2025版新教材高中数学第六章概率4二项分布与超几何分布4.1二项分布课时作业北师大版选择性必修第一册

4．1二项分布必备学问基础练学问点一二项分布的概率计算1.在竞赛中，假如运动员A胜运动员B的概率是eq\f(2,3)，假设每次竞赛互不影响，那么在五次竞赛中运动员A恰有三次获胜的概率是()A．eq\f(10,243)B．eq\f(80,243)C．eq\f(110,243)D．eq\f(20,243)2．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq\f(7,16)，则P(Y＝2)＝________．3．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个红绿灯，他在各个红绿灯处遇到红灯与否是相互独立的，并且每次遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，假设他只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进．(1)设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列；(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．学问点二二项分布的均值与方差4.射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是()A．2.1B．2C．0.9D．0.635．设随机变量X～B(100，0.2)，随机变量Y＝2X＋1，则EY＝________，DY＝________．关键实力综合练一、选择题1．已知ξ～B(3，eq\f(1,3))，则P(ξ＝2)＝()A．eq\f(16,143)B．eq\f(47,72)C．eq\f(3,79)D．eq\f(2,9)2．随机变量X的分布列如表所示．X01Pp1－p若DX＝eq\f(p,3)(0＜p＜1)，则p＝()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,2)3．在4次独立重复试验中，事务A发生的概率相同，若事务A至少发生1次的概率为eq\f(65,81)，则事务A在一次试验中发生的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(5,6)D．eq\f(3,4)4．甲、乙两队参与乒乓球团体竞赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，竞赛时均能发挥正常水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为()A．Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(eq\f(3,5))3×eq\f(2,5)B．Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(eq\f(3,5))2×eq\f(2,3)C．Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))(eq\f(3,5))3×eq\f(2,5)D．Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))(eq\f(2,3))3×eq\f(1,3)5．在平面直角坐标系中，位于原点的一个质点P按下列规则移动：质点P每次移动一个单位长度，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为eq\f(1,3)，向右移动的概率为eq\f(2,3)，则质点P移动五次后位于点(1，0)的概率是()A．eq\f(4,243)B．eq\f(8,243)C．eq\f(40,243)D．eq\f(80,243)6．[易错题]小明与另外2名同学进行“手心手背”嬉戏，规则：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分．现3人共进行了4次嬉戏，记小明4次嬉戏得分之和为X，则X的数学期望为()A．1B．2C．3D．4二、填空题7．关于n重伯努利试验的说法：①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果之一；③每次试验发生的机会是均等的；④各次试验发生的事务是互斥的．其中正确说法的序号是________．8．某批花生种子，假如每1粒发芽的概率均为eq\f(4,5)，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是________．9．[探究题]抽奖箱中有15个形态一样，颜色不一样的乒乓球(2个红色，3个黄色，其余为白色)，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖．有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的数学期望是________，方差是________．三、解答题10．网上购物逐步走进高校生活，某高校生宿舍4人主动参与网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地匀称的骰子确定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参与者必需从淘宝网和京东商城选择一家购物．(1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X＝ξη，求随机变量X的分布列和期望EX.学科素养升级练1．[多选题]某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.若他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，则下列结论正确的是()A．他第3次射击时才击中目标的概率是0.12×0.9B．他第3次射击时才击中目标的概率是Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×0.9×0.12C．他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1D．他恰好击中目标3次的概率是Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×0.93×0.12．口袋中放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸取红球，,1，第n次摸取白球．))假如Sn为数列{an}的前n项和，则S7＝3的概率为________．3．[学科素养——逻辑推理]某公司为聘请新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，依据题目要求独立完成，至少正确完成其中2道题便可通过面试．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能正确完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是eq\f(2,3)，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望和方差；(2)试从期望与方差的角度分析甲、乙两人谁通过面试的可能性大．4．1二项分布必备学问基础练1．解析：由题意，依据二项分布的概率计算公式，可得所求概率为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))×(eq\f(2,3))3×(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(80,243)，故选B.答案：B2．解析：由题意，知P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(7,16)，解得p＝eq\f(1,4)(p＝eq\f(7,4)舍去)，故P(Y＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(1,4))2×eq\f(3,4)＝eq\f(9,64).答案：eq\f(9,64)3．