概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第2章 第5讲 常见的连续型随机变量

概率论与数理统计（慕课版）第5讲常用的连续型随机变量第2章随机变量及其分布1.均匀分布2.指数分布3.正态分布第5讲常用的连续型随机变量2常用的连续型随机变量本讲内容02指数分布03正态分布01均匀分布其中a,b(a<b)为任意实数，设X为连续型随机变量，记为(a,b)上的均匀分布，则称随机变量X服从区间若概率密度为01

均匀分布均匀分布xf(x)Oabb-a101

均匀分布只与其长度成正比.X

的分布函数为即X落在(a,b)内任何子区间的概率与小区间的位置无关，这正是几何概型的情形.01

均匀分布baOF(x)x1某食品厂生产一种产品，几何概率——长度之比📚例1超过3克，求误差在-1~2之间的概率.取出件一产品进行称重，现任即随机误差X服从(-3,

3)上的均匀分布.

规定其重量的误差不能解01

均匀分布设随机变量X在(1,4)上服从均匀分布，📚例2三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率.对X进行解随机变量X的概率密度为:所以，令Y表示三次独立的观察中大于2的次数，则01

均匀分布某公共汽车站从上午7时起，📚例3即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车到达此站，乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量每15分钟来一班车，01

均匀分布如果试求：(1)乘客候车时间少于5分钟的概率(2)乘客候车时间超过10分钟的概率解设以7:00为起点0，以分为单位从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽站

X

～U(0,30)依题意，某公共汽车站从上午7时起，📚例3即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车到达此站，乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量每15分钟来一班车，01

均匀分布如果试求：(1)乘客候车时间少于5分钟的概率(2)乘客候车时间超过10分钟的概率解为使候车时间X少于5分钟乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达

故所求概率为：某公共汽车站从上午7时起，📚例3即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车到达此站，乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量每15分钟来一班车，01

均匀分布如果试求：(1)乘客候车时间少于5分钟的概率(2)乘客候车时间超过10分钟的概率解候车时间超过10分钟乘客必须在7:00到7:05之间，或在7:15到7:20之间到达

设K服从(1,6)上的均匀分布，📚例4求方程01

均匀分布解方程有实根的概率.有实根的充要条件是而因此所求概率为本讲内容02指数分布03正态分布01均匀分布若X的密度为则称X

服从参数为

的指数分布,记作X

的分布函数为

>0为常数14指数分布02

指数分布15Of(x)x16OF(x)1x用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似17📝应用场合02

指数分布若X~E(

),则指数分布的“无记忆性”18若𝑋

表示某仪器的寿命(小时)，

它能再使用𝑡

小时的概率与𝑠

无关.用𝑠

小时，上式说明：若该仪器已02

指数分布已知X服从参数

λ=0.1的指数分布，求19📚例5解02

指数分布统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事件之间的时间T（以日计）服从均值为241的指数分布.试求20📚例6解02

指数分布设修理某机器所用的时间X服从参数

λ=0.5(ℎ)的21📚例7指数分布，的概率.修理时间不超过一小时求当机器出故障时，解因为X~E

(0.5），所求概率为或故X的密度函数为02

指数分布设随机变量X表示某仪器检测一件样品所用的时间(单位：min)，若

X服从指数分布，其概率密度为22求一件样品的检测时间至多5min的概率以及检测时间为3~4min的概率.📚例8解由题意知X的分布函数为02

指数分布23📚例8则02

指数分布顾客在某银行窗口等待服务的时间X(分钟)服从参数为1/5的指数分布，若等待时间超过10分钟，则他就离开.设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率.24📚例9解02

指数分布顾客在银行窗口未等到服务而离开的概率为2502

指数分布顾客在某银行窗口等待服务的时间X(分钟)服从参数为1/5的指数分布，若等待时间超过10分钟，则他就离开.设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率.📚例9Y的分布律为本讲内容02指数分布03正态分布01均匀分布27正态分布（高斯分布）如果连续型随机变量X的密度函数其中,为常数，,的正态分布，记为则称随机变量X服从参数且

