初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习3.3 幂函数（教师版）

3.3幂函数【知识梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【基础自测】1．下列函数中不是幂函数的是________．①y＝x0； ②y＝x3；③y＝2x； ④y＝x－1.【答案】③2．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；【详解】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：，故选：D3．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2【答案】C【详解】由幂函数的定义知k＝1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝eq\f(1,2)，从而k＋α＝eq\f(3,2).4．函数的定义域为_______，值域为___________．【答案】

【详解】，所以，因此，函数的定义域为，值域为.故答案为：；.5．已知幂函数是奇函数，则___________.【答案】1【详解】由题意得，∴或1，当时，是偶函数；当时，是奇函数.故答案为：1.【例题详解】一、幂函数的概念例1(1)给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（

）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】由幂函数的定义即可判断.【详解】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，则可知①和④是幂函数.故选；B.(2)已知幂函数的图象经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的概念求出，再代入点的坐标可求出，即可得解.【详解】因为函数为幂函数，所以，则，又因为的图象经过点，所以，得，所以.故选：A(3)若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．【答案】【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可【详解】由幂函数可得，解得或，又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以．故答案为：跟踪训练1(1)下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据幂函数的定义判断.【详解】形如（为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.(2)（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（

）A． B． C． D．无解【答案】BC【分析】利用已知条件可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.【详解】由已知可得，解得或.故选：BC.(3)已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.【答案】【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：是幂函数，，解得或，若，则，在上不单调递减，不满足条件；若，则，在上单调递增，满足条件；即.故答案为：二、幂函数的图象及应用例2(1)如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③【答案】A【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；函数的定义域为，应为图②；因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.故选：A.(2)函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的定义域和幂函数的性质可判断出结果．【详解】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选：A．跟踪训练2(1)图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】D【分析】根据幂函数在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数的可能取值．【详解】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，结合选项知，指数的值依次可以是．故选：D.(2)在同一坐标系内，函数和的图象可能是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根据幂函数的图象与性质，分和讨论，利用排除法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即时，不合题意；若时，函数在递减，又由递减可排除A，故选B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、比较幂值的大小例3(1)1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是（

）A．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1B．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1C．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1D．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1【答案】D【解析】由1.5－3.1=，2－3.1＝，利用幂函数y＝x3.1的单调性判断大小.【详解】1.5－3.1=，2－3.1＝，又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜2，∴＜＜23.1，故选：D.(2)下列比较大小中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数的单调性进行判断即可.【详解】解：对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，因为，又，所以，故C正确，对于D选项，在上是递增函数，又，所以，所以，故D错误.故选：C.跟踪训练3(1)设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂函数的单调性比较大小．【详解】构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故故选：B(2)已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的单调性确定函数值大小，即可得a，b，c的大小关系.【详解】由于幂函数在上单调递增，又，，，，所以，则.故选：D.四、幂函数性质的应用例4(1)若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）<f（x2）的解集为（）A．（–∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1）C．（–∞，0） D．（1，+∞）【答案】D【分析】先根据幂函数f（x）的图象过点（16，8）求出α=>0，再根据幂函数的单调性得到0<x<x2，解不等式即得不等式的解集.【详解】设幂函数的解析式是f（x）=xα，将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得α=>0，故函数f（x）在定义域是[0，+∞），故f（x）在[0，+∞）递增，故，解得x>1．故选D．【点睛】(1)本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数，且以两条坐标轴为渐近线.(2)已知，若，则下列各式中正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据在上递增判断即可．【详解】解：因为函数在上是增函数，所以在上是增函数，又，．故选：．(3)已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知，在上为增函数且为奇函数，进而将问题转化为在上恒成立，再求最值即可得答案.【详解】解：由题意，，因为，所以为奇函数，由幂函数的性质得在上单调递增，所以，在上的增函数，因为在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，只需，即所以实数a的取值范围是.故选：C跟踪训练4(1)对于幂函数，若0<a<b，则，的大小关系是________．【答案】【分析】先作出函数的图象，设A(a，0)，C(b，0)，其中0<a<b，再作出即得解.【详解】幂函数在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A(a，0)，C(b，0)，其中0<a<b，则AC的中点E的坐标为E，则|AB|＝f(a)，|CD|＝f(b)，|EF|＝f.∵|EF|>(|AB|＋|CD|)，∴f故答案为：(2)已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为____________；不等式的解集为____________.【答案】

