高考数一轮复习 第六章 第二节 一元二次不等式及其解法演练知能检测 文

第二节一元二次不等式及其解法[全盘巩固]1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(x－2,x)≤0))，则A∩B＝()A．{x|－1≤x<0}B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}解析：选B∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．2．(·江西高考)下列选项中，使不等式x<eq\f(1,x)<x2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)解析：选A当x>0时，原不等式可化为x2<1<x3，解得x∈∅，当x<0时，原不等式可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2>1，,x3<1，))解得x<－1.3．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则xA．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1,3)解析：选C把原不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝x2－5x＋6>0，,f1＝x2－3x＋2>0，))解得x<1或x>3.4．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为图中的()解析：选B由根与系数的关系知eq\f(1,a)＝－2＋1，－eq\f(c,a)＝－2，得a＝－1，c＝－2.f(－x)＝－x2＋x＋2的图象开口向下，由－x2＋x＋2＝0，得两根分别为－1和2.5．在R上定义运算“*”：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．(－1,1)D．(0,2)解析：选A由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，∴－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立，∴Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，∴4y2－4y－3<0，解得－eq\f(1,2)<y<eq\f(3,2).6．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则aA．[1,19]B．(1,19)C．[1,19)D．(1,19]解析：选C函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a2＋4aeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4a－5>0，,16a－12－12a2＋4a－5<0，))解得1<a<19.综上可知，a的取值范围是[1,19)．7．(·福州模拟)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.答案：[－4,3]8．当a≠b时，关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2的解集是________．解析：将原不等式化为(a2－b2)x＋b2≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2，移项，整理后得(a－b)2(x2－x)≤0，∵a≠b，∴(a－b)2>0，∴x2－x≤0，即x(x－1)≤0，解得0≤x≤1，故原不等式的解集为{x|0≤x≤1}．答案：{x|0≤x≤1}9．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x∈R均成立，则实数m的取值范围是________．解析：原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，当m＝2时，对x∈R，不等式恒成立，当m≠2时，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2<0，,Δ＝4m－22＋16m－2<0，))解得－2<m<2，综上知－2<m≤2.答案：(－2,2]10．解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R)．解：当Δ＝4a2－12>0，即a>eq\r(3)或a<－eq\r(3)时，方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根x1＝eq\f(2a－\r(4a2－12),2)＝a－eq\r(a2－3)，x2＝eq\f(2a＋\r(4a2－12),2)＝a＋eq\r(a2－3)，且x1<x2，所以不等式的解集为{x|x≤a－eq\r(a2－3)或x≥a＋eq\r(a2－3)}；当Δ＝4a2－12≤0，即－eq\r(3)≤a≤eq\r(3)时，不等式的解集为R.综上所述，当a>eq\r(3)或a<－eq\r(3)时，不等式的解集为{x|x≤a－eq\r(a2－3)或x≥a＋eq\r(a2－3)}；当－eq\r(3)≤a≤eq\r(3)时，不等式的解集为R.11．(·台州模拟)已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．解：(1)根据题意，m≠1且Δ>0，即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，所以m≠1且m≠0.(2)在m≠0且m≠1的条件下，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(m－2,1－m)，,x1x2＝\f(1,1－m)，))因为eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝m－2，所以eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))2－eq\f(2,x1x2)＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.得m2－2m≤0，所以0≤m所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}．12．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解：假设一次上网x(0<x<17)小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为1.7＋(1.7－0.1)＋(1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x－1)×0.1]＝eq\f(x35－x,20)(元)．由eq\f(x35－x,20)>1.5x(0<x<17)，整理得x2－5x<0，解得0<x<5，故当0<x<5时，A公司收费低于B公司收费，当x＝5时，A，B两公司收费相等，当5<x<17时，B公司收费低．所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；为5小时时，选择公司A与公司B费用一样多；超过5小时小于17小时时，选择公司B的费用少．[冲击名校]1．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))与eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))上分别递减和递增，则不等式x3f(x)<0的解集为()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,0)D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：选D由图知，f(x)<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x3f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪2．设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.解析：∵x>0，∴当a≤1时，(a－1)x－1<0恒成立．∴[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0不可能恒成立．∴a>1.对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x2<x3，易知x2<0，x3>0.又当x>0时，原不等式恒成立，通过y＝(a－1)x－1与y＝x2－ax－1图象可知x1＝eq\f(1,a－1)必须满足方程x2－ax－1＝0，即x1＝x3，代入解得a＝eq\f(3,2)或a＝0(舍)．答案：eq\f(3,2)[高频滚动]1．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是()A．xy>yzB．xz>yzC．xy>xzD．x|y|>z|y|解析：选C因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>z，))可得xy>xz.2．(·浙江高考)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b，))a∨b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\v