新教材2025版高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和学生用书新人教A版选择性必修第二册

第1课时等差数列的前n项和【课标解读】1.驾驭等差数列前n项和公式的推导方法．2．驾驭等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．3．驾驭等差数列的前n项和的简洁性质．新知初探·课前预习——突出基础性【教材要点】要点一等差数列的前n项和公式❶(1)Sn＝na1(2)Sn＝________________．批注❶两个公式均为等差数列的求和公式，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．通常已知其中三个，可求其余两个，而且方法就是解方程(组)，这也是等差数列的基本问题形式之一．批注❷用此公式时，有时要结合等差数列的性质，如a1＋an＝ak＋an－k＋1，从而有Sn＝na要点二等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列Snn也是等差数列，且公差为(2)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.【夯实双基】1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加.()(2)知道等差数列的首项、公差与前n项和可求项数n.()(3)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．()(4)数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，则S2，S4，S6成等差数列．()2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9＝()A．45B．52C．108D．543．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，则a5＝()A．10B．13C．15D．184．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则S12＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1等差数列前n项和的基本计算例1在等差数列{an}中，(1)已知a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.[听课记录]【方法总结】等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值(2)利用等差数列的性质解题巩固训练1(1)[2024·河北沧州高二期末]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－4，S5＝0，则a1＝()A．－8 B．－4C．4 D．8(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝1，{an}的前n项和为Sn，若S7＝42，则公差d＝________．题型2等差数列前n项和性质的应用例2(1)[2024·山东淄博试验中学高二月考]等差数列{an}，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对随意正整数n都有SnTn＝(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30.[听课记录]【方法总结】等差数列前n项和计算的三种方法巩固训练2(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4a6＝22A．1 B．－1C．2 D．1(2)[2024·河北邯郸高二期末]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝1，a10＋a11＋a12＝7，则S102＝()A．67 B．1122C．1156 D．11904．2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和新知初探·课前预习[教材要点]要点一na1＋nn[夯实双基]1．(1)√(2)√(3)√(4)×2．解析：S9＝9a1+答案：D3．解析：由题意得a1+d=4，4a1+6d=22，解得a1故选B.答案：B4．解析：∵数列{an}为等差数列，∴S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，∴2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，解得：S12＝36.答案：36题型探究·课堂解透例1解析：(1)由题意得，Sn＝na1+an又a15＝56＋(15－1)d＝－3∴d＝－16.∴n＝15，d＝－1(2)由已知得S8＝8a1+a82又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，∴a解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.巩固训练1解析：(1)设等差数列{an}公差为d，由S5＝5a1+a52＝5a3＝0得：a3＝0；又a5＝∴2d＝a5－a3＝4，∴a1＝a3－2d＝0－4＝－4.故选B.(2)由题意，数列{an}为等差数列，且a3＝1，S7＝42，可得a1+2d=17a1答案：(1)B(2)5例2解析：(1)由题意得：S9＝9a1+a92＝9a5，同理可得：T9＝9b1+b92(2)方法一：设数列{an}的公差为d，由已知，得10解得a∴S30＝30×4＋12方法二：∵数列{an}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1220－310)＝310＋S30－1220，∴S30＝2730.(方法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．由题意，得310=100A+10B，1220=400A+20B∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2730.(方法四)由Sn＝na1＋nn-得Snn＝a1＋(n－1)∴Snn是以a1为首项，∴S10∴S1010+∴S30＝30(S20答案：(1)1725巩固训练2解析：(1)因为a4a6所以S7S11＝a1+a7故选C.(2