解析：(1)将每次遇到红绿灯看作一次试验，遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，且每次试验结果相互独立，故ξ～B(6，eq\f(1,3))，所以ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))(eq\f(1,3))k(eq\f(2,3))6－k(k＝0，1，2，…，6)，即ξ0123456Peq\f(64,729)eq\f(64,243)eq\f(80,243)eq\f(160,729)eq\f(20,243)eq\f(4,243)eq\f(1,729)(2)由(1)，知所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－eq\f(64,729)＝eq\f(665,729).4．解析：每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，所以射击3次得分X～B(3，0.7)，EX＝3×0.7＝2.1，故选A.答案：A5．解析：因为X～B(100，0.2)，所以EX＝100×0.2＝20，DX＝100×0.2×(1－0.2)＝16.所以EY＝2EX＋1＝2×20＋1＝41，DY＝4DX＝4×16＝64.答案：4164关键实力综合练1．解析：因为ξ～B(3，eq\f(1,3))，所以P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(eq\f(1,3))2(1－eq\f(1,3))＝eq\f(2,9).答案：D2．解析：由题知随机变量X听从两点分布，则DX＝p(1－p)＝eq\f(p,3)，整理得p2－eq\f(2,3)p＝0，故p＝eq\f(2,3)或p＝0(舍去).故选C.答案：C3．解析：设事务A在一次试验中发生的概率为p，则(1－p)4＝1－eq\f(65,81)＝eq\f(16,81)，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(5,3)(舍去)，故选A.答案：A4．解析：在一次竞赛中甲获胜的概率为eq\f(3,5)，输的概率为eq\f(2,5).由题意知，甲队打完4局才胜，则第4局甲必胜，前3局中有2局甲胜，故甲队打完4局才胜的概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·(eq\f(3,5))3×eq\f(2,5).故选A.答案：A5．解析：依题意，得这五次移动中必有两次向左移动，三次向右移动，因此所求概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))(eq\f(1,3))2(eq\f(2,3))3＝eq\f(80,243).答案：D6．解析：进行一次“手心手背”嬉戏，3人出现的全部可能状况：(心，心，心)，(心，心，背)，(心，背，心)，(背，心，心)，(心，背，背)，(背，心，背)，(背，背，心)，(背，背，背).则得1分的概率为eq\f(3,4)，得0分的概率为eq\f(1,4).进行4次嬉戏，小明总得分X共有5种取值为0，1，2，3，4.由二项分布的概率计算公式可得：P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))(eq\f(1,4))4＝eq\f(1,256)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))(eq\f(3,4))1(eq\f(1,4))3＝eq\f(12,256)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))(eq\f(3,4))2(eq\f(1,4))2＝eq\f(54,256)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))(eq\f(3,4))3(eq\f(1,4))1＝eq\f(108,256)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))(eq\f(3,4))4＝eq\f(81,256).则X的分布列如表所示：X01234Peq\f(1,256)eq\f(12,256)eq\f(54,256)eq\f(108,256)eq\f(81,256)则X的数学期望EX＝1×eq\f(12,256)＋2×eq\f(54,256)＋3×eq\f(108,256)＋4×eq\f(81,256)＝3.答案：C7．解析：由n重伯努利试验的概念知①②③正确．答案：①②③8．解析：记“恰有1次通过”为事务A，则P(A)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))(eq\f(1,3))·(1－eq\f(1,3))2＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)9．解析：由题可得中奖概率为eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(1,3)，而中奖人数听从二项分布，故这90人中中奖人数的数学期望为90×eq\f(1,3)＝30，方差为90×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝20.答案：302010．解析：由题意得，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为eq\f(1,3)，去京东商城购物的概率为eq\f(2,3).设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事务Ai(i＝0，1，2，3，4)，则P(Ai)＝Ceq\o\al(\s\up1(i),\s\do1(4))(eq\f(1,3))i(eq\f(2,3))4－i(i＝0，1，2，3，4).(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率P(A1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))(eq\f(1,3))1(eq\f(2,3))3＝eq\f(32,81).(2)易知X的全部可能取值为0，3，4.P(X＝0)＝P(A0)＋P(A4)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))(eq\f(1,3))0×(eq\f(2,3))4＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))(eq\f(1,3))4×(eq\f(2,3))0＝eq\f(16,81)＋eq\f(1,81)＝eq\f(17,81)，P(X＝3)＝P(A1)＋P(A3)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))(eq\f(1,3))1×(eq\f(2,3))3＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))(eq\f(1,3))3×(eq\f(2,3))1＝eq\f(32,81)＋eq\f(8,81)＝eq\f(40,81)，P(X＝4)＝P(A2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))(eq\f(1,3))2(eq\f(2,3))2＝eq\f(8,27).所以随机变量X的分布列为X034Peq\f(17,81)eq\f(40,81)eq\f(8,27)所以EX＝0×eq\f(17,81)＋3×eq\f(40,81)＋4×eq\f(8,27)＝eq\f(8,3).学科素养升级练1．解析：在他第3次射击时才击中，说明前两次都没有击中，故其概率为0.12×0.9，故A正确，B不正确；他射击4次恰好击中3次，符合二项分布，故其概率为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×0.93×0.1，故C不正确，D正确．答案：AD2．解析：由题意S7＝3说明摸球七次，只有两次摸到红球，因为每次摸球的结果之间没有影响，摸到红球的概率是eq\f(2,3)，摸到白球的概率是eq\f(1,3).所以只有两次摸到红球的概率是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))5＝eq\f(28,729).答案：eq\f(28,729)3．解析：(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的全部可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\u