>0，正态分布的分布函数为03

正态分布28正态分布N(,2)的图形特点f(x)的特点：

变化则左右平移；在x=

处达到极大值关于x=

对称；

变化则陡峭程度变化03

正态分布29设X~N(3,5)，求常数c，使

03

正态分布📚例10各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；30正态分布应用广泛03

正态分布正态分布是概率论中最重要的分布，以下情形说明：31正态分布应用广泛(1)正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，从或近似服从正态分布．则该随机指标一定服任何一个因素都不起决定性作用，但其中如果一个随机指标受到诸多因素的影响，证明，可以大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．03

正态分布32(3)正态分布可以作为许多分布的近似分布．(2)正态分布有许多良好的性质，分布所不具备的．这些性质是其它许多03

正态分布正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布33如何进行正态分布的概率计算时，是不同的正态分布.当μ和σ不同03

正态分布是偶函数，分布函数记为其值有专门的表供查.密度函数34标准正态分布N(0,1)03

正态分布3503

正态分布标准正态分布的重要性在于，根据定理，,则~N(0,1)设36分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.任何一个一般的正态就可以解决一般正态分布的概率计算问题.只要将标准正态分布的分布函数制成表，03

正态分布对一般的正态分布：其分布函数作变量代换37X~N(,2)03

正态分布查表38设随机变量X~N(0,1)，试求：📚例11解(1)(2)03

正态分布设X~N(1,4),求P(0

X1.6)查表39📚例12解03

正态分布40汽车驾驶员在减速时，求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？📚例13其中从正态分布，驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服驾有研究表明，时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要。对信号灯做出反应所需的=1.25秒，

=0.46秒.制动反应时间超过这个值的概率是多少？那么实际的制动反如果2秒是一个非常长的反应时间，03

正态分布41解设随机变量X表示汽车驾驶员的制动反应时间，则X~N(1.25,0.462)所求概率为根据标准化定理可得03

正态分布42因此，因此，制动反应时间超过2秒的概率约为0.0516.概率约为0.5675.驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概03

正态分布43根据标准化定理可得📚例14设某工司制造绳索的抗断程度服从正态分布，其中=300千克，小于95%的概率大于a.求常数a使抗断程度以不

=24千克，解由题意知03

正态分布44由标准正态分布的对称性得通过逆向查表得到故解得所以，a的最大取值为260.03

正态分布45解03

正态分布📚例15将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器调整在液体的温度X(以℃计)是一个随机变量，且(1)若d=90，求X小于89的概率.(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d

至少为多少?4603

正态分布(2)按题意需求

d满足:📚例15将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器调整在液体的温度X(以℃计)是一个随机变量，且4703

正态分布即反查正态分布表，由于表中无0.01的的值.故采用如下方法处理:📚例15将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器调整在液体的温度X(以℃计)是一个随机变量，且4803

正态分布现查表可知：由此可得：故得：📚例15将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器调整在液体的温度X(以℃计)是一个随机变量，且依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较小的路线为好.4903

正态分布

从旅馆到飞机场沿A路走(路程短，交通拥挤)所需时间(分钟)，沿B路走（路程长，阻塞少)所需时间(分钟)若现在只有30分钟.问：分别选择哪一条路为好?📚例16解当只有30分钟可用时：A路:

从旅馆到飞机场沿A路走(路程短，交通拥挤)所需时间(分钟)，沿B路走（路程长，阻塞少)所需时间(分钟)，，若现在只有30分钟.5003

正态分布B路:结论：此时应选择A路.📚例16问：分别选择哪一条路为好?5103

正态分布公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X~N(170,62).📚例17问：如何确定车门高度？设车门高度为hcm，按设计要求即求满足：解P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，的最小的

h.求满足P(X<h)≥0.99的最小的h.因为：X~N(170,62)，所以：故：公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X~N(170,62).5203

正态分布📚例17问：如何确定车门高度？因为：h=170+13.98≈

184，所以：查表得：结论:设计车门高度为184厘米时