线性代数完整教学课件

线性代数完整教学课件2024/7/232024/7/23线性代数2024/7/23课程简介:线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性和逻辑性，是高等学校各专业的一门重要的基础理论课。对线性方程组的讨论，在理论上和历史上都是线性代数这门学科的起点。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的思想和方法广泛地应用于各个学科。

2024/7/23本学期课程包括以下内容：矩阵、行列式、向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量。2024/7/23课程特点:1、是一门基础课程，为后续课程做准备.2、定义、定理、推论繁多，必须理解记忆和区别.3、具有较强的抽象性和逻辑性.2024/7/23参考书目：《线性代数》(第三版)赵树嫄编中国人民大学出版社《线性代数》同济大学数学系编高等教育出版社《实用线性代数》郑昌明编中国人民大学出版社2024/7/23第1章矩阵§1.1矩阵的概念§1.2矩阵的运算§1.3方阵的行列式§1.4矩阵的分块§1.5可逆矩阵§1.6矩阵的初等变换§1.7矩阵的秩§1.8矩阵应用的两个例子2024/7/23

引言

矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在经济学、物理学、生物学、地理学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。

本章首先引入矩阵概念，继而介绍几个特殊矩阵，矩阵的基本运算、方阵的行列式、可逆阵和矩阵的初等变换、矩阵的秩等关于矩阵的基本理论。2024/7/23§1.1矩阵的概念例1某商场三个分厂的两类商品一天的营业额（万元）第一分厂第二分厂第三分厂彩电865冰箱423用矩形阵列表简明地表示为一、引例2024/7/23例2线性方程组的解取决于系数常数项2024/7/23对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原来位置可排为矩形阵列这就是矩阵2024/7/23二、矩阵概念定义1.2由个数aij(i=1,2,…m;j=1,2,…,n)排成一个m行n列的矩形表，即注：1’数主要指实数，实数的全体称为实数域，记为R.2024/7/234’方阵：

m=n

时,称A为n

阶方阵,也称为n阶矩阵.5’行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵.也称为行(列)向量.m=1n=16’零矩阵O:元素都是零的矩阵.2’实(复)矩阵:

元素均为实(复)数的矩阵.3’矩阵一般用大写字母A、B、…等表示.主对角线7’主对角线（方阵）副对角线2024/7/23例如是一个

实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.2024/7/23练习1从定义可以看出,确定一个矩阵的要素是行数列数及元素.2024/7/23三、几种特殊矩阵（均为方阵）1、对角矩阵定义

所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为

对角矩阵(diagonalmatrix).是一个四阶对角矩阵。n阶对角矩阵常记为或这里当然允许主对角线上的元为零.或diag(a11,a22,…,ann)2024/7/232、数量矩阵定义

如果n阶对角矩阵所有主对角线上的元都相等，则称 此矩阵为n阶数量矩阵

(scalarmatrix).即或diag(a,a,…,a)特别地，如果n阶数量矩阵A中的元素a=1时，则称A

为n阶单位矩阵，记作，有时简记为E.即2024/7/233、三角形矩阵定义

如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，则称此矩阵为上三角形矩阵.

如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，则称此矩阵为下三角形矩阵.A为n阶上三角形矩阵；B为n阶下三角形矩阵.对角矩阵既是上三角形矩阵又是下三角形矩阵.注2024/7/23练习1在下列矩阵中,指出三角形矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵：练习2根据所讨论的特殊形式的矩阵的概念，指出其有从属关系者.2024/7/234、对称矩阵和反对称矩阵定义

如果n阶矩阵A=（aij）的元满足aij

=aji(i,j=1,2,…,n),

则称矩阵A为对称矩阵.注：A中元素关于主对角线为对称.如是一个三阶对称矩阵.它的元素关于A的主对角线对称①对称矩阵2024/7/23②反对称矩阵定义

如果n阶矩阵A=(aij)的元满足aij=-aji(i,j=1,2,…,n),

则称矩阵A为反对称矩阵.注：A中主对角线元素为零.2024/7/23复习(1)矩阵的概念2024/7/23(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.2024/7/23§1.2矩阵的运算▲矩阵相等:若矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)s×t的行数和列数对应相等，且对应元也相等，则称矩阵A和B相等，记作A=B。

矩阵的意义不仅在于将一些数据排成阵列形式，而在于对它定义了一些有理论和实际意义的运算。从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具。称矩阵A和B同型2024/7/23例1

设解2024/7/23一、矩阵的加法定义

设有两个矩阵矩阵称为矩阵A和B的和.记作2024/7/23设矩阵-A称为A的负矩阵，显然有A+(-A)=O.应该注意，只有当两个矩阵行数相等，列数相等时，这两个矩阵才能进行加法运算.*①②记由此规定矩阵的减法，即矩阵A与B的差为2024/7/23例2有某种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B，则从各产地运往各个销地两次的物资调运量（单位：吨）共为两次调运完后，销地发现该种物资不好出售，回运量为矩阵C则最终从产地到销地的总调运量为2024/7/23矩阵的加法满足下列运算规律：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=O+A=A（4）A-A=A+(-A)=O其中A、B、C和零矩阵O是行数相等，列数相等的矩阵.2024/7/23二、数与矩阵的乘法定义

数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak，规定为简称为

数乘。注：1’A的负矩阵-A=(-1)A.

