2021-2022学年浙江省宁波市象山港书院、蛟川书院九年级（上）期中数学试卷-带答案详解

2021-2022学年浙江省宁波市象山港书院、蛟川书院九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下面四组线段中，成比例的是A．，，， B．，，， C．，，， D．2．（4分）已知，以为圆心，为半径作．若使点在内，则的值可以是A．2 B．3 C．4 D．53．（4分）在中，，若，则的值是A． B． C． D．4．（4分）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：抽查小麦粒数1005001000200030004000发芽粒数9548696819402907则的值最有可能是A．3680 B．3720 C．3880 D．39605．（4分）有下列说法：①半径是弦；②任意一个三角形有且只有一个外接圆；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的圆周角是；⑤相等的圆周角所对的弧相等，其中正确的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．（4分）如图，在中，，，则下列式子一定正确的是A． B． C． D．7．（4分）如图，已知矩形中，，，．若四边形与四边形相似而不全等，则A．3 B．3.5 C．4 D．4.58．（4分）如图，四边形是半径为2的的内接四边形，连接，．若，则的长为A． B． C． D．9．（4分）已知点是的重心，连结，过点作交于点，若的面积为1，则的面积为A．6 B．8 C．9 D．1210．（4分）二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则二.填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为．12．（5分）如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，，则的值为．13．（5分）如图，已知正五边形中，点是的中点，是线段上的动点，连接，，当的值最小时，的度数为．14．（5分）如图，在的网格中，以顶点为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，分别交图中格点格线于，两点，则的值为．15．（5分）如图，点是线段上一动点（不包括端点），过点作交以为直径的半圆于点，连结，过点作交该半圆于点，连结．当是以为腰的等腰三角形时，为．16．（5分）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点．当点从点开始向右运动到点时，求点运动路径的长度为．三、解答题（第17题6分，第18、19题各9分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（6分）计算：．18．（9分）如图，的顶点坐标分别为，，．（1）画出绕点顺时针旋转得到的△，并写出的坐标；（2）在第一象限的网格内画出，的面积是6，且，，的横纵坐标均为正整数．19．（9分）、两人去九龙湖风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定，两人采取了不同的乘车方案：无论如何总是上开来的第一辆车；先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？（2）你认为、两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的概率大？请分别求出，乘上等车的概率并判断．20．（10分）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，，（1）求点距水平地面的高度；（2）求广告牌的高度．21．（10分）经营者小明在直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为10元，当售价为每袋15元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋与销售单价（元之间的函数关系式；（2）求每天所得销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；（3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为5元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？22．（10分）如图，抛物线分别与轴交于点，，与轴交于点，点为线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当时，求的值；（3）点是直线上的一个动点，将点向右平移5个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．23．（12分）已知是的外接圆，为的直径，弧上一点满足，连结交于点．（1）求的值．（2）求证：；（3）连接，若，求与的面积比．24．（14分）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，．（1）如图1，当落在的延长线上时，①连接，求线段的长．②求从初始状态到此位置时，线段扫过的面积．（2）如图2，连接，，所在直线与所在直线交于点，所在直线与交于点，当时，是否存在使得，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．（3）如图3，所在直线与所在直线交于点，为边的中点，连接，请直接写出在旋转过程中，长度的取值范围．

2021-2022学年浙江省宁波市象山港书院、蛟川书院九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下面四组线段中，成比例的是A．，，， B．，，， C．，，， D．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：、，故选项符合题意；、，故选项不符合题意；、，故选项不符合题意；、，故选项不符合题意；故选：．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．（4分）已知，以为圆心，为半径作．若使点在内，则的值可以是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据点与的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．【解答】解：已知，以为圆心，为半径作．若使点在内，点到圆心的距离应该小于圆的半径，圆的半径应该大于4．故选：．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．3．（4分）在中，，若，则的值是A． B． C． D．【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．