【人教B版高中数学选择性必修第二册】二项式定理与杨辉三角（1）-课件

二项式定理与杨辉三角（1）

高二年级数学实际情境：

小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次.

×××√×√××××比如在一个表格的十个格子中画勾或叉，画勾代表投中，画叉代表没投中，假设投中2次，分别是在第4次、第6次就如下表：

投中1次，就有种情况，投中0次只有1种（即）情况，

投中2次就有种情况，……，投中10次有种情况．因此，小张投篮10次，结果共有种情况，那么上式的结果是多少呢？我们知道：而且首先观察右边各项，思考一下，展开式中的每一项是怎么形成的呢？发现①从三个括号中各取一个字母相乘得到，比如第一个括号取a，第二个取b，第三个取a，就能得到

；所以展开式中的每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有

，，，.第二步，研究每一项具体有多少个呢？比如要得到

，①式右边的3个括号中，要有1个取b，剩下2个都取a，因此有种取法，所以有个

；同理可知，①式右边展开后有个

；可以看成①式右边的3个括号中取0个b得到的结果；可以看成①式右边的3个括号中取3个b得到的结果；因此①归纳反思：以选择多少个b为对象，选0个b（就是）系数为

，选1个b（就是）系数为

，）系数为

，选2个b（就是）系数为

，

选3个b（就是）系数为.选k个b（就是（1）对来说，展开式中的每一项都是n次项；（2）按b的升幂排列，有

共n+1种结果；）系数为

，a和b指数和为n.n次式，选k个b（就是（3）以选择多少个b为对象：猜想规律：二项式定理及相关概念（要求n是正整数，k是满足0≤k≤n的自然数.）一般地，当n是正整数时，有上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为的展开式，它共有n+1项，其中是展开式中的第k+1项将称为二项展开式的通项公式．表示），称为第k+1项的二项式系数.（通常用例1.（1）写出的展开式．解：在二项式定理中，令a=1，b=x，n=6，可得（2）写出的展开式．解：在二项式定理中，令a=2，b=–x，n=5，可得小结：

利用二项式定理写展开式，要确定a,b分别是什么，括号内的两项，前面一项看成是a，后面一项看成是b，然后按照定理展开即可．比如，就令a=p,b=q；，就令a=p,b=–q．例2.（1）的展开式的第4项是_______，含的项的二项式系数是________．解：根据通项公式由已知

k=5，则其二项式系数为（2）求的展开式中含的项.解：因为所以展开式中的第k+1项为要使此项含，必须有9–2k=3，从而有k=3，因此含的项为第4项含的项的系数是–84，二项式系数是（3）求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．解：因为所以展开式中的第k+1项为要得到常数项，必须有3–k=0，从而有

k=3，因此常数项是第4项，且可知常数项值为160，对应二项式系数小结：S1：确定定理中的a,b,n在题目中指的都是什么；求二项展开式中指定项的解题程序：S2：写通项公式，通过指数运算进行整理；S3：若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指数等于t（常数项的指数为0），计算出

k；S4：将k代入通项公式，即为所求．令x=1，右端的展开式就是所求的问题，而左端代入1，得到赋值法根据二项式定理可知再对比课前投篮问题，要计算的是对于，令x=1，可得令x=–1，可得（②+③）÷2，可得512.小结：利用赋值法得到二项式系数和的规律如果令a=b=1，则有结论1：在的展开式中，二项式系数和为二项式系数的和只与n有关．如果令a=1，b=–1，则有也就是说结论2：在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和．课堂小结本节课学习了二项式定理，即要清楚二项展开式有n+1项，按b