苏科版高一数学必修一第4章 4.1　指数2024新高一暑假自学课堂含答案

苏科版高一数学必修一第4章4.1指数2024新高一暑假自学课堂4.1指数1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点)3．了解实数指数幂的意义．1．借助根式的性质对根式运算，提升数学运算核心素养．2．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养．我们已经知道，eq\f(1,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)，…是正整数指数幂，它们的值分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…．那么，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(6000,5730))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(10000,5730))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(100000,5730))的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识．知识点1基本概念1．平方根与立方根的概念如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．2．a的n次方根(1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子eq\r(n,a)叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．(2)几个规定：①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝eq\r(n,a)；②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq\r(n,a)表示，它们可以合并写成±eq\r(n,a)(a>0)的形式；③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．1．eq\r(3,8)是根式吗？根式一定是无理式吗？[提示]eq\r(3,8)是根式，根式不一定是无理式．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)16的四次方根为2． ()(2)eq\r(π－42)＝π－4． ()(3)eq\r(4,－16)＝－2． ()[提示](1)16的四次方根有两个，是±2；(2)eq\r(π－42)＝|π－4|＝4－π；(3)eq\r(4,－16)没意义．[答案](1)×(2)×(3)×知识点2根式的性质(1)eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)(eq\r(n,an))＝a(n为大于1的奇数)；(3)(eq\r(n,an))＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)；(4)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1，a使得eq\r(n,a)有意义)．2．eq\r(n,an)＝a对任意实数a都成立吗？[提示]不都成立．当n为不小于3的正奇数时，a为任意实数，等式eq\r(n,an)＝a恒成立．当n为正偶数时，eq\r(n,an)＝|a|．2．若n是偶数，eq\r(n,x－1n)＝x－1，则x的取值范围为________．[1，＋∞)[由题意知x－1≥0，∴x≥1．]知识点3分数指数幂的意义一般地，我们规定：(1)aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义，0的0次幂没有意义．3．(1)eq\r(5,a－2)可化为()A．aeq\s\up12(－eq\f(2,5))B．aeq\s\up12(eq\f(5,2))C．aeq\s\up12(eq\f(2,5))D．－aeq\s\up12(eq\f(2,5))(2)3eq\s\up12(eq\f(2,3))可化为________．(1)A(2)eq\r(3,9)[(1)eq\r(5,a－2)＝a－eq\f(2,5)．(2)3eq\s\up12(eq\f(2,3))＝eq\r(3,32)＝eq\r(3,9)．]知识点4有理数指数幂的运算性质(1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，其中s，t∈Q，a>0，b>0．4．化简[(－eq\r(3))2]eq\s\up12(－eq\f(1,2))的结果为________．eq\f(\r(3),3)[原式＝[(eq\r(3))2]eq\s\up12(－eq\f(1,2))＝(eq\r(3))－1＝eq\f(\r(3),3)．]类型1根式的性质【例1】求下列各式的值．(1)eq\r(3,－23)；(2)eq\r(4,－32)；(3)eq\r(8,3－π8)；(4)eq\r(a6)；(5)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)，x∈(－3,3)．[解](1)eq\r(3,－23)＝－2．(2)eq\r(4,－32)＝eq\r(4,32)＝eq\r(3)．(3)eq\r(8,3－π8)＝|3－π|＝π－3．(4)eq\r(a6)＝eq\r(a32)＝|a3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3，a≥0，,－a3，a<0.))(5)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4．因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))化简根式的依据及注意化简的依据是根式的性质，化简时要注意是奇次还是偶次根式，另外注意的区别.eq\o([跟进训练])1．化简求值．(1)eq\r(3.14－π2)＋eq\r(3.14＋π2)；(2)eq\r(4,m－n4)＋eq\r(3,m－n3)；(3)若eq\r(x2－2x＋1)＋eq\r(y2＋6y＋9)＝0，求yx．[解](1)eq\r(3.14－π2)＋eq\r(3.14＋π2)＝|3.14－π|＋|3.14＋π|＝2π．(2)原式＝|m－n|＋(m－n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－n，m≥n，,0，m<n.))(3)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0,y＋3＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3，))∴yx＝(－3)1＝－3．类型2根式与分数指数幂的互化【例2】将下列根式化成分数指数幂的形式．1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)和aeq\s\up12(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．eq\o([跟进训练])2．用分数指数幂表示下列各式．