2’当矩阵A的所有元都有公因子k时，k可提到矩阵外面.例diag(a,a,…,a)=adiag(1,1,…,1)=aE2024/7/23数与矩阵的乘法满足下列运算规律：(1)k(A+B)=kA+kB(2)(k+h)A=kA+hA(3)k(hA)=(kh)A(4)1A=A，0A=O其中A、B为矩阵；k、h为数.例3：已知且A+2X=B,求X.解：2024/7/23设求练习1练习2如果矩阵X满足X-2A=B-X,其中求X.2024/7/23三、矩阵的乘法引例某地区有4个工厂I、II、III、IV，生产甲、乙、丙3种产品，矩阵A表示一年中各个工厂生产各种产品的数量，矩阵B表示各种产品的单位价格及单位利润，矩阵C表示各工厂的总收入及总利润。IIIIIIIV甲乙丙甲乙丙单位价格单位利润IIIIIIIV总收入总利润第i个工厂的总收入第i个工厂的总利润2024/7/23所以矩阵A,B,C有如下关系其中即C中第i行第j列的元素等于矩阵A第i行元素与矩阵B第j列对应元素乘积的和。将此中关系定义为矩阵的乘法。2024/7/23定义1.6

设矩阵则矩阵A与B的乘积是一个矩阵其中记作C=AB.*必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.2024/7/23矩阵的乘法可图示如下：

乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij就是A的第i行与B的第j列对应元乘积的和.2024/7/23注:BA无意义,矩阵相乘具有方向性.AX称为用X右乘A,XA称为用X左乘A.2024/7/23解.

求与例5

设2024/7/233.矩阵的乘法不满足消去律,即如果未必可得注由以上两例可以看出:

1.矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.2024/7/23例6

若，求AB与BA.解：即AB=BA定义:

如果两个n阶矩阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换.2024/7/23例7

解矩阵方程解：由题目知X为二阶矩阵，设代回原方程得：解得所以2024/7/23(1)(AB)C=A(BC)(2)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CAk(AB)=(kA)B=A(kB),(其中k为数)矩阵的乘法满足下列运算规律(假设运算都是可行的):例8证明：若CA=AC，CB=BC，则(A+B)C=C(A+B),(AB)C=C(AB)证：因为CA=AC,CB=BC，故(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B)(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)2024/7/23▲

、方阵的幂定义

设A是一个n阶方阵，k为正整数,称为A的k次幂.这就是说，Ak就是k个A连乘。显然只有方阵的幂才有意义.

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算律：AkAl=Ak+l(Ak)l=Akl其中k、l为正整数.2024/7/23又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个

n阶方阵A与B，(AB)k

一般不等于AkBk.

如果Ak=O，也不一定有A=O.例如取而*①②2024/7/23练习3练习42024/7/23四、矩阵的转置1.定义1.7

把矩阵的行和列互换，得矩阵，称为A的转置(transpose),记作AT.到一个注：1’A是对称矩阵的充分必要条件是AT=A2’A是反对称矩阵的充分必要条件是AT=-A2024/7/232.矩阵的转置满足以下运算规律（假设运算都是可行的）(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT(4)(AB)T=BTAT

(4)的证明：设记由矩阵的乘法定义，有2024/7/23而BT的第i行为AT的第j列为因此所以即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.对于多个矩阵相乘，有2024/7/232024/7/23例10

设列矩阵满足证明2024/7/23小结矩阵运算加减法数与矩阵相乘矩阵的乘法转置矩阵2024/7/23§1.3方阵的行列式

行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章从二阶行列式出发，介绍了n阶行列式的概念、性质、计算方法.2024/7/23一、二阶行列式

为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：称为方程组的系数矩阵2024/7/23

上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.为便于记忆，引进如下记号：

称其为系数矩阵A的行列式(determinant)，记为detA或|A|。2024/7/23

据此，解中的分子可分别记为：2024/7/23

方程组未知量的系数所构成的二阶行列式例1

解二元线性方程组解方程组有唯一解.又于是方程组的解为2024/7/23二、n阶行列式的定义采用递推法给出n阶行列式的定义1、对于1阶方阵A=(a11)=a11

，定义detA=a11

；2、假设n-1阶方阵的行列式已定义（称为n-1阶行列式），下面递推地给出n阶方阵的行列式定义（称为n阶行列式）.称为一阶行列式2024/7/231、余子式与代数余子式在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式,记作Mij；而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.2024/7/23例1求出行列式解2024/7/23例2

求二阶行列式第一行和第二列各元素的代数余子式.解设的代数余子式是的代数余子式是的代数余子式是计算2024/7/23定义1.8n阶矩阵A的行列式detA（即n阶行列式）定义为它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即2、n阶行列式的定义注：1’上式也称为行列式按某一行（列）展开

