高中数学第二章平面向量2.2.2向量的减法学案（含解析）北师大版必修4

2．2向量的减法考纲定位重难突破1.理解向量减法的法则及其几何意义．2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差.重点：1.向量的减法法则．2.向量的减法的几何意义．难点：向量的减法法则的应用及对几何意义的理解.授课提示：对应学生用书第38页[自主梳理]1．相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝－a＋a＝0；(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.2．向量的减法(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如图所示．(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．[双基自测]1．在四边形ABCD中，则eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A.eq\o(DB,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))解析：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).答案：D2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(FD,\s\up6(→)) B.eq\o(FC,\s\up6(→))C.eq\o(FE,\s\up6(→)) D.eq\o(BE,\s\up6(→))解析：由于D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，因此，eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，故选D.答案：D3．下列四个式子中可以化简为eq\o(AB,\s\up6(→))的是()①eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))；②eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))；④eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)).A．①④ B．①②C．②③ D．③④解析：因为eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以①正确，排除C，D；因为eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以④正确，排除B，故选A.答案：A授课提示：对应学生用书第38页探究一向量减法的几何作用[典例1]如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－b，b－a，－a－b.[解析](1)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a(如图①)．(2)对于－a－b，有下列两种作法：作法一：作eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a－b(如图②)．作法二：作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，再以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边作▱OACB，则eq\o(CO,\s\up6(→))＝－a－b(如图③)．向量减法的实质是加法的逆运算，利用相反向量的定义就可以把减法化为加法．在用三角形法则进行向量的减法运算时，只要记住：连接两向量终点，箭头指向被减向量即可．1．作图：(1)如图①，已知向量a和a＋b，求作b；(2)如图②，已知向量b和b－a，求作a.解析：(1)取平面内任一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，连接AB，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b为所求(图①)．(2)在平面内任取一点O，作eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以B为终点，再作eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，连接OA，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝a为所求(图②)．探究二向量减法的运算[典例2]化简：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．[解析]解法一(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.解法二(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.解法三设O为平面内任意一点，连接OA，OB，OC，OD，则(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－Beq\o(D,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.向量加减运算主要有两种解法：一是直接利用向量加减运算法则；二是引入点O，将各向量统一用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))等表示，然后进行化简．2．对于菱形ABCD，给出下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；②|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|；③|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|；④|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由菱形的性质，可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|，|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|，即③正确；因为|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，|eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.答案：C探究三向量加减法综合问题[典例3]已知O为平行四边形ABCD内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(OD,\s\up6(→)).[解析]解法一如图所示，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝a＋c－b.解法二eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋0.＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝a＋(－b＋a)＝a－b＋c.(1)关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．(2)用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果．3．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，求证：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.证明：(1)如图，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|.在△ACM中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－b.于是由|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|，得|a－b|＝|a|.(2)eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＝a－b，在△MCB中，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)．从而由|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|，得|a＋(a－b)|＝|b|.向量加减法的几何意义应用中的误区[典例]已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0[解析]因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝0，故A成立．