概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第2章 第6讲 随机变量函数的分布

概率论与数理统计（慕课版）第6讲随机变量函数的分布第2章随机变量及其分布在实际中，求截面面积例如，第6讲随机变量函数的分布2📝问题的提出的分布.人们常常对随机变量的函数更感兴趣.已知圆轴截面直径d

的分布，将与Y有关的事件转化成X的事件.设随机变量X的分布已知，第6讲随机变量函数的分布3如何由X的分布求出Y的分布？Y=g(X)(设g是连续函数)，随机变量函数的分布本讲内容01离散型随机变量函数的分布02连续型随机变量函数的分布5离散型随机变量函数的分布📚方法设X是离散型随机变量，其分布列为则的可能取值为也是离散型，其分布列Y=g(X)📢注应把他们适当合并.当某些g(xi)相等时，01

离散型随机变量函数的分布已知

X

的分布律6📚例1则（1）Y=3X+2的分布律为Y的取值为-4,2,5,701

离散型随机变量函数的分布7已知

X

的分布律📚例1则（2）Y=X2+1的分布律为Y的取值为1,2,5Z📢注注意合并.01

离散型随机变量函数的分布8设随机变量X表示某品牌手表的日走时误差X-1012P0.20.40.30.1Y可能的取值为0,1,4.从而Y的分布律为：Y014P0.30.50.2📚例2(单位:s)，求Y=(X-1)2

分布律.解其分布律为：由于01

离散型随机变量函数的分布9解01

离散型随机变量函数的分布设随机变量X的概率分布为📚例33,….求随机变量的分布律.当X=2k,k=1,2,…时，Y=0;因，故当X=4k+1,k=0,1,2,…时，Y=1;当X=4k+3,k=0,1,2,…时，Y=-1;因此，Y的取值为-1,0,1.1001

离散型随机变量函数的分布Y-101P2/151/38/15所以,Y的分布律为11解01

离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的概率分布为📚例4求随机变量与的分布律.12解01

离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的概率分布为📚例4求随机变量与的分布律.本讲内容01离散型随机变量函数的分布02连续型随机变量函数的分布（1）分布函数法（2）公式法14连续型随机变量函数的分布设X是连续型随机变量，求Y=g(X)的分布函数FY(y)或密度fY(y).知其分布函数FX(x)或密度fX(x)，

方法02

连续型随机变量函数的分布用公式从分布函数出发15📝方法一📝方法二单调可导反函数可导02

连续型随机变量函数的分布设X~N(,2)，则Y=aX+b~N(a+b,a2

2)特别地，若X~N(,2)，则公式法标准化16📚例5解02

连续型随机变量函数的分布公式法设随机变量X表示某服务行业一位顾客的服务时间，求反函数为17X服从指数分布，📚例6解的概率密度．02

连续型随机变量函数的分布不严格单调！分布函数法18解📚例7设随机变量X~N(0,1),求的概率密度．02

连续型随机变量函数的分布19求Y的分布律.所以Y的分布律为Y-1/21/2P1/43/4设随机变量服从均匀分布U(-1,3)，记📚例8解因为02

连续型随机变量函数的分布20由题意知，T的概率密度为解📚例9某仪器设备内的温度T是随机变量，已知试求M的分布.M的分布函数记为FM(y)则有且T~N(100,4)02

连续型随机变量函数的分布21将上式关于y求导，即M~N(45,1).可得M的概率密度为02

连续型随机变量函数的分布22设随机变量X的分布函数为F(X)，则随机变量Y=2X+1的分布函数G(y)=().📚例10解02

连续型随机变量函数的分布故应选D.23解02

连续型随机变量函数的分布📚例11的概率密度为（）.已知随机变量X的概率密度为，则Y=3-2X故应选B.24解02

连续型随机变量函数的分布📚例12求：Y=sinX

的概率密度.设随机变量X的概率密度为：注意到：当0<x<π

时0<y

≤1故：当y

≤0时有：当y

≥1时有：2502

连续型随机变量函数的分布当0≤

y

≤1时：而：26解02

连续型随机变量函数的分布当x<1时，F(x)=0；当x>8时，F(x)=1F(x)是X的分布函数，求：Y=F(X)的概率密度.📚例13设随机变量X的概率密度为：当

时，有27设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数，

27当y<0时，G(y)=0；当y≥1时，G(y)=1对于y∈[0,1)，有于是，Y=F(X)的分布函数为

【评注】

事实上，本题中的

X为任意连续型随机变量均可以，此时Y=F(X)仍服从均匀分布.相应结论及证明见下例.02

连续型随机变量函数的分布28已知随机变量X

的分布函数F(x)是严格单调递增的连续函数，证明：Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.📚例14证明02

连续型随机变量函数的分布由于：0≤y≤1设Y的分布函数是G(y)于是：当y<0时G(y)=0;当y>1时G(y)=1;又由于X的分布函数F(x)是严格递增的连续函数,所以：其反函数存在且严格递增.2902

连续型随机变量函数的分布当0≤y≤1时,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤(y))=F((y))=y

即Y的分布函数是：已知随机变量X

的分布函数F(x)是严格单调递增的连续函数，证明：Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.📚例143002

连续型随机变量函数的分布可见，Y服从[0,1]上的均匀分布.对求导得Y的密度函数为:Z📢注本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.已知随机变量X