；

2’n阶行列式是一个数值。2024/7/23例3三阶行列式按第一行和第三列展开.设2024/7/23对角线法则2024/7/23例4计算行列式（按第一行和第三列展开）解:(i)因为所以(ii)因为所以2024/7/23例5计算上三角形矩阵的行列式|A|=detA（称为上三角形行列式）解：注：1’

上三角形行列式的值等于主对角线上元的乘积

2’

同理可得下三角形行列式的值也等于主对角线上元的乘积2024/7/23三、行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.(|A|=|AT|)说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.2024/7/23性质2

互换行列式的两行(列),行列式的值变号.推论

若n阶矩阵A的两行（列）完全相同，则detA=0.性质3

行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于数k乘以此行列式，即2024/7/23推论1

如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式的外面.

推论3

如果行列式某行（列）元素全为零,则此行列式等于零.

推论2

如果行列式有两行（列）对应元素成比例，则此行列式等于零.2024/7/23性质4

若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即式的和。

推论

如果行列式的某一行（列）的每一个元素都可以写成个数的和，则此行列式可以写成个行列2024/7/23性质5行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变.2024/7/23表示行列式第列.表示行列式第行.表示交换行列式第行和第行对应元素.表示交换行列式第列和第列对应元素.表示行列式中第行所有元素同乘以数后加到第行的对应元素上.表示行列式中第列所有元素同乘以数后加到第列的对应元素上.2024/7/23例6

计算行列式解2024/7/232024/7/23计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角行列式来计算．化三角行列式的步骤：i.

如果行列式第一列第一个元素为０，先将第一行与其他行交换，使第一列第一个元素不为０ii.

把第一行分别乘以适当的系数加到其它行，使第一列除第一个元素外其余元素全为０

iii.

再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式iv.

如此下去，可化为上三角行列式．2024/7/23解2024/7/23解例7

计算行列式2024/7/23例8

证明奇数阶反对称行列式的值为零.即证2024/7/23故当n为奇数时，detA=－detA，推得detA=0．例9

计算n阶行列式2024/7/23解(1)

2024/7/23解(2)注意到行列式各列元素之和等于x+(n-1)a,有2024/7/23解例10

计算n阶行列式2024/7/23例11

计算n阶行列式解解2024/7/23例12计算阶行列式。解2024/7/232024/7/23定理1.1n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即其他性质定理1.3设A、B均为n阶方阵，则有detAB=detA·detB.

推广设A1,A2,…,Ak均为n阶方阵，则有

detA1A2…Ak=detA1·detA2·…·detAk.2024/7/23例13

已知4阶行列式解(方法1)(方法2)利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有2024/7/23练习

求证:证左边2024/7/232024/7/23§1.4矩阵的分块在矩阵的运算中,有一种很常见的技巧,即把矩阵进行切块,然后,以“块”当“元素”进行计算,这就是通常所谓的“分块矩阵”运算。这样做的目的,一为计算方便;二为显示出矩阵中某些部分的特性。2024/7/23比如，设，将在行的方向分成2块，在列的方向分成2块,如下：2024/7/23其中：容易看出，都是一些特殊的矩阵，这可以给矩阵计算带来很大的方便。2024/7/23定义:

将A用若干条横线和纵线分成许多个小矩阵（A的子块），以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.注

矩阵分块是非常自由的，分法服从需要与方便.

例如按行分块矩阵：

其中：一.矩阵分块的概念2024/7/23其中：按列分块矩阵：2024/7/23又如：②①2024/7/23二.分块矩阵的运算与对应的设分块矩阵,如果子块和都是同型矩阵，则A与B同型且它们的分块方法相同,则A与B的和定义为对应子块相加.1.分块矩阵的加法

2024/7/232.分块矩阵的数量乘法

设分块矩阵是一个数，则2024/7/233.分块矩阵的乘法

2024/7/23

例1

设矩阵用分块矩阵计算解：将A和B分块如下：其中2024/7/23分别计算代回上面三式即得。则2024/7/234.分块矩阵的转置

则如果将矩阵A分块为2024/7/235.分块对角矩阵和分块三角形矩阵定义形如则称分块矩阵A为分块对角矩阵.分别称为分块上三角形矩阵和分块下三角形矩阵。注：分块对角（上下三角形）矩阵的行列式等于主对角线上矩阵行列式的积，即detA=detA11detA22…detAss.2024/7/23解对A与B进行分块例设求2024/7/23则2024/7/232024/7/23分块之后,可以利用零矩阵和单位矩阵使运算简化.§

1.5可逆矩阵一.

