高考数一轮复习 第三章 第七节 解三角形应用举例突破热点题型 文

eq\a\vs4\al(第七节解三角形应用举例)高频考点考点一测量距离问题1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：(1)测量问题；(2)行程问题．[例1](1)(·上海高考)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米．(2)(·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).①求索道AB的长；②问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？[自主解答](1)如图，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，得AC＝AB·eq\f(sinB,sinC)＝2×eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝eq\r(6)千米．(2)①在△ABC中，因为cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)×sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040m.所以索道AB的长为1040m.②假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8，故当t＝eq\f(35,37)min时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得BC＝eq\f(AC,sinB)×sinA＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(5,13)＝500m.乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550m，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤eq\f(500,v)－eq\f(710,50)≤3，解得eq\f(1250,43)≤v≤eq\f(625,14)，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在eq\f(1250,43)，eq\f(625,14)(单位：m/min)范围内．[答案](1)eq\r(6)测量距离问题的常见类型及解题策略(1)测量问题．首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)行程问题．首先根据题意画出图形，建立三角函数模型，然后运用正、余弦定理求解．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．解析：∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AB＝AC，∴河宽为eq\f(1,2)AC＝60m.答案：60m2.如图，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离A城多少千米？解：在△BCD中，BC＝31km，BD＝20km，CD＝21km，由余弦定理得cos∠BDC＝eq\f(BD2＋CD2－BC2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，所以cos∠ADC＝eq\f(1,7)，sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7)，在△ACD中，由条件知CD＝21km，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(5\r(3),14).由正弦定理eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(CD,sinA)，所以AD＝eq\f(21,\f(\r(3),2))×eq\f(5\r(3),14)＝15km，故这时此车距离A城15千米.考点二测量高度问题[例2]某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．[自主解答]如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40m，此时∠DBF＝45°.过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°.在△BCD中，CD＝40m，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，则BD＝eq\f(40sin30°,sin135°)＝20eq\r(2).∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝BDsin15°＝20eq\r(2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝10(eq\r(3)－1)m.在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，则AB＝BEtan30°＝eq\f(10,3)(3－eq\r(3))m.故塔高为eq\f(10,3)(3－eq\r(3))米．【互动探究】在本例条件下，若该人行走的速度为6km/h，则该人到达测得仰角最大的地方时，走了几分钟？解：设该人走了xm时到达测得仰角最大的地方，则xtan30°＝(40－x)tan15°，即eq\f(x,40－x)＝eq\f(tan15°,tan30°)＝eq\r(3)tan15°＝eq\r(3)tan(45°－30°)＝2eq\r(3)－3.解得x＝10(3－eq\r(3))．又v＝6km/h＝100m/min，故所用时间t＝eq\f(103－\r(3),100)＝eq\f(3－\r(3),10)min.即该人到达测得仰角最大的地方时，走了eq\f(3－\r(3),10)分钟．【方法规律】解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α＝60°，在塔底C处测得A处的俯角为β＝45°，已知铁塔BC部分的高为24eq\r(3)m，则山高解：由已知条件可得tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，则tan∠BAC＝tan(60°－45°)＝eq\f(\f(BD,AD)－\f(CD,AD),1＋\f(BD,AD)×\f(CD,AD))＝eq\f(BC·AD,AD2＋BD·CD)＝eq\f(24\r(3)·CD,CD2＋24\r(3)＋CD·CD)＝eq\f(12\r(3),12\r(3)＋CD)＝2－eq\r(3)，解得CD＝(36＋12eq\r(3))m.答案：36＋12eq\r(3)考点三测量角度问题[例3]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．[自主解答](1)法一：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300)，故当t＝eq\f(1,3)时，Smin＝10eq\r(3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)海里/小时，即小艇以30eq\法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇，如图所示．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10eq\r(3)，AC＝20sin30°＝10，又AC＝30t，OC＝vt，故t＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)海里/小时．即小艇以30eq\r(3)海里/小时的速度航行，相遇时小艇的(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，即v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2).∵0＜v≤30，∴900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)≤900，即eq\f(2,t2)－eq\f(3,t)≤0，解得t≥eq\f(2,3).又t＝eq\f(2,3)时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于eq\f(2,3).此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．【方法规律】解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解：如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个步骤——解三角形应用题的一般步骤2种情形——解三角形应用题的两种情形