概率论与数理统计（慕课版第2版） 教案 第2章 随机变量及其分布

概率论与数理统计教学教案第2章随机变量及其分布授课序号01教学基本指标教学课题第2章第1节随机变量与分布函数课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点随机变量及其概率分布的概念、分布函数的概念及性质与计算。教学难点分布函数的求法参考教材作业布置课后习题大纲要求理解随机变量及其概率分布的概念。理解分布函数的概念及性质。会计算与随机变量有关的事件的概率。教学基本内容一．随机变量1.随机变量：设E是随机试验，样本空间为S，如果对随机试验的每一个结果，都有一个实数与之对应，那么把这个定义在S上的单值实值函数称为随机变量．随机变量一般用大写字母,…表示．2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量.二．分布函数1.分布函数：设X是一个随机变量，是任意实数，称函数为随机变量X的分布函数，显然，是一个定义在实数域R上，取值于[0,1]的函数．2．几何意义：在数轴上，将X看成随机点的坐标，则分布函数表示随机点X落在阴影部分（即）内的概率，如下图．3．对任意的实数，都有：,.4．分布函数的性质：（1）单调性：分布函数是单调不减的，即若，则；（2）有界性：，且，（3）右连续性：．说明：分布函数一定具有这三个基本性质；反过来，任意一个满足这三个基本性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数．因此，这三个基本性质成为判别一个函数是否能成为分布函数的充要条件.三．例题讲解例1.通过某公交站牌的汽车每10分钟一辆，随机变量X为乘客的候车时间，其分布函数为：求：（1）；（2）；（3）.例2．设随机变量X的分布函数为求常数a，b，c的值？例3．在半径为R，球心为O的球内任取一点P，令X为OP的长度，求X的分布函数．