可逆矩阵的定义定义

对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得

AB=BA=E，

则矩阵A称为可逆矩阵，简称A可逆.矩阵B

称为A的逆矩阵.注

定义中矩阵A和B是对称的,所以矩阵B也是可逆的,并且A为B逆矩阵.例1单位矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵为不是可逆矩阵，因为对任意矩阵,有例2

零矩阵2024/7/23阶方阵定理

若可逆，则其逆矩阵唯一.(从而将的逆矩阵记为.)证:则于是所以的逆矩阵是唯一的.2024/7/23例设解设是的逆矩阵,则利用待定系数法2024/7/23又因为所以2024/7/23定义

如果阶方阵的行列式,则称为非奇异的(或非退化的),否则称为奇异的(或退化的).2024/7/23阶矩阵可逆的充分必要条件

二.的伴随矩阵，记为是一个定义

设矩阵阶方阵，为的元素的代数余子式，则称矩阵为矩阵.2024/7/23证:

必要性A可逆，即存在A-1，使AA-1=E.所以充分性设记定理阶矩阵

可逆的充分必要条件是

并且当A可逆时，有2024/7/23同理可得BA=E.所以A可逆，并且2024/7/23

同理可证,若,则A-1=B.

所以A-1存在，由此可知,定义中AB=BA=E可简化为AB=E（或BA=E）.

证:

设,则故推论

设是阶矩阵，若存在阶矩阵，使得

或，则可逆，且B=EB从而=A-1=A-1(AB)=(A-1A)B=A-1E2024/7/23三.求逆矩阵方法⑴先求,当时A不可逆,当时A可逆,逆矩阵存在;2024/7/23例判断矩阵是否可逆,若可逆,求所以存在.又2024/7/23所以故2024/7/23

解

若A-1，B-1存在，则由A-1左乘上式，B-1右乘上式，有

A-1AXBB-1=A-1CB-1,即X=A-1CB-1.因为求矩阵X

使得AXB=C.例

设所以A、B都可逆.且2024/7/23于是2024/7/23例

设阶矩阵满足证明为可逆矩阵,并求(其中为常数且).解

由可得即又因为,所以即所以可逆,且2024/7/23证：由得，即：可逆，且，故再由得，即：，故可逆，且都可逆，并求它们的逆矩阵。例

设方阵满足方程证明：，2024/7/23四.可逆矩阵的性质

（1）若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A.

证:由AA-1=E得A-1也可逆，且(A-1)-1=A.

（2）若A可逆，数k不为零，则kA可逆，且(kA)-1=k-1A-1.

证:由AA-1=E，得(kA)(k-1A-1)=kk-1AA-1=E，即kA可逆，且(kA)-1=k-1A-1.2024/7/23

证:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E，由推论，得(AB)-1=B-1A-1.（4）若A可逆，则AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T.证:AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E，所以(AT)-1=(A-1)T.（3）若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)-1=B-1A-1.若阶方阵都可逆,则也可逆,且（5）若A可逆，则detA-1=1/detA.2024/7/23例

若A,B,C是同阶矩阵且A可逆,证明下列结论中

(1),(3)成立,举例说明(2),(4)不必然成立.

若AB=AC,则B=C(2)若AB=CB,则A=C(3)若AB=O,则B=O(4)若BC=O,则B=O解:(1)若AB=AC,则A-1AB=A-1AC,即EB=EC,所以

B=C2024/7/23

则(2)设2024/7/23(3)若AB=O,则A-1AB=A-1O,即EB=O,所以B=O

(4)设则但2024/7/23所以D可逆,设其中是阶矩阵，例

设分块矩阵,其中是阶可逆矩阵，是阶可逆矩阵，证明：可逆并求。是阶矩阵，则证：因为

2024/7/23整理得

解得：从而2024/7/23则A可逆,且对于分块对角矩阵(其中都是方阵)有如下结论:2024/7/23特别地则可逆，且若2024/7/23例解故2024/7/23例设解2024/7/23解例等式两边同时右乘等式两边同时左乘2024/7/232024/7/23五、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵存在2024/7/23§1.6矩阵的初等变换定义

矩阵的行（列）初等变换指的是一个矩阵施

行的下列三种变换：2.用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；1.交换矩阵的两行（列）；

一.矩阵的初等变换2024/7/233.用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。

矩阵的行初等变换和列初等变换统称为初等变换。

2024/7/23表示交换矩阵第行和第行对应元素.表示矩阵第行.表示矩阵第列.表示交换矩阵第列和第列对应元素.表示矩阵中第行所有元素同乘以数后加到第行的对应元素上.表示矩阵中第列所有元素同乘以数后加到第列的对应元素上.2024/7/23例题2024/7/23定义

对单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。1.交换单位矩阵的第行（或列）得到的初等矩阵记为，即三种初等变换对应着三种初等矩阵：二.初等矩阵2024/7/23第行第行2024/7/23的第行（或列）得到2.用数乘单位矩阵的初等矩阵记为，即行第2024/7/23把单位矩阵的第列的倍加到第列上）得到的初等矩阵记为，即3.把单位矩阵的第行的倍加到第行上（或2024/7/23从而初等矩阵的逆矩阵还是同型的初等矩阵。

