2025高考物理总复习用“动态圆”思想处理临界、极值问题

第十一章磁场第4课时专题强化：用“动态圆”思想处理临界、极值问题目标要求1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。2.会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界问题。内容索引考点一

“平移圆”考点二

“旋转圆”考点三

“放缩圆”课时精练><考点一“平移圆”适用条件粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝

如图所示

轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为

的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法例1

(2023·江苏南京市第二十九中学校考)如图所示，在直角三角形ABC内(包括边界)存在垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d；∠C＝

现垂直于AB边射入一簇质量均为m、电荷量均为q、速度相同的带正电粒子(不计重力)，已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为

下列判断正确的是A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0√返回“旋转圆”><考点二适用条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝

如图所示

轨迹圆圆心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝

的圆上

界定方法将一半径为R＝

的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法例2

如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间；由题意可知，沿x轴正方向出射的离子，经半圆到达N点，由此可得r＝a，可知通过M点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为60°，(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。例3如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v的带电粒子从BC边的中点O处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)，正三角形边长为L，粒子运动的轨道半径为

不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则A.该磁场的磁感应强度为B.该磁场的磁感应强度为C.在磁场中运动时间最长的粒子将从OB之间离开磁场D.粒子在磁场中运动的最长时间小于√粒子轨迹如图所示，由图可知，粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹与AC边相切，在磁场中运动时间最长的粒子将从AD之间离开磁场，C错误；返回“放缩圆”><考点三适用条件粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上

界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法例4

(2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为√例5如图所示，长方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，区域内的点O处有一粒子源，O点离ab边距离为0.25L，离bc边距离为L，粒子源以垂直指向dc边的速度方向向磁场内发射不同速率带正电的粒子，已知ab边长为2L、bc边长为L，粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是A.从ab边射出的粒子的运动时间均相同B.从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C.粒子有可能从c点离开磁场D.若要使粒子离开长方形区域，速率至少为√粒子的可能轨迹如图所示，可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故A错误；与cd边相切的粒子，轨迹如4，由几何关系知其轨迹半径为0.75L，其切点在c点左侧，故粒子不可能过c点，故C错误；返回课时精练1.(2023·江苏南通市期中)如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能的是√12345678910111234567891011粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。2.如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为

1234567891011√12345678910113.(2023·江苏泰州市靖江高级中学模拟)如图所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，半径为R，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场，恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°，要使电子从弧AD之间射出(不包括A、D两点)，电子从O点沿OC方向射入的初速度可能是(不计电子的重力)√1234567891011C.2v

D.3v12345678910114.如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力

则A.粒子在磁场中运动的半径为B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域C.粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为√12345678910111234567891011设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，由几何关系知AO＝2d，则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；12345678910115.边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD如图所示，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为A.2∶1 B.2∶3C.3∶2 D.√12345678910111234567891011画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径R＝L，从C点射出的粒子运动时间6.(2023·江苏新高考模拟预热卷)如图所示，边长为

的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m、电荷量为q。粒子发射速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是A.磁感应强度大小为B.磁感应强度大小为C.当粒子发射速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为D.当粒子发射速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为√1234567891011磁场垂直纸面向外，粒子恰好没有穿出磁场区域，因此粒子做圆周运动的直径等于过O点垂直于bc的线段长度，设垂足为d，由几何关系得Od＝123456789101112345678910117.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中虚线bc足够长，∠abc＝135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及粒子重力。以下说法正确的是A.从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等B.若从a点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长√1234567891011画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图甲所示。粒子入射的速度越大，其做圆周运动的半径越大，当粒子都从ab边射出，所用时间均为半个周期，用时相等；当粒子1234567891011从bc边射出时，速度越大，轨迹半径越大，圆心角越大，运动时间越长，故A、B错误；当粒子的速度足够大，半径足够大时，忽略ab段长度，运动情况可简化为如图乙所示，在直线边界磁场问题中，根据粒子运动轨迹的对称性，结合几何关系可知此时圆心角为α＝270°，可得粒子在磁场中运动的最长时间为

故C错误，D正确。8.如图所示，真空中垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边界)，两圆的半径分别为R、3R，圆心为O。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°。当将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v1∶v2至少为1234567891011√12345678910119.如图，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若B大小可调，下列说法正确的是1234567891011√D.粒子如果从AB边飞出，在磁场中运动的时间都相同带负电的粒子受到向右的洛伦兹力，则不可能从A点飞出，选项A错误；1234567891011粒子运动的轨迹只可能与BC相切，不可能从B点飞出，选项C错误；如图乙所示，粒子如果从AB边飞出，在磁场中运动的角度均为240°，但半径不相同，磁感应强度不相同，则运动的时间不相同，选项D错误。123456789101110.(2023·江苏无锡市检测)如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m，电荷量均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，

粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则1234567891011C.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长

时间与最短时间之比为9∶2D.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为1234567891011√12345678910111