预测06 函数的图象与性质（理）（解析版）高中数学

预测06函数的图象与性质

高考预测

概率预测☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆

①函数图像的识别与应用

②函数的奇偶性、单调性、对称性等及其

考向预测

应用

|应试必备|

函数的图象与性质问题是历年高考的考察重点，通常出现在单选题、填空题中，因新高考改革

出现在多选题也有可能，因此弄清函数的图象与性质的常见考点至关重要。

复习本专题要围绕两个重点展开：

1.函数图象的识别与应用

2.函数的奇偶性、单调性、对称性等及其应用

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数./U）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两

个自变量的值X”尤2

定义

当时，都有4X|）勺（及），那么就说当加＜%2时丁都有人X1）次0），那么就说

函数犬X）在区间。上是增函数函数共处在区间。上是减函数

）’人）7竽）

|加,）尸.

图象描述。1■*

-O\X\~~x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

2.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有—X)=/(幻，

偶函数关于y轴对称

那么函数/U)是偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个x,都有八一工)=一

奇函数关于原点对称

Ax),那么函数yu)是奇函数

3.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值时,

都有_Ax+Q=/(x),那么就称函数y=/U)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数./U)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就

叫做兀v)的最小正周期.

堂技法必备

函数图像的识别与应用

可采用排除法：

L确定函数的定义域；2.利用函数的奇偶性、单调性、对称性等排除部分选项；3.利用特殊值结合

图像进行选项的排除。

真题回顾

【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确

定函数的图•象.

2

【解析】由函数的解析式可得：/（-x）=^^=-/（x）,则函数，（可为奇函数，其图象关于坐

标原点对称，选项CD错误；

4

当工=1时，y=——=2>0,选项B错误.

1+1

故选A.

cin_r+x

2.（2019全国I理5）函数抬尸一-~?在［-兀兀］的图像大致为

COSX+X

qinY-4-1*

【答案】D【解析】：因为/（力='：,xe［-7i,7i］,所以

COSX+尸

「/、-sinx-xsinx+x“、,、

/（一“）=—+/=cc<-2=-/⑺,所以为［―兀，兀］上的奇函数，因此排除

I-A-II人wvzO人"I人"

A；又/（兀）=SInTT+TT2='jLr^>0,因此排除B,C；故选D.

COS兀+71-1+71

oy3

3.（2019全国W理7）函数y=2、；2一、在［-6,6］的图像大致为

3

【答案】B【解析】因为/(—幻==-2'：；，=_/(©，所以f(x)是I?6,6]上的奇函

2"

数，因此排除C,又/(4)=」~>7,因此排除A,D.故选B.

28+1

4.(2020全国H文10)设函数〃》)=%3一二，则/■(%)()

A.是奇函数，且在(()，+8)单调递增B.是奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(()，+8)单调递减

[答案]A[解析】•.•函数/(x)=/一J定义域为{%|%#()},其关于原点对称,而y(-x)=-f(x).

X

函数/(X)为奇函数.

乂•..函数y=d在(0,+?)上单调递增，在(-?,0)上单调递增，而y=g=/在(0,+?)上单

调递减，在(-?,0)上单调递减，.•.函数/(x)=xjg在(0,+?)上单调递增，在(-?,0)上单

调递增.故选A.

5.(2020山东8)若定义在R上的奇函数/(x)在(YO,0)单调递减，且"2)=0,则满足4'(x-lRO

的x的取值范围是()

A.E，l]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,l]C.[-l,0]U[l，+8)D.[-1,O]U[1,3]

【答案】D

【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数/(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的

乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【解析】因为定义在R上的奇函数f(x)在(-8,0)上单调递减，且/(2)=0,

所以f(x)在(0,+8)上也是单调递减，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当XG(-OO,-2)D(0,2)时，/(x)>0,当xe(-2,0)U(2,+<»)时，/(%)<0,

x<0x>0

所以由财'(x-1)20可得:或《成尤=0

-2W冗-1W-1220<x-l<2n|a-l<-2

解得-IWXWO或所以满足犷.(x-DNO的X的取值范围是[T,0]U[l,3],故选D.