（2）初等矩阵都是可逆矩阵，且定理设初等变换相当于在矩阵的左边乘以一个相应的施行一次行矩阵，对矩阵是一个施行一次列初等变换相当于在阶初等矩阵；对矩阵阶初等矩阵。的右边乘以一个相应的矩阵即有：性质（1）初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵,且2024/7/232024/7/232024/7/232024/7/232024/7/23例：矩阵（1）将矩阵A的第3列和第1列交换：（2）将矩阵A的第3行乘2加到第1行：2024/7/23（3）将矩阵A的第3行乘2：2024/7/231.矩阵的等价标准形定义1.15

若矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的（或相抵的）。三.求逆矩阵的初等变换法2024/7/23特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.定理1.7

任意矩阵A都与一个形如的矩阵等价。这个矩阵称为矩阵A的等价标准形。2024/7/23证如果所有的都等于零,则已是D的形式,此时,加到第行现将矩阵的第一行乘,再将所得的矩阵的第一列乘加到第列然后用乘第一行,于是矩阵化为如果至少有一个不等于零,不妨设2024/7/23如果则已化为D的形式,那么按上面的方法继续下去,直到化为D的形式.如果2024/7/23例1：化下列矩阵为等价标准形（1）（2）解：（1）（2）2024/7/23

推论1对于任意矩阵A，存在m阶初等矩阵和n阶初等矩阵使得

推论2对于任意矩阵A，存在m阶可逆矩阵和n阶可逆矩阵使得2024/7/23注：此推论告诉我们，当A可逆时，则A经过一系列的初等变换后总可以化为单位矩阵。推论3n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A

的等价标准形为En.推论4

n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.2024/7/23若A可逆，则存在初等矩阵和使得充分性.若A可以表示成有限个初等矩阵的乘积，则由于初等矩阵都可逆，所以A也可逆。所以即A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。证

必要性.2024/7/232.求逆矩阵的初等变换法作同样和同阶的单位矩阵结论:如果对可逆矩阵的行初等变换，那么当变为单位矩阵时，就变为矩阵，即：

同理地，对作同样的列初等变换，和同阶的单位矩阵可逆矩阵变为单位矩阵时，就变为矩阵那么当，即：2024/7/23例

求的逆矩阵。解2024/7/232024/7/23设A为n阶可逆矩阵,求解矩阵方程AX=B.方法一:先求出,然后计算方法二:设A为n阶可逆矩阵,求解矩阵方程XA=B.方法一:先求出,然后计算方法二:2024/7/23例

求解矩阵方程AX=B,其中解法一:2024/7/232024/7/23解法二:2024/7/23一.矩阵的k阶子式(定义1.9)书P25

（行,列）,

位于这些行和k行k列定义:设是一个矩阵,则在矩阵A中任取阶行列式:叫做A的一个k阶子式.个元素按照原来相应位置所构成的列相交处的§

1.7矩阵的秩2024/7/23为一阶子式;其中为二阶子式;为三阶子式.2024/7/23思考m×n矩阵A的k阶子式共有多少个？二.矩阵的秩定义:设是一个矩阵,如果A中不等于零的子式的最高阶数为r,即存在一个r阶子式不为零,而任何r+1阶子式皆为零,则称r为矩阵A的秩,记作秩(A)

=r或r(A)

=

r.2024/7/23注:1.

当A=O时,规定r

(A)=

02.4.3.当

时,称矩阵A为满秩矩阵5.若,则r

(A)=n的充分必要条件是2024/7/23解矩阵A的三阶子式共有4个:矩阵A的二阶子式共有18个,其中所以例求的秩.2024/7/23解矩阵A的三阶子式共有4个:

矩阵A的二阶子式共有18个均为零:一阶子式例求

的秩.所以2024/7/23例解三.求秩方法行阶梯形矩阵特点：横线下方全是0；每阶只有一行，阶数即非零行数；竖线后面第一个元素为非零元.2024/7/23定理1.9:

任一矩阵A经过有限次初等变换后其秩不变.包括（1）互换两行（列），其秩不变；（2）非零数k乘以第i行（列），其秩不变；（3）非零数k

乘以第i行（列）加到第

j行（列）,

其秩不变.定理1.8:

任意一个矩阵，均可以经过一系列行初等变换化为梯矩阵.

初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.2024/7/23所以2024/7/23所以2024/7/23所以2024/7/23称为行最简形矩阵特点：各阶第一个非零元都是1且所在列其余元素均为0.2024/7/232024/7/23第2章线性方程组§2.1线性方程组§2.2向量及其线性运算§2.3向量间的线性关系§2.4向量组的秩§2.5线性方程组解的结构§2.6Rn的标准正交基2024/7/23本章要点线性方程组向量组的线性相关性解法(消元法)解的判定解的结构线性相关与线性无关极大无关组与秩2024/7/23§2.1线性方程组线性方程组的一般形式:

当常数项不全为零时,称为非齐次线性方程组;

当常数项全等于零时,称为齐次线性方程组.设

称A为(2.1)的系数矩阵.一、n元线性方程组的相关概念2024/7/23称为n元未知量矩阵.称为(2.1)的常数项矩阵.于是线性方程组(2.1)写成矩阵方程形式

