高中数学第二章解三角形3解三角形的实际应用举例基础训练（含解析）北师大版必修

解三角形的实际应用举例基础过关练题组一测量距离问题1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A同侧的河岸边选定一点C,测出A、C间的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为()3m2m2mD.25222.(2020河北邢台高一下期中)轮船甲和轮船乙在上午11时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为135°,两船的航行速度分别为25千米/时、202千米/时,则当天下午1时两船之间的距离为 ()95千米97千米千米101千米3.如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向进行海面巡逻,当航行半小时到达B处时,发现北偏西45°方向有一艘船C,若船C位于A的北偏东30°方向上,则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A.5(6+2)kmB.5(6-2)kmC.10(6-2)kmD.10(6+2)km4.(2019广东东莞高二期末)如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20千米至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 ()6千米6千米C.10(1+3)千米千米5.如图,某河段的两岸可视为平行的,为了测量该河段的宽度,在河岸的一边选取两点A,B,观察对岸的点C,测得∠CAB=75°,∠CBA=45°,且AB=100m,则该河段的宽度为m.

6.湖中有一小岛C,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车行驶到A处时,测得小岛在南偏西15°方向,汽车向南行驶1km后到达B处,又测得小岛在南偏西75°方向,求小岛到公路的距离.题组二测量高度问题7.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=200米,点C位于BD上,则山高AB等于 ()2米B.50(3+1)米C.100(3+1)米米8.(2021河南郑州高三段考)“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》,鹳雀楼位于今山西省永济市,该楼共三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°,沿直线前进79米到达E点,此时看点C的仰角为45°,若BC=2AC,则楼高AB约为(结果保留整数) (深度解析)米米米米9.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点,若测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 ()2mm0002m000m10.如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为 ()m3m3mm题组三测量角度问题11.有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6m,下底长为10m,高为23m,那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为 ()A.33,60°B.3,60C.3,30°D.33,3012.(2020天津静海第一中学高一下调研)若点A在点C的北偏东60°方向上,点B在点C的南偏东30°方向上,且AC=BC,则点A在点B的 ()A.北偏东15°方向上B.北偏西15°方向上C.北偏东10°方向上D.北偏西10°方向上13.如图所示,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD= ()°°°°14.甲船在A处发现乙船在其北偏东60°方向上的B处,乙船正在以akm/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是3akm/h,则甲船应沿着哪个方向前进,才能最快与乙船相遇?能力提升练一、选择题1.(2019宁夏银川一中高三月考,)某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行15km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是()km2km3kmkm2.(2019陕西西安一中高二月考,)一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°角的方向航行,已知水流速度为2km/h,则经过3h该船的实际航程为 ()3kmkmkm3km3.()某同学家住8楼,距地面高约20m,在该楼前的建筑工地上有一座塔吊,该同学在家测得塔吊顶的仰角为60°,塔吊底的俯角为45°,那么该塔吊的高度是 ()1+33mB.20(1+C.10(2+6)mD.20(2+6)m4.(2020福建莆田一中高一下期末,)如图所示,隔河可以看到对岸两目标A,B,但不能到达,现在岸边取相距4km的C,D两点,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),则两目标A,B之间的距离为 ()A.853kmB.4C.2153km5二、填空题5.()一艘海警船从港口A出发,以每小时40千米的速度沿南偏东40°方向直线航行,30分钟后达到B处,这时候接到从C处发出的求救信号,已知C在B的北偏东65°,港口A的南偏东70°处,那么B,C两点的距离是千米.

6.(2020广东佛山一中高一下期中,)某校在百年校庆活动上要举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,测得第一排和最后一排的距离为86米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上,则旗杆的高度为米.