【解答】解：在中，，，，，．故选：．【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即；也可以理解成若，那么或．4．（4分）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：抽查小麦粒数1005001000200030004000发芽粒数9548696819402907则的值最有可能是A．3680 B．3720 C．3880 D．3960【分析】根据5次测试从100粒增加到3000粒时，测试某品种小麦发芽情况的频率趋近于0.97，从而求得答案．【解答】解：，，，，，可估计某品种小麦发芽情况的概率为0.97，而，，，．故选：．【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解：大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．5．（4分）有下列说法：①半径是弦；②任意一个三角形有且只有一个外接圆；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的圆周角是；⑤相等的圆周角所对的弧相等，其中正确的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据半径的定义、三角形的外接圆、垂径定理的推论、圆周角定理判断即可．【解答】解：①半径不是弦，本小题说法是假命题；②任意三角形都有且只有一个外接圆，本小题说法是真命题；③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，本小题说法是假命题；④半圆所对的圆周角是，本小题说法是真命题；⑤在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本小题说法是假命题；故选：．【点评】本题考查了半径的定义、三角形的外接圆、垂径定理的推论、圆周角定理，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．6．（4分）如图，在中，，，则下列式子一定正确的是A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可．【解答】解：，，，故错误；，，，而，点不一定是的中点，故错误；，，，故正确；，，点不一定是的中点，故错误，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（4分）如图，已知矩形中，，，．若四边形与四边形相似而不全等，则A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】可设，由四边形与四边形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：设，四边形与四边形相似，，，，，，解得：，故选：．【点评】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形与四边形相似得到比例式．8．（4分）如图，四边形是半径为2的的内接四边形，连接，．若，则的长为A． B． C． D．【分析】利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求得，结合弧长公式进行解答即可．【解答】解：四边形内接于，，．又．的半径为2，劣弧的长为．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数，从而得到，从而得出劣弧的长．9．（4分）已知点是的重心，连结，过点作交于点，若的面积为1，则的面积为A．6 B．8 C．9 D．12【分析】连接并延长交于，如图，利用三角形重心性质得到，则利用平行线分线段成比例得到，再根据三角形面积公式得到，则，接着求出，从而得到，然后利用为中线得到．【解答】解：连接并延长交于，如图，点是的重心，，，，，，而，△，，为中线，．故选：．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式．10．（4分）二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】观察图象可知，，再结合题目一一判断即可．【解答】解：如图，由题意对称轴为直线，观察图象可知，，若，则，选项不符合题意，若，则或，选项不符合题意，若，则或，选项不符合题意，若，则，选项符合题意，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．二.填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为．【分析】直接利用二次函数平移规律，左加右减，上加下减，进而分析得出答案．【解答】解：将二次函数的图象先向右平移2个单位，得到，再向下平移3个单位，则所得图象的函数解析式为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．12．（5分）如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，，则的值为．【分析】由可得出，利用相似三角形的性质结合，可得出，此题得解．【解答】解：，，，，．，，，，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．13．（5分）如图，已知正五边形中，点是的中点，是线段上的动点，连接，，当的值最小时，的度数为．【分析】如图，连接，，设交于点，连接．证明当点与重合时，的值最小，求出可得结论．【解答】解：如图，连接，，设交于点，连接．正五边形中，点是的中点，，，关于对称，，，当点与重合时，的值最小，是正五边形，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．14．（5分）如图，在的网格中，以顶点为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，分别交图中格点格线于，两点，则的值为．【分析】连接，作于点，构造直角三角形与直角三角形，然后根据勾股定理或三角函数求出与的值求解．【解答】解：连接，作于点，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形求解．15．（5分）如图，点是线段上一动点（不包括端点），过点作交以为直径的半圆于点，连结，过点作交该半圆于点，连结．当是以为腰的等腰三角形时，为或．【分析】分两种情况：①时，过点作于，则，根据等腰三角形的性质得平分，，根据平行线的性质得，，由圆周角、弧、弦的关系得，可得，则，证明，根据全等三角形的性质得，可得，即可求解；②时，过点作于，连接，根据等角的余角相等可得，则，即可求解．【解答】解：①时，过点作于，，，，，，，，，平分，，，，，，，，，在和中，，，，，，；②时，过点作于，连接，为直径，，，，，，，，．故答案为：或．