2024-2025学年新教材高考数学课时跟踪检测三空间向量基本定理含解析选择性必修第一册

PAGEPAGE7课时跟踪检测（三）空间向量基本定理[A级基础巩固]1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))，则与a，b不能构成空间基底的是()A．eq\o(OA,\s\up7(→)) B．eq\o(OB,\s\up7(→))C．eq\o(OC,\s\up7(→)) D．eq\o(OA,\s\up7(→))或eq\o(OB,\s\up7(→))解析：选C∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a－b)，∴eq\o(OC,\s\up7(→))与a，b共面，∴a，b，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成空间基底．2．若向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满意下列关系(O是空间任一点)，则能使向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))成为空间一组基底的关系的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(MA,\s\up7(→))≠eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))C．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))D．eq\o(MA,\s\up7(→))＝2eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))解析：选CA中，因为eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，所以M，A，B，C共面；B中，eq\o(MA,\s\up7(→))≠eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))，但可能eq\o(MA,\s\up7(→))＝λeq\o(MB,\s\up7(→))＋μeq\o(MC,\s\up7(→))，所以M，A，B，C四点可能共面；D中，因为eq\o(MA,\s\up7(→))＝2eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))，所以M，A，B，C四点共面．故选C.3．在空间四点O，A，B，C中，若{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是()A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点中随意三点不共线解析：选B选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))构不成基底．4．四面体OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，点M在OA上，且eq\o(OM,\s\up7(→))＝2eq\o(MA,\s\up7(→))，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up7(→))为()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B.－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c D.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c解析：选Beq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.5．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO1,\s\up7(→))，eq\o(AO2,\s\up7(→))，eq\o(AO3,\s\up7(→))}为基底，eq\o(AC,\s\up7(→))′＝xeq\o(AO1,\s\up7(→))＋yeq\o(AO2,\s\up7(→))＋zeq\o(AO3,\s\up7(→))，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2解析：选Aeq\o(AC,\s\up7(→))′＝eq\o(AA,\s\up7(→))′＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA,\s\up7(→))′＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA,\s\up7(→))′＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))′＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))′＝eq\o(AO1,\s\up7(→))＋eq\o(AO3,\s\up7(→))＋eq\o(AO2,\s\up7(→))，由空间向量基本定理，得x＝y＝z＝1.6．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满意的条件是________．解析：若x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.答案：x＝y＝z＝07．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________；y解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝2λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))答案：2－28．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，A1C1与B1D1的交点为E，则eq\o(BE,\s\up7(→))＝________.解析：如图，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1E,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(B1C1,\s\up7(→))＋eq\o(B1A1,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.答案：－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c9．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up7(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．解：(1)如图，eq\o(D1B,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(a－c)．(2)eq\o(D1F,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(D1B,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(D1B,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.10.如图所示，已知四面体ABCD的各棱和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．解：(1)证明：设eq\o(AB,\s\up7(→))＝p，eq\o(AC,\s\up7(→))＝q，eq\o(AD,\s\up7(→))＝r，由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量的两两夹角均为60°.eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)·p＝eq\f(1,2)(p·q＋p·r－p2)＝eq\f(1,2)(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0，∴eq\o(MN,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，即MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.(2)由(1)可知eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，∴|eq\o(MN,\s\up7(→))|2＝eq\f(1,4)(q＋r－p)2＝eq\f(1,4)[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2＋a2＋a2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)－\f(a2,2)－\f(a2,2)))))＝eq\f(1,4)×2a2＝eq\f(a2,2)，∴|MN|＝eq\f(\r(2),2)a，∴MN的长为eq\f(\r(2),2)a.[B级综合运用]11．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D依据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．明显②正确．③中由eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，知eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))共面．又eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a，b共面，与条件冲突，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.12．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________.解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋γ＝1，,α＋β＝2，,γ＋β＝3，))故有α＋β＋γ＝3.答案：313．如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))}为基底，则eq\o(GE,\s\up7(→))＝________.解析：如图，连接AG延长线交BC于点M，连接AE，则eq\o(GE,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→)).答案：－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))14.如图，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c.(1)用a，b，c分别表示向量eq\o(DM,\s\up7(→))，eq\o(CN,\s\up7(→))；(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值．解：(1)eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))]＝eq\f(1,2)[(a－c)＋(b－c)]＝eq\f(1,2)(a＋b－2c)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\o(AM,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝\f(1,2)a＋b－2c))eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))－eq\o(AC,\s\up7(→))]＝eq\f(1,2)[(a－b)－b]＝eq\f(1,2)(a－2b)．(2)设正四面体的棱长为1，即|a|＝|b|＝|c|＝1且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝eq\f(π,3)，则|eq\o(DM,\s\up7(→))|＝|eq\o(CN,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(3),2).又eq\o(DM,\s\up7(→))·eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(a＋b－2c)·(a－2b)＝eq\f(1,4)(a2＋a·b－2a·c－2a·b－2b2＋4b·c)＝－eq\f(1,8)，∴cos〈eq\o(DM,\s\up7(→))，eq\o(CN,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(DM,\s\up7(→))·eq\o(CN,\s\up7(→)),|eq\o(DM,\s\up7(→))||eq\o(CN,\s\up7(→))|)＝eq\f(－\f(1,8),\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝－eq\f(1,6)，∴异面直线DM与CN所成角的余弦值为eq\f(1,6).[C级拓展探究]15.在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．(1)求证：DE∥平面ACF；(2)求证：BD⊥AE；(3)若AB＝eq\r(2)CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出eq\f(EG,EO)的值；若不存在，请说明理由．解：设eq\o(CB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CD,\s\up7(→))＝b，eq\o(CE,\s\up7(→))＝c，则|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)证明：依题意得eq\o(DE,\s\up7(→))＝c－b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c，设eq\o(DE,\s\up7(→))＝xeq\o(CA,\