(1)eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))(a>0，b>0)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解](1)eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))＝eq\r(\f(b3,a)·\f(a,b3))＝1．类型3分数指数幂的运算【例3】(1)计算：0.064eq\s\up12(－eq\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))eq\s\up12(0)＋[(－2)3]eq\s\up12(－eq\f(4,3))＋16－0.75＋|－0.01|eq\s\up12(eq\f(1,2))；[思路点拨]将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．[解](1)原式＝(0.43)eq\s\up12(－eq\f(1,3))－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)eq\s\up12(eq\f(1,2))＝0.4－1－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋0.1＝eq\f(143,80)．指数幂与根式运算的技巧1有理数指数幂的运算技巧,①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算.②指数的处理：负指数先化为正指数.③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示.2根式运算技巧①各根式尤其是根指数不同时要先化成分数指数幂，再运算.②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.eq\o([跟进训练])3．(1)化简：(aeq\s\up12(eq\f(2,3))·beq\s\up12(－eq\f(1,3))·ceq\s\up12(eq\f(1,2)))÷(aeq\s\up12(－eq\f(1,3))·beq\s\up12(－eq\f(1,3))·ceq\s\up12(－eq\f(1,2)))＝________．(2)计算：①eq\r(6\f(1,4))＋eq\r(3,43)＋0.0081eq\s\up12(－eq\f(1,4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(－2)＝________．(1)ac(2)①36.5②5[(1)原式＝aeq\s\up12(eq\f(2,3))eq\s\up12(－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))·beq\s\up12(－eq\f(1,3))eq\s\up12(－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))·ceq\s\up12(eq\f(1,2))eq\s\up12(－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝ab0c＝ac．(2)①原式＝eq\r(\f(25,4))＋4＋(0.3)eq\s\up12(4)eq\s\up12(·)eq\s\up12(eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))))×eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2))＝eq\f(5,2)＋4＋eq\f(10,3)×9＝36.5．②原式＝eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(2))－(eq\r(2)＋1)＋2×3eq\f(1,2)×(2×2×3)eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(eq\f(1,3))＝eq\r(2)－eq\r(2)－1＋2eq\s\up12(1＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)－eq\f(1,3))·3eq\s\up12(eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3))＝－1＋2×3＝5．]类型4指数幂运算中的条件求值【例4】已知aeq\s\up12(eq\f(1,2))＋aeq\s\up12(－eq\f(1,2))＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2．[提示]平方关系，乘积为1.[解](1)将aeq\s\up12(eq\f(1,2))＋aeq\s\up12(－eq\f(1,2))＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14．(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194．[母题探究]1．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．[解]令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3)．2．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解]由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3)．3．(变条件)已知xeq\s\up12(eq\f(1,2))＋xeq\s\up12(－eq\f(1,2))＝eq\r(5)，求x2＋x－2．[解]将xeq\s\up12(eq\f(1,2))＋xeq\s\up12(－eq\f(1,2))＝eq\r(5)，两边平方，得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方，得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7．条件求值问题的常用方法1整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.2求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果.1．把根式aeq\r(a)化成分数指数幂是()A．(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up12(eq\f(3,2))C．－aeq\s\up12(eq\f(3,2)) D．aeq\s\up12(eq\f(3,2))D[由题意知a≥0，所以aeq\r(a)＝a·aeq\s\up12(eq\f(1,2))＝aeq\s\up12(eq\f(3,2))．]2．已知xeq\s\up12(eq\f(1,2))＋xeq\s\up12(－eq\f(1,2))＝5，则eq\f(x2＋1,x)的值为()A．5 B．23C．25 D．27B[由xeq\s\up12(eq\f(1,2))＋xeq\s\up12(－eq\f(1,2))＝5得x＋x－1＝23，所以eq\f(x2＋1,x)＝x＋x－1＝23．]