高中数学北师大版选修1-1学案第三章2导数的概念及其几何意义

学习目标1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理定义式eq\o(lim,\s\do7(x1→x0))eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝____________________记法实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的________________知识点二导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1割线PPn的斜率kn是多少？思考2当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？梳理(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为________的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________________________________________________________________.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)取极限，得导数f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).跟踪训练1利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．类型二求切线方程命题角度1求在某点处的切线方程例2已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．命题角度2曲线过某点的切线方程例3求抛物线y＝eq\f(1,4)x2过点(4，eq\f(7,4))的切线方程．反思与感悟过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)建立方程f′(x0)＝eq\f(y1－y0,x1－x0)；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练3求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b2．曲线f(x)＝eq\f(9,x)在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A．45°B．60°C．135°D．120°3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝________.5．求曲线y＝eq\f(1,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线方程．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学知识点一思考1平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)f′(x0)瞬时变化率知识点二思考1割线PPn的斜率kn＝eq\f(fxn－fx0,xn－x0).思考2kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)点P处(2)lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)(3)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)题型探究例1解∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx2＋4Δx,Δx)＝3Δx＋4，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(3Δx＋4)＝4.跟踪训练1解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－Δx2－Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(－Δx－1)＝－1.例2解(1)k＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4＋2Δx)＝4，∴点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.跟踪训练2－3解析eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2＋Δx2＋1－22－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4＋Δx)＝4，曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.例3解设切线在抛物线上的切点为(x0，eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0))，∵eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,4)x0＋Δx2－\f(1,4)x\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(eq\f(1,2)x0＋eq\f(1,4)Δx)＝eq\f(1,2)x0.∴eq\f(\f(1,4)x\o\al(2,0)－\f(7,4),x0－4)＝eq\f(1,2)x0，即xeq\o\al(2,0)－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，即切线过抛物线y＝eq\f(1,4)x2上的点(7，eq\f(49,4))，(1，eq\f(1,4))，故切线方程为y－eq\f(49,4)＝eq\f(7,2)(x－7)或y－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)(x－1)，化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，即为所求的切线方程．跟踪训练3解eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x＋Δx－x＋Δx3－2x＋x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.设切点坐标为(x0,2x0－xeq\o\al(3,0))．∴切线方程为y－2x0＋xeq\o\al(3,0)＝(2－3xeq\o\al(2,0))(x－x0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x0＋xeq\o\al(3,0)＝(2－3xeq\o\al(2,0))(－1－x0)，即2xeq\o\al(3,0)＋3xeq\o\al(2,0)＝0，∴x0＝0或x0＝－eq\f(3,2).∴切点坐标为(0,0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,8))).当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.当切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,8)))时，切线斜率为－eq\f(19,4)，切线方程为y＋2＝－eq\f(19,4)(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x－y＝0或19x＋4y＋27＝0.例4解因为f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2＋1－x\o\al(2,0)＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x0)＝2x0，g′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx3＋1－x\o\al(3,0)＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[(Δx)2＋3x0Δx＋3xeq\o\al(2,0)]＝3xeq\o\al(2,0)，k1＝2x0，k2＝3xeq\o\al(2,0)，因为切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即6xeq\o\al(3,0)＝－1，解得x0＝－eq\f(\r(3,36),6).引申探究解由例4知，f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)，k1＝2x0，k2＝3xeq\o\al(2,0)，由题意知2x0＝3xeq\o\al(2,0)，得x0＝0或eq\f(2,3).跟踪训练4解设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．∵eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3,Δx)＝3x2－4x，由题意可知k＝4，即3xeq\o\al(2,0)－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2，∴切点的坐标为(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))或(2,3)．当切点为(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))时，有eq\f(49,27)＝4×(－eq\f(2,3))＋a，a＝eq\f(121,27).当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.∴当a＝eq\f(121,27)时，切点坐标为(－eq\f(2,3)，eq\f(49,27))；当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．当堂训练1．C2.C3.D4.25．解因为eq\o(lim,\s\