三、解答题7.()如图,有一段河流,河的一侧是圆心为O,半径为103米的扇形区域OCD,河的另一侧是一段笔直的河岸l,岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离),且OB的连线恰好与河岸l垂直,设OB与CD的交点为E.经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面,在点C,点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°,30°和60°.(1)求烟囱AB的高度;(2)如果要在C、E间修一条直路,求CE的长.8.()如图1,在路边竖直安装路灯,路宽为OD,灯柱OB长为h米,灯杆AB长为1米,且灯杆与灯柱成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,其轴截面的顶角为2θ,灯罩轴线AC与灯杆AB垂直.(1)设灯罩轴线与路面的交点为C,若OC=53米,求灯柱OB的长;(2)设h=10米,若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点O,另一条与地面的交点为E,如图2,求cosθ的值及该路灯照在路面上的宽度OE的长.答案全解全析§3解三角形的实际应用举例基础过关练1.B∵在△ABC中,∠ACB=45°,∠CAB=105°,∴∠B=30°.由正弦定理,得ABsin∠ACB=∴AB=AC·sin∠ACBsinB=2.B设轮船甲、乙在下午1时所处的位置分别为A和B,由题可知CA=50千米,CB=402千米,∠ACB=135°,则AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos∠ACB=502+(402)2-2×50×402×-22=9700,故AB=10973.C由题意,得∠BAC=60°-30°=30°,∠ABC=30°+45°=75°,∠ACB=180°-75°-30°=75°,∴AC=AB=40×12=20(km).由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC=202+202-2×20×20×cos30°=800-4003=400(2-3∴BC=400(2-3)=200(3-1)4.B由题意可知CD=20千米,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,∴∠CAD=45°,∠ADB=60°.在△ACD中,由正弦定理得ADsin30°=20sin45°,∴AD在Rt△BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∴BD=2CD=202(千米).在△ABD中,由余弦定理得AB=200+800=106(千米).故选B.5.答案50解析∵∠CAB=75°,∠CBA=45°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°.由正弦定理得ABsin∠ACB=∴BC=ABsin75如图,过点B作BD垂直于河岸,垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度.在Rt△BDC中,∵∠BCD=∠CBA=45°,sin∠BCD=BDBC∴BD=BCsin45°=ABsin75°sin60°·sin45°=100×6+24326.解析如图,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1km.由正弦定理得BCsin∠CAB=ABsin∠ACB,所以BC=sin15°sin60°=6-223(km).设C到直线AB的距离为d,则d=BCsin75°=7.C设AB=h米,在Rt△ACB中,∠ACB=45°,所以BC=AB=h米.在Rt△ABD中,∠D=30°,所以BD=3h米.又BD-BC=CD,即3h-h=200,解得h=2003-1=100(8.答案B信息提取①∠ADB=30°,∠CEB=45°,DE=79米;②BC=2AC;③求AB的长.数学建模以测量楼高为背景,构建解三角形模型,借助图形求出相应的边与角,再利用解直角三角形知识求解.设AC的高度为x米,在直角三角形中分别用x表示出BE,BD,由DE=79米可列出关于x的方程,求出x即得楼高.解析设AC的高度为x米,则由已知可得AB=3x米,BC=BE=2x米,则在Rt△ABD中,BD=ABtan∠ADB=33x所以DE=BD-BE=33x-2x=79(米),解得x=7933-2,所以楼高AB=3×793方法技巧在解三角形问题中,要重视方程思想的运用.将某边或某角设为未知数,利用正弦、余弦定理将其他的边或角用未知数表示,寻找等量关系列方程,通过解方程求出相应的边或角,这是解三角形问题中常用的解题策略.9.D由题图可知,∠BSA=360°-75°-150°=135°,又∠SAB=45°-30°=15°,∴∠ABS=30°.在△ABS中,ASsin30°=∴AB=AS·sin135=10002(m),∴BC=AB·sin∠BAC=10002·sin45°=1000(m).10.A∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=45°,∴AC=2AB=2002m,又∠MCA=180°-60°-45°=75°,∠MAC=15°+45°=60°,∴∠AMC=45°,在△AMC中,MCsin∠MAC=∴MC=2002sin60°∴MN=MCsin∠MCN=2003×sin60°=300(m).11.B如图所示,横断面是等腰梯形ABCD,AB=10m,CD=6m,高DE=23m,∴AE=AB-CD2=2(m),∴tan∠DAE=DEAE=232=12.A由题意,作图如下:则∠CBE=30°,∠ABC=45°,所以∠ABE=15°,故点A在点B的北偏东15°方向上.13.B依题意可得AD=202+602=2010(m),AC又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理的推论得cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC·AD=(305)2+(2010)2-50214.解析如图所示,设经过th两船在C点相遇.在△ABC中,BC=atkm,AC=3atkm,B=180°-60°=120°.由BCsin∠CAB=得sin∠CAB=BCsinBAC=at∵0°<∠CAB<60°,∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°,即甲船应沿北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.能力提升练一、选择题1.C如图所示,在△ABC中,AC=15km,∠BAC=60°-30°=30°,∠BCA=90°-60°=30°,所以AB=BC.在△ABC中,由余弦定理的推论得cos∠BCA=BC2+AC2-AB22BC·AC,即32=12.C如图,设水流速度与船速度的合速度为v,在△OAB中,A=60°,OA=2km,AB=4km,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos60°=22+42-2×2×4×12∴OB=23km,∴v=23km/h,即船的实际速度为23km/h,则经过3h该船的实际航程为23×3=6(km).3.B如图所示,∠ADE=60°,∠BDE=45°,DE⊥AB,BE=CD=20.在△BDE中,DE=BE=20,在△AED中,AE=DEtan∠ADE=203,则AB=AE+EB=20(3+1).故所求塔吊的高度为20(3+1)m.4.B由已知,得∠CAD=30°,∠ACD=120°,由正弦定理,得CDsin∠CAD=所以AD=CD·sin∠ACDsin∠CAD=4·sin120°sin30°=43由正弦定理,得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD,所以BD=CD·在△ABD中,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=803,所以AB=4153所以A与B之间的距离为4153二、填空题5.答案102解析如图所示,由已知可得∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,所以∠ACB=45°,AB=40×0.5=20(千米),所以BC=ABsin45°×sin30°=102(千米6.答案24解析如图,由题意得BC=86米,∠ABC=180°-60°-15°=105°,∠ACB=30°+15°=45°,所以∠BAC=180°-105°-45°=30°,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC=86sin30°=166,所以AB=166sin∠ACB=166在Rt△ABD中,AD=AB·sin60°=163×32=24(米)故旗杆的高度为24米.三、解答题7.解析(1)设AB的高度为h米,在Rt△CAB中,因为∠ACB=45°,所以CB=h米.在