新教材适用2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时空间中的距离问题课后训练北师大版选择性必修第一册

第2课时空间中的距离问题A组1.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,且点P(-2,1,4)到平面α的距离为103,则实数x等于()A.-1 B.-11C.-1或-11 D.-212.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1与BC1所在直线间的距离是().A.62a B.a C.2a D.3.如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=6,则点B1到平面PAD的距离为().(第3题)A.6 B.355 C.64.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是().(第4题)A.5 B.8 C.6013 D.5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.

(第5题)6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,全部棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为.

(第6题)7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,设点C到平面ABC1D1的距离为d1,点D到平面ACD1的距离为d2,BC到平面ADD1A1的距离为d3,则d1,d2和d3的大小关系为.

8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.(1)求点M到直线AC1的距离;(2)求点N到平面MA1C1的距离.B组1.已知PD⊥正方形ABCD所在平面,且PD=AD=1,则点C到平面PAB的距离d=().A.1 B.2 C.22 D.2.在空间直角坐标系中,定义平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|Ax0+By0+Cz0+A.55 B.23.已知二面角α-l-β的平面角为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为3,点Q到α的距离为23,则P,Q两点之间距离的最小值为().A.2 B.2 C.23 D.44.如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3,AD=2,若M是AB的中点,则点M到平面PAC的距离为.

(第4题)5.设棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上滑动,则点B1到平面BMD1的距离的最大值是.

6.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱AB上的动点.(1)求证:DA1⊥ED1;(2)若直线DA1与平面CED1的夹角为45°,求AEAB的值(3)写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明).(第6题)7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点,点P在线段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中点.求:(1)异面直线AM与PQ夹角的余弦值;(2)点M到直线PQ的距离;(3)点M到平面AB1P的距离.(第7题)

参考答案第2课时空间中的距离问题A组1.CPA=(x+2,2,-4),而点P到平面α的距离d=PA·n|n|=103,即|-2(x+22.A如图,建立空间直角坐标系,则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).(第2题)∴A1B=(0,a,-a),|A1B|=2a,BC1=(-a,0,a),|BC1|=2a.∴点A3.C如图,以A1B1所在直线为x轴,A1D1所在直线为y轴,A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系.(第3题)设平面PAD的一个法向量是n=(x,y,z).由题意知,B1(2,0,0),A(0,0,2),D(0,2,2),P(1,1,4),∴AD=(0,2,0),AP=(1,1,2),则由AD·n=0,AP·n=0,连接AB1.∵B1A=(-2,0,2),∴点B1到平面PAD的距离d=B1A·4.C(方法一)∵B1C1∥BC,B1C1⊄平面A1BCD1,∴B1C1∥平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.如图①,过点B1作B1E⊥A1B于点E.∵BC⊥平面A1ABB1,且B1E⊂平面A1ABB1,∴BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,∴B1E⊥平面A1BCD1.∴B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.在Rt△A1B1B中,|B1E|=|A∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为6013①②(第4题)(方法二)如图②,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x≠0).设平面A1BCD1的一个法向量为n=(a,b,c),由n⊥BC,n⊥CD1,得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,∴a=0,b=512c,∴又B1B=(0,0,∴点B1到平面A1BCD1的距离为B1B·n|∵B1C1∥平面A1BCD1,∴B1C1到平面A1BCD1的距离为60135.423如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),连接GD1,于是有GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),所以GD1在GF方向上的投影数量为(第5题)所以点D1到直线GF的距离为5-6.217如图,建立空间直角坐标系(第6题)则A32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),所以C1A=32,12,-1,C1B1=(0,1,0),C1B=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,z),则有C故点B1到平面ABC1的距离d=C1B1·n7.d2<d1<d3由向量法可求得d1=22a,d2=33a,d3=a,故d2<d1<d8.解如图,由题意知AB,AC,AA1两两垂直,所以可建立空间直角坐标系A-xyz,(第8题)则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2).(1)直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,22,22,MC1=(-2,2,1),故点M到直线AC1(2)设平面MA1C1的一个法向量为n=(x,y,z),则n⊥A1C1,n所以n·A1C1=0,且n·即(x,y,z)·(0,2,0)=0,(x,y,z)·(2,0,-1)=0.所以y=0,且2x-z=0,取x=1,则n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,与n同向的单位向量为n0=55,0,255.连接MN,因为N(1,1,0),所以MN=(-1,1,-1),故点N到平面MA1C1的距离d=|MN·n0|=3B组1.C如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),∴AP=(-1,0,1),AB=(0,1,0),BC=(-1,0,0).(第1题)设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则由n·AP=0,n·AB∴点C到平面PAB的距离d=BC·2.B作出正四棱锥P-A'B'C'D',如图,以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A'(1,1,0),B'(-1,1,0),P(0,0,2).(第2题)设平面PA'B'的方程为Ax+By+Cz+D=0,将以上3个点的坐标代入计算,得A=0,B=-D,C=-12D,所以平面PA'B'的方程为-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以点O到侧面的距离d=3.C作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为点M,N.(第3题)分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为点E,F,如图,连接ME,NF,则ME⊥l,NF⊥l.∴∠PEM为二面角α-l-β的平面角.∴∠PEM=60°.在Rt△PME中,|PE|=|PM|同理可得|QF|=4.又PQ=PE+EF+FQ,∴|PQ|2=4+|EF|2+16+2PE·EF+2PE·FQ+2EF·FQ=20+|∴当|EF|2取最小值0时,|PQ|2最小,此时|PQ|=23.4.32222如图,(第4题)则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,3),从而M(2,1,0),PA=(2,0,-3),PC=(0,2,-3).设n=(x,y,z)为平面PAC的一个法向量,则n⊥PA,n⊥PC.所以n即2所以x=y=3z2,取z=2,得x=y=3,所以n=(3,3,2)为平面PAC又因为MA=(0,-1,0),所以点M到平面PAC的距离d=MA·n|n|5.63a如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D1(0,0,a),B(a,a,0),B1(a,a,a),设M(0,a,b)(0≤b≤a),则BB1=(0,0,a),BM=(-a,0,b),BD1=(-a,-a,a),设平面BMD1的一个法向量为n=(x(第5题)则n令x=b,得平面BMD1的一个法向量为n=(b,a-b,a),∴点B1到平面BMD1的距离为d=BB1·n|n|=a22·a2-ab6.解如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则(第6题)D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1).设E(1,m,0)(0≤m≤1).(1)证明:DA1=(1,0,1),ED1=(因为DA1·ED1=1×(-1)+0×(所以DA1⊥ED1.(2)设平面CED1的一个法向量为v=(x,y,z),则v⊥CD1,v⊥CE,而CD1=(0,-1,1),CE=(1,所以-y+z=0,x+(m-所以v=(1-m,1,1)为平面CED1的一个法向量.因为直线DA1与平面CED1的夹角为45°,所以sin45°=|cos<DA1,v>|,所以即|2-m|2·m2-2m+3=22,解得m=1(3)点E到直线D1C距离的最大值为62,此时点E在点A处7.解如图,以B为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz,则(第7题)A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),B1(0,0,4).(1)∵AM=(-2,3,4),PQ=(4,