高考数一轮复习 3.8 解三角形应用举例限时集训 理

限时集训(二十二)解三角形应用举例(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．如图所示，已知两船A和B与海洋观察站C的距离相等，船A在观察站C的北偏东40°，船B在观察站C的南偏东60°，则船A在船B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°2．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是eq\r(3)km，那么x的值为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．33.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m5．(·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．2eq\r(2)km B．3eq\r(2)kmC．3eq\r(3)km D．2eq\r(3)km6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.67．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为 ()A.eq\f(400,3)m B.eq\f(200,3)mC．100m D.eq\f(400\r(2),3)m8.如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A．2.7m B．17.3mC．37.3m D．373m二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(·南通模拟)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内如图的一块三角形空地上种植草皮(单位：m)，已知这种草皮的价格是120元/m2，则购买这种草皮需要________元．10.年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.11．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20m，则折断点与树干底部的距离是______m.12．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．13．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．14．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3eq\r(2)海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，则两艘轮船之间的距离为________海里．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．16．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB＝15eq\r(2)m，在A处看到着火点的仰角为60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？17.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．答案[限时集训(二十二)]1．B2.C3.B4.A5.B6.B7.A8.C9．解析：三角形空地的面积S＝eq\f(1,2)×12eq\r(3)×25×sin120°＝225，故共需225×120＝27000元．答案：2700010．解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin60°).∴x＝eq\f(10\r(6),3)m.答案：eq\f(10\r(6),3)m11．解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，解得AO＝eq\f(20\r(6),3)m.答案：eq\f(20\r(6),3)12．解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是eq\f(5,0.5)＝10海里/小时．答案：1013．解析：连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50eq\r(7).答案：50eq\r(7)14．解析：连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝3eq\r(2)，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝eq\r(13).答案：eq\r(13)15．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M，DF＝eq\r(MF2＋DM2)＝eq\r(302＋1702)＝10eq\r(298)，DE＝eq\r(DN2＋EN2)＝eq\r(502＋1202)＝130，EF＝eq\r(BE－FC2＋BC2)＝eq\r(902＋1202)＝150.在△DEF中，由余弦定理得，cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(1302＋1502－102×298,2×130×150)＝eq\f(16,65).16．解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，解得AC＝15m.又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15eq\r(3)，sin105°＝sin(45°＋60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，解得BC＝eq\f(15\r(6)＋\r(2),2)m.由勾股定理可得BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝15eq\r(5＋\r(3))m，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30m，15eq\17．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为eq\f(BC,2)＝14海里/小时．(2)法一：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°).即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).法二：在△ABC中，因为AB＝12，AC