专题41二项分布与超几何分布正态分布（原卷版）

专题41二项分布与超几何分布、正态分布№专题41二项分布与超几何分布、正态分布№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题41二项分布与超几何分布、正态分布命题解读命题预测复习建议二项分布与超几何分布、正态分布是高考出题的知识点之一，其中二项分布和超几何分布是离散型随机变量分布列，正态分布是连续型随机变量分布列，主要考查对分布列的认识和理解，在选择、填空中主要考正态分布，解答题中二项分布和超几何分布的比较多一些。预计2024年的高考对于二项分布与超几何分布、正态分布的出题比较灵活，难于掌握出题方向，重点还是要掌握基础知识。集合复习策略：1.掌握二项分布和超几何分布；2.了解正态分布的含义及其均值、方差。→➊考点精析←一、二项分布与超几何分布1.二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，2.超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=CMkCN-X01…mPCC…C其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.二、正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈(-∞，+∞)，其中实数μ(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交;

②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称;

③曲线在x=μ处达到峰值1σ④曲线与x轴之间的面积为1;

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图10-58-1①所示;

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中;σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(如图10-58-1②所示)

①②图10-58-1(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)=abφμ，σ(x)dx，正态分布的三个常用数据：P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827;

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545;

P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.

→➋真题精讲←1.（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．2．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．→➌模拟精练←1．（多选）（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量，下列说法中正确的是（

）A． B．期望C．期望 D．方差2．（2023·辽宁大连·统考三模）已知随机变量，且，则__________.3．（2023·江苏南通·三模）随机变量，则__________.4．（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，16），且，则（

）A．该校高二男生的平均身高是175cmB．该校高二男生身高的方差为4C．该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%D．从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等5．（多选）（2023·湖南郴州·统考三模）给出下列命题，其中正确的是（

）A．对于独立性检验的值越大，说明两事件相关程度越大.B．若随机变量，则C．若，则D．已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为，则新的回归方程为6．（多选）（2023·辽宁沈阳·统考三模）下列命题中正确的是（

）B．已知随机变量，且，则C．已知随机变量，则D．已知经验回归方程，则y与x具有负线性相关关系7．（2023·重庆·统考三模）已知随机变量，若，则______．8．（2023·浙江·校联考三模）已知随机变量服从正态分布，若，则_____________．9．（2023·福建泉州·统考三模）设随机变量，若，则____________．10．（2023·湖南岳阳·统考三模）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．11．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）App是英文Application的简称，现多指智能手机的第三方应用程序．随着智能手机的普及，人们在沟通、社交、娱乐等活动中越来越依赖于手机App软件．某公司为了了解其研发的App在某市的普及情况，进行了问卷调查，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）：经常使用偶尔或不用总计男性70100女性90100总计(1)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为该市市民经常使用该款App与性别有关；(2)将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用该款App的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差（该市参与调查的市民男女比例为1：1）．附：，其中．2.072(3)阅读下列材料，回答问题：以（2）中所求的概率为基准，如果从该市所有参与调查的市民中随机抽取100人赠送礼品，每次抽取的结果相互独立，记经常使用该款App的人数为，计算．材料：二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布，并且这两大分布的关系非常密切，经研究表明，如果一个随机变量X服从二项分布，当且时，二项分布就可以用正态分布近似替代，即，其中随机变量．参考数据：，，，．12．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表：体育项目第一项第二项第三项第四项第五项第六项学生人数14050300200800510未达标率未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值.假设所有体育项目是否达标相互独立.(1)从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率；(2)从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率；(3)假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“”表示第项体育运动项目达标，“”表示第项体育运动项目未达标.计算并直接写出方差的大小关系（不用写出计算过程）.→➍专题训练←1.､脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果､中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：)服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；. 2.已知随机变量服从正态分布，若，则的值为（）A．4 B．5 C．6 D．73.某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（）A．5 B．6 C．7 D．84.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（）A． B． C． D．5．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.(i)求的取值范围；(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.6，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；(2)若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.7．（2023·黑龙江大庆·统考三模）天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成，已经开启长期有人驻留模式，结合空间站的相关知识，某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练，训练内容由“太空发射”、“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成，训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习，并且学生间的选择互不影响，老师将班级学生分成四组，指定甲、乙、丙、丁为组长.(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率；(2)记X为这四个人中选择“太空发射”的人数，求X的分布列及数学期望；(3)如果班级有n个学生参与编程训练（其中n是能被5整除的正整数），则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少人？8．（2023·湖南郴州·统考三模）chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球.chatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.prompt数据，人工进行高质量的回答，获取<prompt，answer>数据对，帮助数学模型GPT-3.5更好地理解指令.第二阶段：训练奖励模型.用上一阶段训练好的数学模型，生成个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉熵损失函数得到：，其中，且.第三阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大的奖励以符合人工的选择取向.参考数