6.(2019全国H理14)已知/(x)是奇函数，且当尤<0时,/(x)=—e".若/(ln2)=8,则

4

【答案】。=一3【解析】解析：♦/(—ln2)=—eTM2=_/(]n2)=—8,得2-"=8，。=一3.

7.(2018全国卷H)已知f(尤)是定义域为(-00,+8)的奇函数,满足了(l-x)=/(l+x).

若/(I)=2,则/(1)+/(2)+/⑶+…+/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

8,+8)

【答案】C【解析】；/(x)是定义域为(一的奇函数，/(-%)=-/(x).且/(0)=0.；

/(1-x)=/(1+%),/./(x)=/(2-x)，f(—x)=/(2+x),：.f(2+x)=-f(x)，，

/(4+x)=—/(2+x)=/(x),二/(x)是周期函数，且一个周期为4,二/(4)=/(0)=0,

/(2)=/(1+1)=/(1-1)=/(0)=0,/(3)=/(1+2)=/(I-2)=-/(1)=-2，

/(1)+/(2)+/(3)+--+/(50)=12x0+/(49)+/(50)=/(1)+/(2)=2,故选C.

名校预测

一、单选题

1.(2021•全国高三月考(理))函数/“)=()

【分析】

先根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数，再利用/(2)>0即可得出.

【详解】

5

由题知，(x)=(丁一3x)•三1的定义域为(口收).

因为外为=(7+3。雪=3-3x).酷卡-3x).汨=/(力

所以/(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除选项B；

2-i

又/(2)=2xe=—>0.故排除选项C,D.

e+\

故选：A.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

2.(2021•全国高一单元测试)向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度/?随时间，变化的图象如图

所示，则杯子的形状为()

【答案】B

【分析】

6

由函数图像的变化可知，第一段和第二段杯中水面高度〃匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二

段上升的速度更快，说明第二段水面面积较小，进而得到答案

【详解】

解：由已知可得，第一段和第二段杯中水面高度九匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升

的速度更快，说明第二段水面面积较小，

故选：B

3.(2020・湖北武汉市•武钢三中高二期中)函数八x)=--------的大致图像是()

x-lnx-1

【分析】

求得函数“X)的定义域为(0,1)51,48)，设g(x)=x—Inx—1,由导数求得函数的单调

性，结合选项，即可求解.

【详解】

由题意，函数〃x)=---的定义域为(0,1)。(L+8)，

x-lnx-1

设g(x)=x-lnx-1,则g⑴=0,g<x)=l-L

当XG(1,+O0)时，g'(x)>o,函数g(x)单调递增；

当xe(0,l)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，

可得g(x)>g(l)=0，

7

所以函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,丑。)单调递减，且/(x)>o.

故选：D

【点睛】

关键点点睛：利用导数研究函数图象与性质，其中解答中根据函数的解析式求得函数的定义域，以

及利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.

4.(2020•长沙市・湖南师大附中高二期中)函数/(x)=J的大致图象是()

【答案】A

【分析】

(g)=2或>e,运用排除法可得选项.

由/(-X)=-/(X)得出函数是奇函数，再求得了(1)>0,

【详解】

|-.vj|.v|

法一:由函数/(x)=则/(—x)=L=—J=—/(x),所以函数f(x)为奇函数,图象关于

X7-XX

原点对称，所以排除B；

因为/(1)>0,所以排除D；

因为f(g)=2">e，所以排除C，

故选：A.

【点睛】

8

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.

二、多选题

5.（2021.全国高三专题练习）已知/（x）=eT+既'（A为常数），那么函数/"）的图象不可能是（

【答案】AD

【分析】

根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性.当左=1时，/（外=6-*+，为偶函数，当&=-1

时，/（力="*-"为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案.

【详解】

由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性.

当左=1时，/（尤）=""+。’为偶函数，

当了20时，t=且单调递增，而y=r+l在fe[1,+8）上单调递增，

t

故函数/。）=/'+产在[0,”）上单调递增，故选项C正确，。错误;

当人=一1时，/（x）=""一"为奇函数，

9

当x20时，/=且单调递增，而y=；—f在[1,+8）上单调递减，

故函数/（x）=e7—/在xe[0,”）上单调递减，故选项B正确，4错误.

