a02(我)自动控制系统的数学模型

控制系统的数学模型第二章1一、控制系统的时域数学模型二、控制系统的复数域数学模型三、控制系统的结构图与信号流图本章内容：数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图状态空间模型2

控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式。模型静态数学模型动态数学模型建模方法分析法实验法3

本章要求:

1、了解建立系统微分方程的一般方法；2、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法；3、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；4、明确传递函数与微分方程之间的关系；5、能熟练地进行结构图等效变换；6、明确结构图与信号流图之间的关系；7、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；8、掌握从不同途径求传递函数的方法。4一、控制系统的时域数学模型主要着重研究描述线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的建立和求解方法。

1、线性元件的微分方程

以举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写。5例1:图示RLC无源网络，列出以为输入量，以为输出量的网络微分方程。解：消去中间变量得：一、控制系统的时域数学模型6例2：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。

解：由牛顿运动定律有

式中F1（t）是阻尼器的阻尼力，

F2（t）是弹簧反力一、控制系统的时域数学模型7

比较:R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程

相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。一、控制系统的时域数学模型82、控制系统微分方程的建立基本步骤：一、控制系统的时域数学模型（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量9举例3：速度控制系统的微分方程一、控制系统的时域数学模型10控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放1运放2功放直流电动机减速器（齿轮系）测速发电机得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）113、线性系统的特性

a、线性系统是指用线性微分方程描述的系统，其重要性质是可以应用叠加原理。b、叠加原理具有可叠加性和均匀性。例如：有线性微分方程若时，解为：若时，解为：一、控制系统的时域数学模型可叠加性：当时，微分方程的解为均匀性：当时，A为常数，微分方程的解12一、控制系统的时域数学模型例4在上第一例中，若已知L=1H，C=1F，R=1Ω，且电容上初始电压，初始电流i（0）＝0.1A，电源电压，试求电路突然接通电源时，电容电压的变化规律。

4、线性定常微分方程的求解直接求解法：通解+特解零输入响应+零状态响应

变换域求解法：Laplace变换方法(重点)

13一、控制系统的时域数学模型解：在上第二例中已求得网络微分方程为令，，且分别对各项求拉氏变换并整理后有14一、控制系统的时域数学模型由于对求拉氏反变换，得如果输入电压是单位脉冲量，则单位脉冲响应为15一、控制系统的时域数学模型用拉氏求解线性定常微分方程的过程可归结如下：

1)考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；

2)由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；

3)对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。

165、运动的模态运动的模态：是由n阶微分方程的特征根所决定的，代表自由运动的振型函数。从数学上讲，即是n阶齐次微分方程的通解所包含的振型函数。（1）如果n阶微分方程的特征根无重根，为，则有运动的模态为：等函数；一、控制系统的时域数学模型（2）如果n阶微分方程的特征根中有多重根λ则有运动的模态为：等函数；（3）如果n阶微分方程的特征根中有共轭复根则有运动的模态为：和，或写成和17一、控制系统的时域数学模型由给定的初始条件可求得故得这个结果与例5中解的零输入分量是一致的.在上例中，徽分方程的特征根，故其共轭复模态是与，或与，而微分方程的齐次通解是181、传递函数的定义与性质（1）定义传递函数：在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。由n阶线性微分方程推出传递函数的方法：二、控制系统的复数域数学模型在零初始条件下，由传递函数的定义得19二、控制系统的复数域数学模型例5试求例1RLC无源网络的传递函数。解

RLC网络的微分方程用式(2-1)表示为

在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令

可得s的代数方程为20二、控制系统的复数域数学模型由传递函数定义，网络传递函数为：

故将微分方程的算符d/dt用复数s置换便得到传递函数；反之，将传递函数多项式中的变量s用算苻d/dt置换便得微分方程。

21（2）性质1）传递函数是复变量s的有理真分式函数,；2）传递函数仅与系统自身的结构和参数有关，与系统输入量形式无关；3）传递函数与微分方程有相通性，可相互转换；4）传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。二、控制系统的复数域数学模型22例6求电枢控制直流电动机传递函数解：二、控制系统的复数域数学模型23根据线性叠加原理，分别研究到和到的传递函数二、控制系统的复数域数学模型电动机转速在电枢电压和负载转矩同时作用下的响应特性为：242、传递函数的零点和极点（1）传递函数表示形式为：二、控制系统的复数域数学模型上式中，

