高考数一轮复习 第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件突破热点题型 文

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考点一四种命题的关系[例1](1)命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是()A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[自主解答](1)因为“x＞1”的否定为“x≤1”，“x＞0”的否定为“x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题为：“若x≤1，则x≤0”．(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案](1)C(2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．解：逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题．【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．1．命题p：“若a≥b，则a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2012或a≤－b，则a≤b解析：选C“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜b”．2．(·湖州模拟)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题解析：选AA中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题.考点二命题的真假判断[例2](1)下列命题是真命题的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y)D．若x＜y，则x2＜y2(2)(·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④[自主解答](1)取x＝－1排除B；取x＝y＝－1排除C；取x＝－2，y＝－1排除D，故选A.(2)对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故②错误；对于③，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.[答案](1)A(2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．给出下列命题：①函数y＝sin(x＋kπ)(k∈R)不可能是偶函数；②已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a∈R，a≠0)，则数列{an}一定是等比数列；③若函数f(x)的定义域是R，且满足f(x)＋f(x＋2)＝3，则f(x)是以4为周期的周期函数；④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)．解析：①当k＝eq\f(1,2)时，y＝sin(x＋kπ)就是偶函数，故①错；②当a＝1时，Sn＝0，则an的各项都为零，不是等比数列，故②错；③由f(x)＋f(x＋2)＝3，则f(x＋2)＋f(x＋4)＝3，相减得f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，③正确；④过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故④错．综上所述，正确的命题只有③.答案：③高频考点考点三充要条件1．充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题．2．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．[例3](1)(·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(·四川高考)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|(3)给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．[自主解答](1)若x＝2且y＝－1，则x＋y－1＝0；反之，若x＋y－1＝0，x，y有无数组解，如x＝3，y＝－2等，不一定有x＝2且y＝－1，故选A.(2)eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)分别是与a，b同方向的单位向量，由eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，得a与b的方向相同．而a∥b时，a与b的方向还可能相反．故选C.(3)对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；对于④，由题意得eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(3)，若B＝60°，则sinA＝eq\f(1,2)，注意到b＞a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sinB＝eq\f(\r(3),2)，由于b＞a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.[答案](1)A(2)C(3)①④充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．1．(·西安模拟)如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若[x]＝[y]，则|x－y|＜1；反之，若|x－y|＜1，如取x＝1.1，y＝0.9，则[x]≠[y]，即“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1成立”的充分不必要条件．2．已知p：eq\f(1,x－1)<1，q：x2＋(a－1)x－a>0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(－2，－1]B．[－2，－1]C．[－3,1]D．[－2，＋∞)解析：选A不等式eq\f(1,x－1)<1等价于eq\f(1,x－1)－1<0，即eq\f(x－2,x－1)>0，解得x>2或x<1，所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化为(x－1)(x＋a)>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a>1时，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a<2，即－2<a<－1.综上可知a的取值范围为(－2，－1]．3．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0的根为x＝eq\f(4±\r(16－4n),2)＝2±eq\r(4－n)，因为x是整数，即2±eq\r(4－n)为整数，所以eq\r(4－n)为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．答案：3或4——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个区别——“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是