将系数矩阵A和常数项矩阵B放在一起构成的矩阵,即称为(2.1)的增广矩阵(2.1)一一对应2024/7/23二、克拉默(Cramer)法则注：

Cramer法则仅适用于方程组中方程的个数等于未知量的个数情形。

考虑未知量的个数与线性方程的个数相同的情况:(2.2)2024/7/23对于二元线性方程组其中2024/7/23推广到n元线性方程组其中定理2.1(克拉默法则)如果线性方程组(2.2)的系数行列式则线性方程组有惟一的一个解并且

(2.3)克拉默法则的结论包含三层涵义:①方程组(2.2)有解;②解是惟一的;③方程组的解可由公式(2.3)给出.2024/7/23证明：方程组(2.2)的矩阵形式为AX=B,∵detA≠0,∴A可逆，故X=A-1B。又∵A-1=A*/detA，2024/7/23其中从而又因为A的逆矩阵惟一，所以方程组的解惟一

思考：如果非齐次线性方程组(2.2)无解或有两个不同的解,那么它的系数行列式=？2024/7/23解例1

解线性方程组方程组的系数行列式所以方程组有惟一解,而2024/7/23所以方程组的解为注当线性方程组的系数行列式等于零时,不能应用克拉默法则求解.2024/7/23

考虑齐次线性方程组定理2.2

如果齐次线性方程组(2.4)的系数行列式D≠0那么齐次线性方程组(2.4)只有零解.即,如果齐次线性方程组(2.4)有非零解,那么齐次线性方程组(2.4)的系数行列式D=0.(2.4)2024/7/23例2

如果齐次线性方程组

有非零解,求k值.

解

方程组的系数行列式

2024/7/23课堂练习练习答案或提示2024/7/23

在中学代数中,已经学过用消元法解简单的线性方程组,这一方法也适用于求解一般线性方程组（2.1）,并可用其增广矩阵的行初等变换表示其求解过程。消元法的基本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组。在解未知数较多的方程组时，需要使消元步骤规范而又简便。下面通过例子来说明消元法的具体做法：解题方法说明:三、线性方程组的消元解法2024/7/23引例

解线性方程组：回忆在中学是如何解此方程组…2024/7/23解：将原方程组的第二个与第三个方程分别减去第一个方程的倍和倍，得：将方程组（2）中的第三个方程加上第二个方程的倍，得：2024/7/23将方程组（3）中的第三个方程乘以，得：将方程组（4）中的第一方程及第二个方程分别加上第三个方程的1倍及倍，得：2024/7/23将方程组（5）中的第二个方程乘以，得将方程组（6）中的第一个方程加第二个方程的-2倍，得：2024/7/23最后以乘以方程组（7）中第一个方程，得：显然，方程组（1）至（8）都是同解方程组，因而（8）是方程组（1）的解。2024/7/23

从上述解题过程可以看出，用消元法解线性方程组的具体做法是对方程组反复施行下列三种变换：

1)互换两个方程的位置；

2)用一个不等于零的数乘某一个方程；

3)一个数乘某一个方程后加到另一个方程。这三种变换称为线性方程组的初等变换。线性方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。2024/7/23解题分析:从引例的解题过程中看到，对方程组用初等变换作消元法，只是对未知量的系数和常数项进行运算，因此可以用方程组的增广矩阵的行初等变换来表示：2024/7/23由最后一个矩阵得到方程组的解：2024/7/23在对一个线性方程组施行初等变换时，目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简，进而求得方程组的解，而由引例的题解过程又知道，化简方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。对一般的线性方程组来说，只通过行初等变换一般不能把它的系数矩阵化为如引例那样的对角矩阵的简单形式，但只通过行初等变换可以把任一个矩阵化为阶梯形矩阵。2024/7/23可以通过行互换变换将的第一列的某一非零元换到第一行来，因此可以假设将加到第第一行的元素乘上行，2024/7/23则变为，其中是一个阵，对矩阵重复上面的步骤进行,如有必要可重新排列方程中未知量的顺序,最后可以把化为如下形状的阶梯形矩阵矩2024/7/23与其对应的阶梯形线性方程组为：由上述讨论知，线性方程组（2.1）与线性方程组（2.6）是同解方程组，因此，要解线性方程组（2.1），只需解线性方程组（2.6），但方程组（2.6）是否有解以及有怎样的解都容易看出。2024/7/23情形1：若这时方程组(2.6)中的最后一个方程为矛盾方程,故方程组(2.6)无解,从而原方程组(2.1)无解.情形2：若

这时有两种情况:10当r=n时,方程组(2.6)可写成:2024/7/23这时，方程组（2.7）有惟一解，从而得到线性方程组（2.1）的惟一解。时，方程组（2.6）可以改写为：20