故选:AD

【点睛】

关键点点睛；本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知左=1或左=-1,

再判断函数的单调性.

6.（2021.全国高三月考）已知函数f（x）的局部图象如图所示，则下列选项中不可能是函数/（幻解

析式的是（）

A.y=x2cosxB.y=xcosxc.y=x2sinxD.y=xsinx

【答案】ABD

【分析】

根据图象特点对选项一一判断即可.

【详解】

A中，因为/（一》）=（一%）2©05（—》）=/＜：05%=/（%）为偶函数与图象不符，故A错；

B中，当X=y=o与图象不符，故B错；

C中，与图象相符，故C对；

D中，因为/（一%）=（一司5皿（一力=心山》=/（可为偶函数与图象不符，故D错；

故选：ABD

X

7.（2020•重庆市第十一中学校高三月考）下列图象中，函数/（x）=——的图象可能是（）

X+Q

10

【答案】CD

【分析】

对/（x）分离常数可得：=转化为反比例函数的形式，利用函数图像的变换可判断

选项.

【详解】

解：〃X）=」一=1—-—,则故排除AB；

x+ax+a

当a>0时，图像关于（一61）对称，且当x>-a时，“X）在（一名+8）上单调递增，则D有可能；

当"0时，图像关于（一区1）对称，且当x>—a时，/（%）在（-a,+8）上单调递减，则C有可能；

故选：CD.

【点睛】

关键点点睛：f（x）=——，分母决定定义域，分子决定单调性；当b>0时，在各自区间单调递

x+a

减；当6<0时，在各自区间单调递增.

8.（2020.赣榆智贤中学高一月考）在同一直角坐标系中，函数丁=/+办+〃—3与y=a*的图象

可能是（）

11

【答案】AC

【分析】

按照。>1、0<“<1讨论，结合二次函数及指数函数的性质即可得解.

【详解】

若。>1,则函数y=优是R上的增函数，

函数丁=/+公+。—3的图象的对称轴方程为％=一£<0,故A可能，B不可能；

若0<。<1,则函数y="是R上的减函数，

a—3<0，函数>=/+双+。一3的图象与y轴的负半轴相交，对称轴为尤=一£<0,

故C可能，D不可能.

故选：AC.

9.(2021•浙江高一期末)己知函数y=/(x)是定义在上的奇函数，当了>0时，

/(x)=x(x-l),则下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)有2个零点B.当x<0时，/(x)=-x(x+l)

C.不等式y(x)<0的解集是(0,1)D.者陌

【答案】BCD

【分析】

根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可.

【详解】

对A,当x>0时，由/(x)=x(x-l)=0得尤=1,又因为y=/(x)是定义在［-M］上的奇函数,

所以/(0)=0,/(-1)=一/(1)=0,故函数y=/(x)有3个零点，则A错；

对B,设x<0,则一x>0，则/(工)=一/(一%)二一［一工(一工-1)］=一次(%+1),则B对;

12

对C,当0<xWl时，由/(x)=x(x—l)<0,得O<X<1；当一IWXWO时，由

/(x)=-x(x+l)<0,得x无解；则c对；

对D,Vx,,x2e1-1,1],都有

]_

则D对.

2

故选：BCD.

【点睛】

关键点点睛：本题关键在于根据奇偶性定义，结合二次函数，二次方程和二次不等式求解.

10.（2021•浙江高一期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

D.)=一1

【答案】BD

【分析】

根据函数奇偶性与单调性对选项逐一分析判断.

【详解】

A,函数）=是非奇非偶函数，故排除A；B,函数y=-2x是R上的奇函数也是减函数，故B

正确；C,函数y=（在定义域上是奇函数，但在（YQ,0）和（0,+8）上是减函数，在定义域上不具有

单调性，故排除C；D,函数y=-V是R上的奇函数也是减函数，故D正确.

故选：BD

三、填空题

11.（2021•广东茂名市•高三月考）写出一个对称中心为的函数/0）=.

【答案】sin（x-（答案不唯一，任何奇函数向右平移：个单位均可）

【分析】

兀

任取一个奇函数，向右平移一个单位即可.

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