概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第3章 第1讲 二维随机变量及其分布（新编）

概率论与数理统计（慕课版）第1讲二维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布2到目前为止,从二维随机变量开始我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而需要用多个随机变量来描述.第1讲

二维随机变量及其分布01二维随机变量02联合分布函数03二维离散型随机变量04二维连续型随机变量本讲内容则称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量二维随机变量4

📝定义表示？几何意义？01

二维随机变量如何描述二维随机变量的概率特性二维随机变量大部分内容与一维类似.离散型随机变量连续型随机变量分布函数概率密度5及其每个随机变量之间的关系？📝一维随机变量：分布律首先介绍二维随机变量的联合分布函数和边缘分布函数.01

二维随机变量01二维随机变量02联合分布函数03二维离散型随机变量04二维连续型随机变量本讲内容为(X,Y)的联合分布函数,简称为分布函数.设(X,Y)为二维随机变量,联合分布函数7📝定义称对于任意的02

联合分布函数🎯结论联合分布函数描述了所有二维随机变量的统计规律.(x,y)xy分布函数的几何意义8用平面上的点(x,y),表

示二维随机变量(X,Y)则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入的一组可能的取值，下图中角形区域的概率.02

联合分布函数①对每个变量单调不减②对每个变量右连续③xy(x,y)9联合分布函数的性质02

联合分布函数(X,Y)落在矩形区域x1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)yxo10利用分布函数求概率可用分布函数表示内的概率02

联合分布函数设随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中

A,B,C

为常数.11（1）确定A,B,C

；（2）求📚例102

联合分布函数(1)12解02

联合分布函数13(2)02

联合分布函数1402

联合分布函数解

试问：函数📚例2是否可作为二维随机变量的联合分布函数？然F(x,y)单调不减且关于

x和

y都是右连续.又且但因为对于(0,0),(2,2)有因此函数F(x,y)不能作为二维随机变量的联合分布函数.01二维随机变量02联合分布函数03二维离散型随机变量04二维连续型随机变量本讲内容若二维随机变量(X,Y)所有可能的取值为有限个或要描述二维离散型随机变量的概率特性及其每个随机变量之间的关系，常用其联合分布律和边缘分布律.二维离散型随机变量1603二维离散型随机变量📝定义则称(X,Y)为二维离散型随机变量.📢注无限可列个,设(X,Y)的所有可能的取值为或分布律.为二维随机变量(X,Y)的联合概率分布,简称概率分布显然,1703二维离散型随机变量联合分布律x1xi

XYy1yj1803二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律的求法联合分布律1903二维离散型随机变量📝利用乘法公式📝利用古典概型等方法.已知联合分布律可以求概率G0xy2003二维离散型随机变量盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,2103二维离散型随机变量在其中任📚例3取4只球,以X

表示取到黑球的只数,以X

表示取到黑球的只数,以Y

表示取到红球的只数,求(X,Y)的联合分布律.2203二维离散型随机变量解取4只球X

Y01230001020📢注求分布律方法：先定值再求概率0只黑球,2只红球,2只白球1只黑球,1只红球,2只白球2303二维离散型随机变量1只黑球,2只红球,1只白球X

Y012300010202403二维离散型随机变量

1001000.200.200.150200250设随机变量(X,Y)的概率分布为0.100.050.30求概率2503二维离散型随机变量📚例4📢注X--车险的免赔额，Y--财险的免赔额26解求概率:03二维离散型随机变量2703二维离散型随机变量解

一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品.📚例5次，定义随机变量X和Y如下：求(X,Y)的分布律.每次从中取1件产品检验质量，不放回抽取，连续抽两第一次取到次品，第一次取到正品，第二次取到次品，第二次取到正品，01二维随机变量02联合分布函数03二维离散型随机变量04二维连续型随机变量本讲内容

2904二维连续型随机变量二维连续型随机变量及其分布📝定义

使得称𝑓(𝑥,𝑦)为联合概率密度函数，简称概率密度或密度函数.

在f(x,y)的连续点处,f(x,y)与F(x,y)3004二维连续型随机变量联合分布函数——

(X,Y)落入矩形区域内的概率联合概率密度——(X,Y)落入任意区域内的概率📝优点f(x,y)的性质3104二维连续型随机变量

某食品制造商正在研制一种速溶健康饮品，主要成分为花生、芝麻和大豆，假设配方中所含的花生比例用X表示，芝麻比例用Y表示，若(𝑋,𝑌)的联合概率密度为📚例6求（1）常数

A；

（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率.32（2）花生和芝麻加在一起最多占50%的概率为04二维连续型随机变量解

(1)根据联合概率密度的性质设随机变量(X,Y)的概率密度为yoy=x21x3304二维连续型随机变量📚例7其他(1)求常数𝑘；(2)求P{X≥Y}；04二维连续型随机变量（1）由密度函数的性质，得解

随机变量(X,Y)的概率密度为34其他yoy=xy=x21x3504二维连续型随机变量(2)P{X≥Y}设G是平面上的有界区域,若随机变量(X,Y)的概率密度为则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记作(X,Y)~U(G)3604二维连续型随机变量常用的二维连续型随机变量📝二维均匀分布面积为S其他则

D

G,若(X,Y)服从区域G上的均匀分布,几何概型面积之比3704二维连续型随机变量设D的面积为设随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布.3804二维连续型随机变量📚例8解其他其中G由x–y=0,x+y=2,y=0围成，求P{(X,Y)∈D}.11o2xy面积之比(2)(X,Y)的联合分布函数.设随机变量(X,Y)服从区域B上的均匀分布.3904二维连续型随机变量📚例9解(1)(X,Y)的联合密度函数;其中B由y=2x+1,x=0,y=0围成的三角形区域，求y-1/2ox4004二维连续型随机变量4104二维连续型随机变量故(X,Y)的联合分布函数为若(X,Y)的联合概率密度为则称(X,Y)服从二维正态分布

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