高考数一轮复习 第十章 第五节 古典概型突破热点题型 文

第五节古典概型考点一简单古典概型的求法[例1](1)(·江西高考)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)(2)(·新课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)[自主解答](1)从A，B中各任意取一个数，共有6种取法，其中两数之和为4的是(2,2)，(3,1)．所以两数之和等于4的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)任取两个数共有6种取法，取出两个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)2种结果．所以概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).[答案](1)C(2)B【互动探究】在本例(1)中，若将“则这两数之和等于4的概率”改为“则这两数之和等于5的概率”，则结果如何？解：由原题知从A，B中各任意取一个数共有6种取法，其中两数之和等于5的是(2,3)，(3,2)，故其概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【方法规律】1．求古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．2．基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.(·重庆模拟)有编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6的6位同学，进行100米赛跑，得到下面的成绩：编号A1A2A3A4A5A6成绩(秒)12.212.411.813.111.813.3其中成绩在13秒内的同学记为优秀．(1)从上述6名同学中，随机抽取一名，求这名同学成绩优秀的概率；(2)从成绩优秀的同学中，随机抽取2名，用同学的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率．解：(1)由所给的成绩可知，优秀的同学有4名，设“从6名同学中随机抽取一名是优秀”为事件A，则P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)优秀的同学编号是A1，A2，A3，A5，从这4名同学中抽取2名，所有的可能情况是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)；设“这2名同学成绩都在12.3以内”为事件B，符合要求的情况有：(A1，A3)，(A1，A5)，(A3，A5)，所以P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).考点二较复杂古典概型的概率[例2](1)(·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)(2)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．①求此人被评为优秀的概率；②求此人被评为良好及以上的概率．[自主解答](1)记事件A为“甲或乙被录用”．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))仅有(丙，丁，戊)一种可能，则A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,10).故P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(9,10).(2)将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种．令D表示事件“此人被评为优秀”，E表示事件“此人被评为良好”，F表示事件“此人被评为良好及以上”，则①P(D)＝eq\f(1,10).②因为P(E)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，所以P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq\f(7,10).[答案](1)D【方法规律】求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1)甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝eq\f(4,9).(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).高频考点考点三古典概型与统计的综合应用1．古典概型与统计的综合应用，是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个命题角度：(1)由频率来估计概率；(2)由频率估计部分事件发生的概率；(3)求方差(或均值)等．[例3](·天津高考)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4,则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．[自主解答](1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为eq\f(6,10)＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).古典概型与统计综合应用的常见类型及解题策略(1)由频率来估计概率．利用频率与概率的关系来估计．(2)由频率来估计部分事件发生的概率．往往结合题设条件．注意事件的互斥、对立，利用概率的加法公式求解．(3)求方差(或均值)．结合题设中的数据、方差(或均值公式)求解．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)依据条件可知，轿车A、B的抽样，A类轿车抽样比为eq\f(10,100＋300).因此本月共生产轿车eq\f(400,10)×50＝2000(辆)．故z＝2000－(100＋300＋150＋450＋600)＝400(辆)．(2)设所抽取样本中有a辆舒适型轿车，由题意得eq\f(400,1000)＝eq\f(a,5)，则a＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．故P(E)＝eq\f(7,10)，即所求概率为eq\f(7,10).(3)样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝eq\f(3,4)，即所求概率为eq\f(3,4).————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————3种方法——基本事件个数的确定方法(1)列举法：(见本节考点一[方法规律])；(2)列表法：(见本节考点一[方法规律])；(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求.2个技巧——求解古典概型问题概率的技巧(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算；(2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互