初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（学生版）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式【知识梳理】知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅知识点四解一元二次不等式①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；③有根求根；④根据图象写出不等式的解集.知识点五解分式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)eq\f(fx,gx)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0；))(3)eq\f(fx,gx)≥a⇔eq\f(fx－agx,gx)≥0.知识点六一元二次不等式恒成立问题恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.【基础自测】1．不等式的解集是（

）A．全体实数 B．空集 C．正实数 D．负实数2．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．3．若不等式的解集是，则的解集为（

）A． B． C． D．4．不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．5．不等式的解集是___________.【例题详解】题型一、解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)(2)(3)(4)；(5).(6)；(7)(8)跟踪训练1解下列不等式．(1)；(2)．(3)；(4)；(5).(6)题型二、解含有参数的一元二次不等式例2(1)解关于的不等式．(2)求关于的不等式的解集.跟踪训练2(1)求不等式的解集.(2)解关于的不等式.题型三、由一元二次不等式的解确定参数例3(1)若不等式的解集为，则值是（

）A． B． C． D．(2)已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为______.跟踪训练3(1)若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．(2)已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______.题型四、一元二次方程根的分布问题例4(1)若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．(2)已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（

）A． B．C． D．跟踪训练4(1)关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．(2)已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为_______．(3)设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根．若与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．题型五、解分式不等式例5解关于的不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).跟踪训练5(1)已知集合，，则（

）A． B． C． D．(2)（多选）若“”是“”充分不必要条件，则实数a的值可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8(3)不等式的解集为______.(4)解下列不等式.(=1\*romani)；(=2\*romanii)；(=3\*romaniii)题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题例6(1)若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．(2)“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．跟踪训练6(1)已知对于任意实数恒成立，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．(2)若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题例7(1)若1≤x≤2时，不等式恒成立，则实数m的最小值为（

）A．0 B． C． D．(2)已知二次函数，若，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．(3)已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．跟踪训练7(1)若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．(2)若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________(3)已知关于的不等式．(=1\*romani)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；(=2\*romanii)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题例8(1)已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．(2)已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．跟踪训练8(1)若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．(2)设，若关于的不等式在上有解，则（

）A． B． C． D．题型九、一元二次不等式的应用例4某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．跟踪训练4某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.【课堂巩固】1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．已知：，：，则是的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．5．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（多选）下列四个不等式中，解集为的是（

）A． B．C． D．8．（多选）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．9．“，”是假命题，则实数的取值范围为_________.10．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是______．11．已知不等式的解集为或．(1)求a，b；(2)解关于x的不等式．12．（1）求关于x的不等式的解集；（2）求关于x的不等式的解集．13．已知函数的图像如图所示，求不等式的解集．14．把一块长为80mm、宽为60mm的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长相等的小正方形，做成一个无盖铁盒．求当底面积不小于1500mm2时，小正方形的边长的取值范围．15．已知关于x的不等式的解集为或．(1)求a，b的值；(2)若，解关于的不等式．16．已知(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．【课时作业】1．不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．已知不等式的解集是，则的值为（

）A． B．7 C． D．3．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为A．，， B．，，C．，， D．5．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．7．关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．8．已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．} C． D．9．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．关于x的不等式的解集为10．（多选）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的值可以是（

）A．3 B．4 C．7 D．811．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________．12．已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.13．若为单元素集合，则实数的值为___________.14．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.15．若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．16．设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____