(i=1,2,...,m)是传递函数的零点；

(j=1,2,...,n)是传递函数的极点；为传递系数或根轨迹增益。复平面上零点用“”表示，极点用“”表示，称为零极点分布图。○25（2）传递函数表示形式为：式中，、称为时间常数；为传递系数或增益。二、控制系统的复数域数学模型3.传递函数的零点和极点对输出的影响（1）传递函数的极点可受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动模态。26二、控制系统的复数域数学模型由于传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的模态，而且在强迫运动中（即零初始条件响应）也会包含这些自由运动的模态。设某系统传递函数为

显然，其极点,,零点，自由运动的模态是和。

27二、控制系统的复数域数学模型当，即时，可求得系统的零初始条件响应为

=

式中，前两项具有与输入函数r（t）相同的模态；后两项中包含了由极点-1和-2形成的自由运动模态，这是系统“固有”的成分，但其系数却与输入函数有关，因此可以认为这两项是受输入函数激而形成的。

28（2）传递函数的零点不形成自由运动模态，却影响各模态在响应中所占的比重，影响响应曲线的形状。现举例说明：二、控制系统的复数域数学模型设具有相同极点但零点不同的传递函数分别为

其极点都是-1和-2，G1(S)的零点Z1=-0.5，G2(S)的零点Z2=-1.33。

在零初始条件下，它们的价跃响应分别是

29二、控制系统的复数域数学模型上述结果表明，模态和在两个系统的单位价跃响应中所占的比重是不同的，它取决于极点之间的距离和极点与零点之间的距离，以及零点与原点之间的距离。在极点相同的情况下，的零点接近原点，距两个极点的距离都比较远，因此，两个模态所占比重大且零点的作用明显；而的零点距原点较远且与两个极点均相距较近，因此两个模态所占比重就小。这样，尽管两个系统的模态相同，但由于零点的位置不同，其单位价跃响应和却具有不同的形状。

30二、控制系统的复数域数学模型31无源网络二、控制系统的复数域数学模型无源网络通常由电阻、电容和电感组成，可以用两种方法求取无源网络的传递函数，一种方法是先列写网络的微分方程，然后在零初始条件下进行拉氏变换，从而得到输出变量与输入变量之间的传递函数；另一种方法是引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。

图中，由图可直接写出电路的传递函数为

4、典型元部件的传递函数32二、控制系统的复数域数学模型

注意，求取无源网络传递函数时，一般假设网络输出端接有无穷大负载阻抗，输入内阻为零，否则应考虑负载效应。

下面举例说明负载效应如图，两个RC网络不相连接时，可视为空载，其传递函数分别是

33二、控制系统的复数域数学模型若将与两个方框串联连接，如图右端，则其传递函数34三、控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图和信号流图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。351、系统结构图的组成和绘制(1)系统结构图的组成单元A信号线B引出点（或测量点）C比较点（或综合点）D方框（或环节）下图为结构图的基本组成单元三、控制系统的结构图与信号流图36三、控制系统的结构图与信号流图37(2)系统结构图的绘制方法（1）考虑负载效应，列写元部件传递函数，用方框表示；（2）根据元部件的信号流向，用信号线依次连接方框，得方框图。下面举例说明：三、控制系统的结构图与信号流图38三、控制系统的结构图与信号流图例试绘制无源网络的结构图。解应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程：

按照上述方程可分别绘制相应元件的方框如图。然后，用信号线按信号流向依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构图。

