高中数学图像及公式

初等函数的图形

幕函数的图形

对数函数的图形

三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sina,cscacosa,secatana,cota

三角函数的性质

函数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

{x1x£R且(x1x£R旦

定义域

RRx/kn,k£Z}

xRkn+多k£Z}

[-1,1][-14]

x=2kn时yax=l

x=2kn+y时yx=lm

max=2kn+n时RR

值域无最大值无最大值

ymin=-l

x=2kn-y时yin=-l无最小值无最小值

mkeZ

kez

周期性周期为2n周期为2n周期为n周期为n

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

在[2kn-n,2kn]

在[2kn--,2kn+-]

22上都是增函数；在(kn,kn+n)

在(kn《，kn+y)

上都是增函数；在[2kn,2kn+n]内都是减函

单调性上都是减函数内都是增函数数(k£Z)

在2kn+工2kn+—nJ

2z2(k《Z)(g)

上都是减函数(k6Z)

反三角函数的图形

反三角函数的性质

名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数

y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

（xe[O,n]）的

（X呜亭）（xe（-工，-）（Xe（o,n））

反函数，叫做22的反函数，叫做

定义的反函数，叫做反余弦函数，的反函数，叫做反余切函数，

反正弦函数，记作=arccosy反正切函数，记作记作x=arccoty

记作x=arsinyx=arctany

arcsinx表示属于arccosx表示arctanx表示属于arccotx表示属

属于[0,n],（二二），且正切于（0,m且余切

理解22且余弦值等于值等于X的角

且正弦值等于XX的角值等于X的角

的角

定义域[-1,1][-1，1]-00,+oo)(-00,4-00)

值域-][0，n：(0,II)

22'21'

性在（-1,1）上是在E-1,1]上在（-00,+00）上是增在《8,+8）上

质单调性

增函数是减函数数是减函数’

arcsin(-x)=arccos(-x)=arctan(-x)=arccot(-x)=

奇偶性-arcsinxn-arccosx-arctanxn-arccotx

奇函数非奇非偶奇函数非奇非偶

周期性都不是同期函数

sin(arcsinx)=xcos(arccosx)=tan(arctanx)=xcot(arccotx)=x

(XG[-1,1])X(xGL-1,11)(x£R)(xwR)

arcsin(sinx)=xarccos(cosx)=arctan(tanx)=xarccot(cotx)=x

恒等式

x(xG[0,n])(xw(o,m)

(xdC-pyl)(xe(-f,f))

互余兀Jl

arcsinx+arccosx=y(xe[-1,1])arctanx+arccotx=§(x£R)

恒等式

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tanA+tanB

tan(A+B)=

1-tanAtanB

tanA-tanB

tan(A-B)=

1+tanAtanB

cotAcotB-1

cot(A+B)=

cotB+cotA

cotAcotB+1

cot(A-B)=

cotB-cotA

倍角公式

Sin2A=2SinA*CosA

Cos2A=Cos12A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

半角公式

1-cosA

tan—=

1+cosA

1+cosA

2V1-cosA

A1-cosAsinA

tan—=—；-------=-------------

2sinA1+cosA

三倍角公式

sin3A=3sinA-4(sinA)°

cos3A=4(COSA)3-3COSA

tan3a=tana•tan(y+a)•tan(--a)

附推导过程：

sin3a=sin(2a+a)

=sin2a,cosa+cos2a•sina

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a=cos(2a+a)

=cos2a•cosa-sin2a•sina

=(2cosa-l)cosa-2(l-cosa)cosa

=4cos3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin3a

=4sina(3/4-sin2a)

=4sina[(,V3/2)2-sin2a]

=4sina(sin2600-sin2a)

=4sina(sin60o+sina)(sin600-sina)

=4sina•2sin[(60°+a)/2]cos[(60°-a)/2]•2sin[(600-a)/2]cos[(60°+a)/2]

=4sina•sin(60°+a)-sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa[cos2a-(^3/2)2]

=4cosa(cos2a-cos2300)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos300)

=4cosa-2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]•{-2sin[(a+30o)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosa•sin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosa•sin[90o-(600-a)]sin[-90o+(60°+a)]

—4cosa•cos(60°-a)[-cos(600+a)]

=4cosa,cos(60°-a)•cos(600+a)

上述两式相比可得

tan3a=tana,tan(60°-a)•tan(600+a)

和差化积

a+ba-b

sina+sinb=2sincos

2

..i八a-\-b.a-b

sina-sinb=2cos-------sin--------

22

ica+ba-h

cosa+cosb=2cos-------cos--------

22

i八.a+/7.a-b

cosa-cosb=-2sin-------sin--------

22

.sin(〃+Z?)

tana+tanb=--------------

cos6(cos/?