授课序号02教学基本指标教学课题第2章第2节离散型随机变量课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点离散型随机变量及其概率分布的概念，０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。教学难点０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。参考教材作业布置课后习题大纲要求理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。教学基本内容一．离散型随机变量及其概率分布1．离散型随机变量：若随机变量X所有可能的取值为有限个或者可列个，则称这样的随机变量为离散型随机变量．2．随机变量的概率分布：设X为离散型随机变量，X所有可能的取值为，称为随机变量X的概率分布，也称为分布律或分布列．概率分布也可以用表格的形式表示：…………或者记为：3．离散型随机变量概率分布的性质：（1）非负性：（2）正则性：4．离散型随机变量的分布函数：若离散型随机变量X的分布律为，则X的分布函数为即分布函数是分布律在一定范围内的累积．二．常用的离散型随机变量1.（0-1）分布（1）（0-1）分布：若随机变量X只有两个可能的取值0和1，其分布律为，则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布.（2）（0-1）分布的分布律也可以记为X01P1-pp或.2．二项分布（1）二项分布：若随机变量X表示n重伯努利试验中事件A出现的次数,则有.则称随机变量X服从二项分布，记为，其中n和p是二项分布的参数，上式就是二项分布的分布律.（2）二项分布的特例：在二项分布中,若令n=1,则，其分布律为，即X服从（0-1）分布.因此（0-1）分布是二项分布的特例，简记.3.泊松分布（1）泊松分布：若随机变量X的分布律为，其中为大于0的参数，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为．（2）泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验总数n有关），如果当时，，则有.（3）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数n很大，而不太大时，二项分布可以用参数为的泊松分布来近似．4.几何分布（1）若随机变量X的分布律为，其中为参数，则称X服从几何分布，记为．（2）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数X所服从的分布，也可以解释为：在n重伯努利试验中，试验到第k次才取得第一次成功，前k-1次皆失败．5.超几何分布（1）超几何分布：若随机变量X的分布律为其中，且均为正整数，则称随机变量X服从超几何分布，记为．（2）有限总体N中的不放回抽样服从超几何分布，例如有N件产品，其中M件不合格，从产品中不放回的抽取n件，则抽取的产品中不合格品的件数X服从超几何分布．（3）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不独立.两个分布之间也有联系，当总体的容量N非常大时，超几何分布近似于二项分布.三．例题讲解例1.已知盒中有10件产品，其中8件正品，2件次品.需要从中取出2件正品，每次取1件，直到取出两件正品为止，做不放回抽样.设X为取件的次数，则：（1）求X的分布律；（2）求X的分布函数；（3）求概率.例2.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的.现在当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率有多大？例3.有2500个相同年龄阶段、相同社会层次的人参加某保险公司的意外伤害保险，根据以往统计资料，在1年里每个人出现意外伤害的概率是0.0001，每个参加保险的人1年付给保险公司120元保费，而在出现意外时家属从保险公司领取2万元.请计算（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司一年获利不少于10万元的概率.例4.一家商店在每个月的月底要制定出下个月的商品进货计划，为了不使商品的流动资金积压，进货量不宜过多，但为了获得足够的利润，进货量又不易过少．由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售可以用参数为的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？例5.某公司订购了一种型号的加工机床，机床的故障率为1%，各台机床之间是否出现故障是相互独立的，求在100台此类机床中，故障的台数不超过三台的概率.例6.某流水线生产一批产品，其不合格率为p，有放回地对产品进行检验，直到检验出不合格品为止.设随机变量X为首次检验出不合格品所需要的检验次数，求X的概率分布.授课序号03教学基本指标教学课题第2章第3节连续型随机变量课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点连续性随机变量及其概率密度的概念，概率密度与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。教学难点概率密度与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。参考教材作业布置课后习题大纲要求理解连续性随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系，掌握正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。教学基本内容一．连续型随机变量及其概率密度1．连续型随机变量：设X是随机变量，如果存在函数，对任意的常数，有则称X为连续型随机变量，同时称为X的概率密度函数，或简称为概率密度．2．概率密度函数的性质：（1）非负性：≥0；（2）正则性：．3．概率密度的几何意义：随机变量落入区间内的概率等于曲线在区间上形成的曲边梯形的面积，而正则性表明，曲线与x轴之间的部分面积为1．4．连续型随机变量的分布函数：,则在的连续点处，.5．两点说明：（1）连续型随机变量在某一个点c处的概率为0,即（2）连续型随机变量落在某个区间内的概率,不受区间端点处取值的影响,即.二．常用的连续型随机变量1.均匀分布（1）均匀分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为其中a，b(a<b)为任意实数，则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布，记为．（2）均匀分布的分布函数：（3）应用：若X在(a,b)上服从均匀分布，对(a,b)内的任一个子区间(c,d)，有.2.指数分布（1）指数分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为其中参数，则称随机变量X服从参数为的指数分布，记为．（2）指数分布的分布函数：（3）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量，则对于任意的正数s和t有3.正态分布（1）正态分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为其中为参数，则称随机变量X服从参数为的正态分布，也叫高斯分布，记为．（2）正态分布的分布函数：（3）几点说明：（i）概率密度的图形关于对称，是轴对称图形，在处取到最大值，并且对于同样长度的区间，若区间离越远，则X落在这个区间内的概率越小.（ii）的图形以轴为渐近线，随着的取值往两侧无限延伸，图形与轴无限接近，但又不会相交．（iii）当参数固定时，的值越大，的图形就越平缓；的值越小，的图形就越尖狭，由此可见参数的变化能改变图形的形状，称为形状参数．（iv）当参数固定时，随着值的变化，图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数的变化能改变图形的位置，称为位置参数．（4）标准正态分布（i）概率密度（ii）分布函数（iii）根据概率密度的对称性，有（5）定理：（标准化定理）若，则（6）标准化定理的应用：设为任意实数，则6.“”法则：设，则即正态分布的随机变量以99.7%的概率落在以为中心、为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“”法则.三．例题讲解例1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表达式为：概率密度的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率.例2．设随机变量X表示桥梁的动力荷载的大小（单位:N），其概率密度为求：（1）分布函数；（2）概率及.例3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X服从（-3,3）上的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2之间的概率.例4．设随机变量X在（1,4）上服从均匀分布，对X进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率.例5.设随机变量X表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min），则X服从指数分布，其概率密度为求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概率.例6．汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要．有研究表明，驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中1.25秒，0.46秒．求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？例7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中300千克，24千克.求常数a，使抗断强度以不小于95%的概率大于a.

授课序号04教学基本指标教学课题第2章第4节随机变量函数的分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点简单随机变量函数的概率分布教学难点简单随机变量函数的概率分布的求法参考教材作业布置课后习题大纲要求会求简单随机变量函数的概率分布。教学基本内容一.离散型随机变量函数的分布若是离散型随机变量，是实数的函数，则当取有限个或可列个值时，也取有限个或可列个值.根据离散型随机变量求解分布律的方法，首先确定的取值，再分别求出相应取值的概率，这样就得到了的分布律.二．连续型随机变量函数的分布1.分布函数法设连续型随机变量的分布函数为，即，是实数的函数，求随机变量的分布.（1）求出随机变量的分布函数.（2）当是连续型随机变量时，关于求导，就得到了的概率密度；当不是连续型随机变