39三、控制系统的结构图与信号流图402、结构图的等效变换和简化任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。三、控制系统的结构图与信号流图41（1）简化的原则：变换前后变量关系保持等效。具体为：

A、变换前后前向通路中传递函数的乘积保持不变；

B、变换前后回路中传递函数的乘积保持不变。三、控制系统的结构图与信号流图42（2）等效变换规则

A、串联等效三、控制系统的结构图与信号流图43B、并联等效三、控制系统的结构图与信号流图44C、反馈等效三、控制系统的结构图与信号流图45D、比较点和引出点的移动三、控制系统的结构图与信号流图46E、负号在支路上移动三、控制系统的结构图与信号流图47F、比较点合并与分解下面举例说明：三、控制系统的结构图与信号流图48三、控制系统的结构图与信号流图例

试简化系统结构图，并求系统传递函数

49三、控制系统的结构图与信号流图50三、控制系统的结构图与信号流图例

试简化系统结构图，并求系统传递函数

51三、控制系统的结构图与信号流图52三、控制系统的结构图与信号流图533、信号流图的组成及性质(1)、信号流图的组成：由节点和支路组成的一种信号传递网络。

A、节点：即变量，用小圆圈表示，为流向该节点的信号的代数和。

B、支路：定向线段，标支路增益，相当于乘法器，表因果关系。三、控制系统的结构图与信号流图54(2)、信号流图的性质

A、节点标志系统的变量；

B、支路相当于乘法器；

C、信号沿箭头单向传递；

D、系统的信号流图不是惟一的。三、控制系统的结构图与信号流图下图为典型的信号流图55(3)、常用术语三、控制系统的结构图与信号流图源节点（或输入节点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，如图中的节点。阱节点（或输出节点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，如图中的节点。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，如图中的节点。

56三、控制系统的结构图与信号流图前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。从源节点到阱节点，共有两条前向通路：一条是，其前向通路总增益；另一条是，其前向通路总增益。回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。，其回路增益，其回路增益；的自回路，其回路增益是。不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。一对是和；另一对是和。

57三、控制系统的结构图与信号流图例

试绘制RC无源网络的信号流图。设电容初始电压为。解

由基尔霍夫定律，列写微分方程式如下：

各微分方程式进行拉氏变换，则有

4、信号流图的绘制(1)由系统微分方程绘制信号流图微分方程先拉氏变换，指定系统变量，按因果关系排列，连成信号流图。58三、控制系统的结构图与信号流图经整理后得

对变量，，，，，及分别设置七个节点；然后，用相应增益的支路将个节点连接起来，便得到RC无源网络的信号流图。

59三、控制系统的结构图与信号流图例试绘制系统结构图对应的信号流程。

解

首先，在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对于对应的节点，如图（a）所示。其次，将各节点按原来顺序自左向右排列，连接个节点的支路与结构图中的方框相对应，便得系统的信号流图，如图（b）所示。

(2)由系统结构图绘制信号流图结构图上信号线变成小圆圈表示变量，方框变成增益线段（即支路），连成信号流图。60三、控制系统的结构图与信号流图注意比较点与引出点的关系：①在结构图比较点之前没有引出点（但在比较点之后可以有引出点）时，只需在比较点后设置一个节点便可，见图（a）；②

但若在比较点之前有引出点时，就需在引出点和比较点各设置一个节点，分别标志两个变量，它们之间的支路增益是1，见图（b）。

61注意比较点与引出点的关系：三、控制系统的结构图与信号流图62经整理后得

5、梅森增益公式(1)梅森增益公式的来源A、克莱姆规则求解线性方程组B、传递函数分子分母多项式分析63三、控制系统的结构图与信号流图由克莱姆规则，方程式组的系数行列式为

=因此，，即有

64三、控制系统的结构图与信号流图

对上述传递函数的分母多项式和分子多项式进行分析表示信号流图中所有单独回路的回路增益之和项表示信号流图中每两个互不接触的回路增益之乘积的和项65三、控制系统的结构图与信号流图是第条前向通路的总增益为与第条前向通路不接触回路的回路增益令，则是与第条前向通路对应的余因子式，它等于系数行列式中，去掉与第条前向通路接触的所有回路的回路增益项后的余项式。

