（6+9）米．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．（1）求k的值及点B的坐标．（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．

【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，∴A（1，3），∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y＝联立解析式得解得或∴B（﹣3，﹣1）；（2）∵∴P是AB的中点，∴P（﹣1，1），∴OB的解析式为y＝x，当PM取得最小值时，PM⊥OB，∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，代入p（﹣1，1）得3+b＝1，解得b＝﹣2，∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，联立解析式得

解得∴M（﹣，﹣），∴PM的最小值为：＝．23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）求证：BD＝ED．（3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵点D为的中点，O为圆心，∴OD⊥BC，∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；

（2）证明：∵点D为的中点，∴∴∠DBC＝∠BAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DEB是△ABE的外角，∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE，∵∠DBE＝∠CBE+DBC，∴∠DEB＝∠DBE，∴BD＝ED；（3）解：如图，连接CD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠DCF+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠DCF，∵DF∥BC，∴∠ACB＝∠F，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠F，

∴△ABD∽△DCF，∴∵点D为的中点，∴∴BD＝CD，由（2）知BD＝ED，∴CD＝BD＝DE＝5，∵CF＝4，∴∴AB＝．24．（12分）综合与实践（1）操作与发现平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHK为矩形．则△EDK≌△EAG．（2）探究与证明探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．①通过操作得出：AE与EB的比值为

1．②证明：四边形OJKL为平行四边形．（3）实践与应用任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．

【解答】（1）解：如图2，∵AB∥CD，∴∠GAE＝∠D，由题意得E为AD中点，∴EA＝ED°，∵∠AEG＝∠DEK，∴△EDK≌△EAG，故答案为：△EAG；（2）①解：如图5，由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，

∴AE＝BE，，故答案为：1；②证明：如图5，由题意得，E、F、G、H是AB、BC，CD，DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP，将四边形OGCF放在左上方，则AQ＝BF＝CF，AP＝DG＝CG，∠BFO＝∠AQL，∵∠DAB+∠B+∠C+∠D＝360°，∠QAE＝∠B，∠PAH＝∠D，∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ＝360°，∴∠PAQ＝∠C，∵∠BFO+∠CFO＝180°，∴∠AQL+∠AQK＝180°，∴K，Q、L三点共线，同理K，P，J三点共线，由操作得∠2＝∠L，∠3＝∠J，∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，∴∠1+∠L＝180°，∠1+∠J＝180°，∴OJ∥KL，OL∥KJ，∴四边形OJKL为平行四边形；

（3）解：如图，取AB、BC、CD，DA为中点为E、H、G、F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH′M′，将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG′N′，将四边形NGCH放置左上方，使得点C与点A重合，CG与AG′重合，CH与AH′重合，点N的对应点为点N″，则四边形MM′N″N′即为所求矩形．由题意得∠EMF＝∠EMH＝∠M′＝90°，∠GNH＝∠GNF＝∠N'＝90°，∴∠N'＝∠M′MH＝90°，H′M′∥N′M，∴N′G′∥MM′，由操作得，∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵∠1+∠2＝180°，∴∠3+∠4＝180°，∴N″，H′，M′三点共线，同理N′，G′，N″三点共线，∵∠N'＝∠EMF＝∠M'＝90°，∴四边形MM′N″N为′矩形，如图，连接AC，EF，FG，GH，EH，∵E，H为BA，BC中点，

∴EH∥AC，EH＝AC，同理FG∥AC，FG＝AC，∴FG∥EH，FG＝EH，∴∠EHM＝∠GFN，∵∠EMF＝∠GNH＝90°，∴△EHM≌△GFN（AAS），∴EM＝GN，MH＝NF，∴FM＝NH，由操作得，AH′＝BH，而BH＝CH，∴AH′