积化和差

sina•sinb=[cos(a+b)-cos(a-b)]

cosa•cosb=；[cos(a+b)-+-cos(a-b)]

sina•cosb=g[sin(a+b)+sin(a-b)]

cosa•sinb=—[sin(a+b)-sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a)="sina

cos(-a)=cosa

sin(——a)=cosa

cos(——a)=sina

sin(—+a)=cosa

cos(—+a)=-sina

sin(7c-a)=sina

cos(7i-a)="cosa

sin(7t+a)=-sina

cos(7t+a)=-cosa

sma

tga=tana=

cosa

万能公式

2tan—

.2

sina=--------------

l+(tan£)2

l-(tan^)2

cosa=--------------

l+(tan；)2

-a

2tan—

7

tana=--------------

1-(tan；)2

其它公式

aesina+becosa=^/(a2+b2)*sin(a+c)[其中tanc=—]

a

a*sina-b*cosa=J(a2+b2)*cos(a-c)[其中tanc=—]

b

、aa,99o

l+sina=(sin—+cos—)sina+cosa=l1+tana=seca1+cota=csca

1-sina=(sin-cosg)2tanaecota=1secaecosa=1cscaesina=1

其他非重点三角函数

1

csca=———

sina

1

seca=------

cosa

双曲函数

ea-e'ae-a4.-e——a

sinh(a)=―--cosh(a)=

2

sinh(tz)

tgh(a)=

cosh(6f)

公式一

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kn+a)=sina

cos(2k7t+a)=cosa

tan(2k7i+a)=tana

cot(2k7i+a)=cota

公式二

设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:

sin(7i+a)=-sina

cos(兀+a)=-cosa

tan(71+a)=tana

cot(71+a)=cota

公式三

任意角a与-a的三角函数值之间的关系：

sin(-a)=-sina

cos(-a)=cosa

tan(-a)=-tana

cot(-a)="cota

公式四

利用公式二和公式三可以得到兀-a与a的三角函数值之间的关系:

sin(71-a)=sina

cos(7i-a)=-cosa

tan(7i-a)="tana

cot(71-a)="cota

公式五

利用公式-和公式三可以得到2兀-a与a的三角函数值之间的关系:

sin(2n-a)="sina

cos(2兀-a)=cosa

tan(2兀-a)="tana

cot(2兀-a)=-cota

公式六

尹及铮a与a的三角函数值之间的关系：

71、

sin(z一+a)=cosasin(--a)=cosa

22

7C、.

cos(—+a)=-sinacos(——a)=sina

22

tan(一+a)="cotatan(--a)=cota

22

cot(一+a)=-tanacot(—・a)=tana

22

34、

sin(—+a)="cosasin(-----a)=-cosa

22

3兀、.

cos(—+a)=sinacos(-----a)=-sina

22

/3万、

tan(——+a)=-cotatan(-----a)=cota

22

/3万、

cot(——+a)=-tanacot(--a)=tana(以上k£Z)

2

A,sin(3t+0)+Besin(cot+(p)

f72—^2―----7^―；.&t+arcsin[(Asin0+Bsin。)

=y]A~+B+2ABcos((9•(p)«sin/"''

'yjA2+B2+2ABcos(0-(p)

乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|<|a|+|b|

|a-b|<|a|+|b|

|a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|

-|a|<a<|a|

一元二次方程的解

-b+Vb2-4ac-b-Vb2-4ac

2a2a

根与系数的关系(韦达定理)

X]+X2=-b/a

X|*X2=c/a

判别式b2-4ac=0注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0注：方程有一一个实根

b2-4ac<0注：方程有共朝复数根

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理

b2=a2+c2-2ac»cosB注：角B是边a和边c的夹角

某些数列前n项和

n(n+l)

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=~~<-

2

1+3+5+7+9+11+13+15+...+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+1)

l2+22+32+42+52+62+72+82+...+n2=n(n+1)(2n+

6

l3+23+33+43+53+63+...n3=n2(n+ir

4

n(n+l)(n+2)

1X2+2X3+3X4+4X5+5X6+6X7+...+n(n+1)=——-------L

正切定理

[(a+b)/(a-b)]={[tan(a+b)/2]/[tan(a-b)/2]}

附过程(a-b)/(a+b)

=(a/b-l)/(a/b+l)

=(sinA/sinB-l)/(sinA/sinB+1)

=(sinA-sinB)Z(sinA+sinB)

=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]/{2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]}

=tg[(A-B)/2]/tg[(A+B)/2]

圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2ii：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程

y2=2pxy^-Zpxx2=2pyx2=-2py

直棱柱侧面积

S=c»hc为底面周长，h为侧棱长.

斜棱柱侧面积

S=c'«hc，为直截面的周长，h为侧棱长.

正棱锥侧面积

S=-c-h'c为底面周长，1T为侧面的高线长.

2

正棱台侧面积

S=g(c+c>c、c，为上下底面的周长，H为侧面的高线长.

圆台侧面积弧长公式

S=；(c+c')/=兀(R+r)/l=a-ra是圆心角的弧度数r>0

扇形面积公式

c、c，为上下底面的周长，/为母线长.