当2024/7/23于是，给予末知量以任意一组数值就得到方程组（2.9）的一个解：由（2.8）可得2024/7/23这也是方程组（2.1）的一组解。由于可以任意选取，用这种方法可以得到方程组（2.1）的无穷多解。常把末知量叫做自由末知量。2024/7/23求解步骤:①

②

分两种情况:II)当时,分下列两种情况:ii)

当r<n时,方程组有无穷多个解,且自由未知量的个数为n-r.i)

当r=n时,方程组有唯一解.方程组的解通过回代即可得.r实质上是A的秩即r(A)=r这里r代表什么?I)当时,方程组无解.当时,r()=?=r+12024/7/23定理2.3

n元线性方程组（2.1）有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,即

四、线性方程组有解的判定定理2024/7/23方程组有惟一解的充分必要条件是方程组无解充分必要条件是

方程组有无穷多个解的充分必要条件是关于非齐次线性方程组的结论且自由未知量的个数为n-r.2024/7/23齐次线性方程组：2024/7/23关于齐次线性方程组（2.11）的结论方程组仅有零解的充分必要条件是当齐次线性方程组中未知量的个数大于方程个数时，必有这时齐次线性方程组一定有非零解.方程组有非零解的充分必要条件是当齐次线性方程组中未知量的个数等于方程个数时，方程组有非零解充分必要条件是2024/7/23例1

解非齐次线性方程组解2024/7/23例2

解非齐次线性方程组解2024/7/23例3

解非齐次线性方程组解2024/7/232024/7/23练习答案2024/7/23解

2024/7/23解原方程组的同解方程组为例5.解齐次线性方程组

2024/7/232024/7/23练习答案2024/7/23例6

取何值时,线性方程组解方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为(1)2024/7/23由于根据克莱姆法则,得到惟一解2024/7/23(2)2024/7/23令2024/7/23例7有解?有解时求出全部解.解2024/7/23继续进行行初等变换2024/7/232024/7/23练习答案2024/7/23§2.2向量及其线性运算定义2.1

n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组(a1,a2,…,an)

称为一个n维向量,常用希腊字母α,β,γ,ε,η,…表示.一.n维向量的定义列向量其中第i个数ai称为向量的第i个分量.行向量列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵.这里向量概念是解析几何中向量的推广.注：这里β=αT2024/7/23每个分量都为零的向量称为零向量，记为，即，或负向量：称向量为向量的负向量，记为向量相等:设若则零向量：二.相关定义2024/7/23一组同维的行向量(列向量),称为向量组.三.向量与矩阵,显然矩阵A既对应m个行向量,又对应n个列向量:2024/7/23类似向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．向量组,,…，称为矩阵A的列向量组．2024/7/23四.向量的线性运算向量加法向量数乘定义

设为一实数向量减法2024/7/23这两种运算满足以下八条运算规律:

满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为向量的线性运算.设都是n维向量，都是实数，则2024/7/23由定义可知,空间概念是集合与运算二者的结合.2024/7/23子空间的定义

定义设V是Rn

的一个非空子集，若满足

(1)对任意α,β∈V，有α+β∈V（加法封闭）；

(2)对任意k∈R,α∈V,有kα∈V（数乘封闭）。则称V是Rn

的一个子空间。例

RnRn

，所以Rn是自身的一个子空间；

V={(0,0,…,0)T}Rn,也是一个子空间，称之为

零子空间。

V={(a,0,0)T|a∈R}R3,为R3的一个子空间。2024/7/23例已知⑴求⑵若求解

⑴⑵由得2024/7/23例设向量和,满足,,求向量和.解因为2α=（α+β）+（α-β）=(6，4，8)T所以α=1/2(6，4，8)T=(3，2，4)T

又因为2β=（α+β）-（α-β）=(6，6，4)T所以β=1/2(6，6，4)T=(3，3，2)T

2024/7/23§2.3向量间的线性关系一、向量的线性组合1、引例：向量与方程组设线性方程组的矩阵形式为AX=β,其中2024/7/23即存在x1=k1,x2=k2,…,xn

=kn使得β=k1α1+k2α2+…+knαn,也即β可表成α

1,α

2,…,α

n的线性关系式或线性组合。则称向量β可由向量组线性表示（出）.若存在一组数定义2.8

对给定向量使得表达式成立。或向量β是向量组的线性组合.方程组有解成立.

R(A)=R(A)成立.2024/7/23例1

令，其中第个分量为1，其余分量为零，。则任一个维向量都可由向量组线性表示，例2

零向量都可由任一向量组线性表示，并且有且有.例3

向量组中的任一向量都可由该向量组线性表示，并且有2024/7/23定理设则可由线性表示的充分必要条件是：线有解，而且这个线性方程组的每个解都可取作的线性组合的系数。性方程组：表成2、可线性表示的充分必要条件2024/7/23证：β可由向量组线性表示的充分必要条件是存在数x1,x2,…,xn

使得2024/7/23

可由向量组则向量

线性表示的充分

定理设必要条件是:以为列向量的矩阵与以为列向量的矩阵有相同的秩。注：判断向量β能否由向量组线性表示的问题,

可以转化为判断线性方程组是否有解的问题.