3．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________．8[52x－y＝eq\f(52x,5y)＝eq\f(5x2,5y)＝eq\f(42,2)＝8．]4．计算：(1)eq\r(x2－2x＋1)＝________．(x<1)(2)[(－eq\r(2))2]eq\s\up12(－eq\f(1,2))的结果是________．(1)1－x(2)eq\f(\r(2),2)[(1)原式＝eq\r(x－12)＝|x－1|＝1－x．(2)[(－eq\r(2))2]eq\s\up12(－eq\f(1,2))＝2eq\s\up12(－eq\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)．]5．若x>3，则eq\r(x2－6x＋9)－|2－x|＝________．－1[eq\r(x2－6x＋9)－|2－x|＝eq\r(x－32)－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．怎样将根式化成分数指数幂的形式？[提示]根指数作分母，字母的指数作分子．2．怎样进行分数指数幂的运算？[提示]运用运算性质求解．3．怎样判断一个数到底有没有n次方根？[提示]先考虑被开方数到底是正数还是负数．还要分清n为奇数或偶数这两种情况．课时分层作业(十五)指数一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②eq\r(4,16)的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，eq\r(n,a)对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，eq\r(n,a)只有当a≥0时才有意义．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4B[①错，16的4次方根是±2；②错，eq\r(4,16)＝2；③④正确，由根式的意义可知．]2．式子a·eq\r(5,－\f(1,a3))(a＞0)＝()A．－aeq\s\up12(eq\f(2,5)) B．aeq\s\up12(eq\f(2,5))C．aeq\s\up12(eq\f(8,5)) D．－aeq\s\up12(eq\f(8,5))3．eq\r(3,－63)＋eq\r(4,\r(5)－44)＋eq\r(3,\r(5)－43)的值为()A．2 B．－6＋2eq\r(5)C．－6 D．－14C[eq\r(3,－63)＝－6，eq\r(4,\r(5)－44)＝|eq\r(5)－4|＝4－eq\r(5)，eq\r(3,\r(5)－43)＝eq\r(5)－4，∴原式＝－6＋4－eq\r(5)＋eq\r(5)－4＝－6．]4．(a＞0，b＞0)＝()A．eq\f(a,b) B．abC．eq\f(a2,b) D．ab25．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\f(1,16)))eq\s\up12(0.5)＋(－1)－1÷0.75－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))eq\s\up12(－eq\f(2,3))＝()A．eq\f(9,4)B．eq\f(4,9)C．－eq\f(9,4) D．－eq\f(4,9)A[原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81,16)))eq\s\up12(eq\f(1,2))－1÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))eq\s\up12(－eq\f(2,3))＝eq\f(9,4)－1÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,64)))eq\s\up12(eq\f(2,3))＝eq\f(9,4)－eq\f(9,16)＋eq\f(9,16)＝eq\f(9,4)．]二、填空题6．已知10α＝3,10β＝4，则10eq\s\up12(2α＋eq\f(β,2))＝________．18[10eq\s\up12(2α＋eq\f(β,2))＝(10α)2×(10β)eq\s\up12(eq\f(1,2))＝32×4eq\s\up12(eq\f(1,2))＝18．]7．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(eq\f(1,2))＋(－9.6)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(－eq\f(2,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝________．eq\f(3,2)[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(eq\f(1,2))＋(－9.6)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(－eq\f(2,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)eq\s\up12(×eq\f(1,2))＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)eq\s\up12(×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,2)＋1－1＝eq\f(3,2)．]11．(多选题)化简eq\r(4,m6)结果正确的是()A．meq\r(m) B．meq\r(－m)C．－meq\r(m) D．－meq\r(－m)AD[若m<0，则eq\r(4,m6)＝eq\r(－m3)＝－meq\r(－m)，若m>0，则eq\r(4,m6)＝eq\r(m3)＝meq\r(m)．]12．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A．eq\f(p＋q,2) B．eq\f(p＋1q＋1－1,2)C．eq\r(pq) D．eq\r(p＋1q＋1)－1D[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1．]13．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么y用x表示为________．eq\f(x,x－1)[由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋eq\f(1,2b)＝1＋eq\f(1,x－1)＝eq\f(x,x－1)．]14．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up12(0.5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,64)))eq\s\up12(－eq\f(2,3))＝________；方程4x－2x－2＝0的解为________．eq\f(31,9)1[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up12(0.5)＋eq\b\l