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，与圆有关的性质，三角形全等，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键．16．（5分）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点．当点从点开始向右运动到点时，求点运动路径的长度为．【分析】连接并延长交于，由，可知点是上靠近的三等分点，点在线段上运动，当从点开始向右运动到点，即与重合时，过作于，过作于，在中，由，，可得，，，又，即得，，，在中，用勾股定理即得．【解答】解：连接并延长交于，如图：，，，点是上靠近的三等分点，点在线段上运动，当从点开始向右运动到点，即与重合时，如图：点运动路径即为，过作于，过作于，在中，，设，则，，，，，，，，，，，，，，即，，，，在中，，故答案为：．【点评】本题主要考查菱形性质及应用，涉及动点问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数和勾股定理的应用．三、解答题（第17题6分，第18、19题各9分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（6分）计算：．【分析】根据特殊角的三角函数值，可得、、、的值，代入原式可得答案．【解答】解：原式（4分）．（5分）【点评】本题考查特殊角的三角函数值，要求学生准确记忆．18．（9分）如图，的顶点坐标分别为，，．（1）画出绕点顺时针旋转得到的△，并写出的坐标；（2）在第一象限的网格内画出，的面积是6，且，，的横纵坐标均为正整数．【分析】（1）按照旋转的性质，作出点、即可；（2）首先求出的面积，得，从而与的相似比为，即可解决问题．【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，由图象知，的坐标为；（2），，，与的相似比为，如图，即为所求．【点评】本题主要考查了作图旋转变换，相似变换，熟练掌握相似三角形的性质求出相似比为是解题的关键．19．（9分）、两人去九龙湖风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定，两人采取了不同的乘车方案：无论如何总是上开来的第一辆车；先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？（2）你认为、两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的概率大？请分别求出，乘上等车的概率并判断．【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能；（2）分别求出两个方案使自己乘上等车的概率，然后比较概率大小可判断谁的可能性大．【解答】解：（1）根据题意列表如下：第1辆第2辆第3辆上中下上下中中上下中下上下中上下上中三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能；（2）采用的方案使自己乘上等车的概率；采用的方案使自己乘上等车的概率，因为，所以人采用的方案使自己乘上等车的概率大．【点评】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．20．（10分）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，，（1）求点距水平地面的高度；（2）求广告牌的高度．【分析】（1）根据坡度的意义，求出，再利用直角三角形的边角关系求出答案；（2）在中求出，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案．【解答】解：（1）如图，过点作，，垂足分别为、，由题意可知，，，，米，米，，，（米，即点距水平地面的高度为6米；（2）在中，（米，（米，米，，米，米，在中，，米，（米，（米答：广告牌的高约8.4米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．21．（10分）经营者小明在直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为10元，当售价为每袋15元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋与销售单价（元之间的函数关系式；（2）求每天所得销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；（3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为5元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据“该类型口罩进价每袋为10元，当售价为每袋15元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出关于的函数关系式；（2）根据题意得到销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；（3）利用配方法将关于的函数关系式变形为，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）根据题意得，，销售量与销售单价之间的函数关系式为；（2），销售利润与销售单价之间的函数关系式；（3）根据题意得：，解得：，，，当时，随的增大而增大，，当时，最大，最大值为2000，销售单价定为20元时，所获利润最大，最大利润是2000元．【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．22．（10分）如图，抛物线分别与轴交于点，，与轴交于点，点为线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当时，求的值；（3）点是直线上的一个动点，将点向右平移5个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．【分析】（1）将，代入抛物线，解得，，即可求解；（2）先用待定系数法求得直线的解析式，再表示出，，当时，则，得到关于的方程，解得即可；（3）分当点在线段上时；当点在点的右侧时；当点在点的左侧时，分别计算即可．【解答】解：（1）将，代入抛物线，得，解得，抛物线的解析式为；（2）当时，，，设直线的解析式为：，将代入直线，得，解得，直线的解析式为：，，，，，，当时，则，，解得，（与点重合，舍去），的值为2；（3）①当点在线段上时，，的距离为5，而、的水平距离是4，此时只有一个交点，即，线段与抛物线只有一个公共点；②当点在点的右侧时，线段与抛物线没有公共点；③当点在点的左侧时，，抛物线的顶点为，，令，解得，，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，，即时，线段与抛物线只有一个公共点，综上，或．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，解一元二次方程，函数图象分析