高考数一轮复习 第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积演练知能检测 文

第二节空间几何体的表面积和体积[全盘巩固]1．设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π)B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,2)解析：选D设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))2)＝eq\f(π,2).2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．1解析：选B根据该三视图可知，该几何体是三棱锥，V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×2＝eq\f(1,3).3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()A．24－eq\f(3π,2)B．24－eq\f(π,3)C．24－πD．24－eq\f(π,2)解析：选A据三视图可得该几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－eq\f(1,2)×π×12×3＝24－eq\f(3π,2).4．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95－\f(π,2)))cm2B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94－\f(π,2)))cm2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94＋\f(π,2)))cm2D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95＋\f(π,2)))cm2解析：选C该几何体的上下部分为长方体，中间部分为圆柱．S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×eq\f(1,2)×1－2×πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝94＋eq\f(π,2).5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是eq\f(32π,3)，那么这个三棱柱的体积是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)解析：选D如图设球的半径R，由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，得R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2，∴a＝4eq\r(3).∴V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).6．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是()A．24cm2B.eq\f(64,3)cm2C．(6＋2eq\r(5)＋2eq\r(2))cm2D．(24＋8eq\r(5)＋8eq\r(2))cm2解析：选D如图所示，依题意可知四棱锥P­ABCD是此几何体的直观图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAB与底面ABCD垂直，底面ABCD是正方形，△PAD≌△PBC，△PAB是等腰三角形，设M是AB的中点，N是CD的中点，连接PM、PN、MN，由题知PM＝AB＝4，MN＝4，则PN＝4eq\r(2)，故此几何体的表面积为S＝S正方形ABCD＋S△PAB＋2S△PBC＋S△PCD＝4×4＋eq\f(1,2)×4×4＋2×eq\f(1,2)×4×2eq\r(5)＋eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝(24＋8eq\r(5)＋8eq\r(2))cm2.7．(·新课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．解析：如图所示，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以OH＝eq\f(1,3)R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由题意得πr2＝π，则r＝1，故R2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)R))2，即R2＝eq\f(9,8).由球的表面积公式，得S＝4πR2＝eq\f(9π,2).答案：eq\f(9π,2)8．(·杭州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．解析：据三视图可知该几何体为四棱锥，其中底面为正方形，对角线长为10，四棱锥的高为5，故侧面高为h′＝eq\r(52＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2)＝eq\f(5\r(6),2)，因此表面积S＝eq\f(1,2)×4×5eq\r(2)×eq\f(5\r(6),2)＋eq\f(1,2)×10×10＝50(1＋eq\r(3))．答案：50(1＋eq\r(3))9．一个几何体的三视图如图所示，其中的长度单位为cm，则该几何体的体积为________cm3.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面直角梯形的上底为4cm，下底为5cm，高为3cm，四棱柱的高为4cm，所以该几何体的体积为eq\f(4＋5,2)×3×4＝54cm3.答案：5410.如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1­B1解：连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a.由题意得，VC1­B1EDF＝VB1­C1EF＋VD­C1EF＝eq\f(1,3)·S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3.11．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C所以S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).12.如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.记CD＝x，V(x)表示四棱锥F­ABCD的体积．(1)求V(x)的表达式．(2)求V(x)的最大值．解：(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，∴FA＝2，BD＝eq\r(4－x2)(0<x<2)，S▱ABCD＝CD·BD＝xeq\r(4－x2)，∴V(x)＝eq\f(1,3)S▱ABCD·FA＝eq\f(2,3)xeq\r(4－x2)(0<x<2)．(2)V(x)＝eq\f(2,3)xeq\r(4－x2)＝eq\f(2,3)eq\r(－x4＋4x2)＝eq\f(2,3)eq\r(－x2－22＋4).∵0<x<2，∴0<x2<4，∴当x2＝2，即x＝eq\r(2)时，V(x)取得最大值，且V(x)max＝eq\f(4,3).[冲击名校]1．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(\r(2),2)解析：选A由于三棱锥S­ABC与三棱锥O­ABC的底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S­ABC的高是三棱锥O­ABC高的2倍．所以三棱锥S­ABC的体积也是三棱锥O­ABC体积的2倍．在三棱锥O­ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，故VS­ABC＝2VO­ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).2.如图所示，动点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N两点．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析：选B显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，排除选项A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，排除选项D，选B.[高频滚动]1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选C侧视图是从图形的左边向右边看，看到一个矩形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.2