66（2）梅森增益公式三、控制系统的结构图与信号流图

为从源接点到阱接点的传递函数（或总增益）；

为从源接点到阱接点的前向通路总数；

为从源接点到阱接点的第条前项通路总增益；

为流图特征式；

为流图余因子式；为所有单回路增益之和；为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；为每三个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；

等于流图特征式中除去与第条前项通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。67（3）利用梅森公式求系统传递函数三、控制系统的结构图与信号流图例

试用梅森公式求例2-14系统的传递函数。

解

由梅森公式求得系统传递函数为68三、控制系统的结构图与信号流图例

求图所示系统的传递函数

解有五个单独回路没有不接触回路有两条前项通路

69三、控制系统的结构图与信号流图例试求信号流图中的传递函数

解

单独回路有四个，即两个互不接触的回路有四组，即三个互不接触的回路有一组，即70三、控制系统的结构图与信号流图信号流图特征式

从源节点R到阱节点C的前向通路共有四条

因此，由梅森公式求得系统传递函数为

=71三、控制系统的结构图与信号流图例试求图所示系统信号流图的传递函数

解

三个单独回路，没有不接触回路，三条前向通路，72三、控制系统的结构图与信号流图由梅森公式求得系统传递函数为由上式不难求出与其对应的微分方程为

这正是三阶线性微分方程式的典型形式736、闭环系统的传递函数三、控制系统的结构图与信号流图74（1）输入信号作用下的闭环传递函数三、控制系统的结构图与信号流图（2）扰动作用下的闭环传递函数75输入和扰动共同作用式，系统输出响应为：若，并且则有三、控制系统的结构图与信号流图（3）闭环系统的误差传递函数76三、控制系统的结构图与信号流图最后要指出的是，各种闭环系统传递函数的分母形式相同，是因为它们都是同一个信号流图的特征式，即△=1+,式中是回路增益，并称它为系统的开环传递函数，它等效为主反馈段开时，从输入信号R(s)到反馈信号B(s)之间的传递函数。

77三、控制系统的结构图与信号流图例:试求图所示控制系统的传递函数78三、控制系统的结构图与信号流图解：解法1用结构图等效变换法求解，等效变换过程如后图所示79三、控制系统的结构图与信号流图…80三、控制系统的结构图与信号流图81三、控制系统的结构图与信号流图解法2用梅逊公式求解。系统结构图所对应的信号流图如图所示。系统有一条向前通道，其传递函数为四个回路：△=1-所以，系统传递函数为

82三、控制系统的结构图与信号流图例：系统结构图、信号流图如图所示，求传递函数C(s)/R(s)。83三、控制系统的结构图与信号流图解

系统所对应的信号流图如图所示。三个回路：，，

△=1=从到，有一条前向通路：从到，有一条前向通路：由梅逊公式，得

讨论：同一系统的△是一定的，不随输入点的位置而改变。

84四、用MATLAB处理控制系统的数学模型传递函数模型控制系统常用的数学模型有4种形式：传递函数模型(tf对象)零、极点增益模型ZPK对象状态空间模型(SS对象)动态框图令系统的传递函数为在MATLAB建立传递函数时，需将其分子与分母多项式的系数写成两个矢量，并用tf()函数给出，即85式中，num=[b0b1b2···bm]表示G(s)分子多项式的系数；

den=[a0a1a2···am]表示分母多项式的系数；Num和den都是按s的除幂次序给出。例

试用MATLAB表示下列的传递函数解在MATLAB的命令窗口中键入num=[12]；%分子多项式Den=[121]；%分母多项式Sys=tf(num,den)%求传递函数表达式Sys=tf(num，den)86建立零、极点形式的传递函数如把传递函数