2024/7/23解考虑即非齐次线性方程组对方程组的增广矩阵进行行初等变换,得2024/7/23方程组有唯一解:2024/7/23解例2

试问下列向量b能否由其余向量线性表示?若能,写出线性表示式:

2024/7/23对矩阵进行行初等变换,得2024/7/23继续用行初等变换将矩阵化为行最简形矩阵,可得2024/7/23这是无穷多种表达式之中的一个.2024/7/23练习：答案：2024/7/23线性方程组

若令则方程组可写为向量方程二、线性相关与线性无关2024/7/23

对向量组,若存在不全为零的实数使得则称线性相关;否则称为线性无关,即

当且仅当时上式成立,

则称线性无关.定义例：设α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1)，α4=(2,-1,0),

则2α1-α2-α4=0，故α1,α2,α4线性

相关。而α1,α2,α3线性无关。1、定义2024/7/23有非零解。定理设则向量组线性相关的充分必要条件是:线性方程组：2、线性相关性的判定2024/7/23

必要条件是：以为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n。

定理设m维列向量组其中则向量组线性相关的充分2024/7/23①m维列向量组α1,α2,…,αn，线性无关的充要条件是：以α1,α2,…,αn为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n。注：⑤②

n维列向量组α1,α2,…,αn，线性相关的充要条件是：

以α1,α2,…,αn为列向量的矩阵A的秩小于向量的个数n。也即|A|=0.③n维列向量组α1,α2,…,αn，线性无关的充要条件是：

以α1,α2,…,αn为列向量的矩阵A的秩等于向量的个数n。也即|A|≠0.④当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关。2024/7/23例1

含有零向量的向量组必线性相关。对向量组有是线性无关的。维向量

，则向量组线性相关。例3例4

单个向量线性相关（无关）当且仅当向量（非零向量）。为零维向量组例22024/7/23解令矩阵2024/7/23另一解法2024/7/23

例6

判断向量组是否线性相关?

解令矩阵2024/7/23

解

令矩阵2024/7/23当即且且时，当或2024/7/23另一解法

所以当即且时，因为，当或2024/7/23

例8

设线性无关,试讨论的线性相关性.

解:设整理得由线性无关得

即当且仅当时(*)式成立,所以,向量组线性无关.2024/7/23该定理的逆否命题为：

若一个向量组线性无关，则其任一部分组也线性无关。

部分相关,则整体相关.整体无关,则部分无关.则存在不全为零的实数使得显然，成立，即线性相关.

定理

如果一个向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则整个向量组线性相关.

设中部分组线性相证关，2024/7/23(1)线性无关;(2)线性相关;练习：答案：2024/7/23三、线性相关与线性表示的关系推论

向量组线性无关其中任一向量都不能由其它向量线性表示.2024/7/23设是其余s-1个向量的线性组合,则存在一

显然,即:线性相关.设线性相关,则存在不全为零的数使得不妨设则即:可由线性表示.(2)证(1)显然.组数使得2024/7/23则，否则有：线性无关，而向量组线性相关，则可由向量组线性表示且表示法唯一。定理

若向量组证：因为向量组线性相关，所以存在不全为零的数，使得：，再由线性无关得2024/7/23即可由向量组线性表示。再证表示法唯一，设有两种表示法：则有与不全为零矛盾。因此，从而有2024/7/23因此

故

可由向量组

线性表示且表示法唯一。

由线性无关得:中的

个向量则

中的任一向量

可由

表示法唯一。

推论如果线性无关，线性表示，且2024/7/23

若可由向量组线性表示,则表示法惟一的充分必要条件是向量组线性无关.定理2.72024/7/23§2.4向量组的秩一、向量组的极大线性无关组即:向量组中线性无关的部分组不惟一存在；线性无关的部分组包含向量的个数也可能不一样.线性无关,

考察向量组可见线性无关,线性无关,另外，任意4个向量的组合都线性相关，如

这里,具有这样特性（线性无关，个数再多一个就线性相关）的就是以下要引入的极大线性无关组.2024/7/23(2)

该向量组中任意r+1个向量（如果有的话）都线性相关.注意:“极大”是指该部分组是向量组中包含向量个数“最多”的线性无关向量组.

若一个向量组的部分组满足(1)线性无关;定义2.11

则称为向量组的一个极大线性无关组.

简称极大无关组。2024/7/23由零向量组成的向量组没有极大无关组;在包含非零向量的向量组中有极大无关组,且极大无关组所含向量个数不小于1;线性无关向量组的极大无关组是这个向量组本身.一个向量组的极大无关组可能不是唯一的;例

设

组的极大无关组。

或或都是向量或

或则向量组2024/7/231、定义2.12

若向量组(I)中每个向量均可由向量组(II)线性表示,则称

向量组(I)可以由向量组(II)线性表示.

若向量组(I)和(II)可以相互线性表示出，则称向量组(I)和(II)等价，记作(I)≌(