【分析】计算得到幂函数为，解不等式得到答案.【详解】设幂函数为，过点，所以解得，所以，，即，即解得，故答案为：；(3)已知幂函数（）的图象关于y轴对称，且在上是减函数．（=1\*romani）求m的值；（=2\*romanii）求满足不等式的实数a的取值范围．【答案】（=1\*romani）；（=2\*romanii）.【分析】（=1\*romani）根据的奇偶性和单调性，得到或2，（=2\*romanii）结合第一问中求出的函数奇偶性和单调性，得到，求出a的取值范围.【详解】（=1\*romani）因为幂函数在上是减函数，所以，所以.因为，所以或2.又函数图象关y轴对称，所以是偶数，所以.（=2\*romanii）不等式等价于，解得．所以实数a的取值范围是.【课堂巩固】1．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝【答案】A【详解】其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B，D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.2．函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据幂函数的性质判断即可；【详解】解：因为的定义域为，又，故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；当时，由幂函数的性质可知，在上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误；故选：A3．（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（

）A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限【答案】AD【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误.【详解】幂函数的解析式为.当时，，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A选项错误；当时，，定义域为，此函数为偶函数，当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；当时，无论取何值，都有，图像必过点，C选项正确；当时，图像经过一三象限，D选项错误.故选：AD.4．对幂函数，填空：（1）当，时，图象恒过______和______两点；其中当时，幂函数图象在图象的______方；当时，幂函数图象在图象的______方．（2）当，时，图象也恒过______和______两点；其中当时，幂函数图象在图象的______方；当，幂函数图象在图象的______方．（3）当，时，图象恒过点______．【答案】

下

上

上

下

【详解】（1）当，时，图象恒过和两点；其中当时，幂函数图象在图象的下方；当时，幂函数图象在图象的上方．（2）当，时，图象也恒过和两点；其中当时，幂函数图象在图象的上方；当，幂函数图象在图象的下方．（3）当，时，图象恒过点点.故答案为：；；下；上；；；上；下；.5．幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．【答案】【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，又函数在上单调递减，则，所以实数m的值为-3.故答案为：-36．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．【答案】α<0【详解】∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.7．已知幂函数是奇函数，则实数m的值为________.【答案】2【分析】根据函数为幂函数可得，求得m，结合函数为奇函数确定m的取值，可得答案.【详解】由是幂函数可得，解得或，当时，满足，为奇函数，符合题意；当时，，此时，不满足，不合题意，故，故答案为：28．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.【答案】【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.【详解】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.9．比较下列各组数的大小：(1)；(2)，.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据在的单调性即可求解，（2）根据函数在单调递增即可求解.【详解】（1）由于函数在单调递减，，所以.（2）由于函数在单调递增，，所以故.10．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.(1)求和的值；(2)求满足的的取值范围.【答案】(1)或3，；(2)或.【分析】（1）根据幂函数的定义可得系数为1，进而可求或3，根据幂函数的单调性，可求解，（2）利用幂函数的单调性即可求解.【详解】（1）∵幂函数，∴，解得或3，又因为幂函数在上是减函数，∴，解得，∵，∴或，又因为幂函数图象关于轴对称，当时，，图象关于轴对称，符合题意；当时，，图象关于原点对称，不合题意，综上，或3，；（2）由（1）可得，∴原不等式可化为而函数在和上分别为减函数，所以不等式可化为：或或，解得或.11．已知幂函数的表达式为，函数的图像关于轴对称，且满足，求的值．【答案】【分析】由题知，，进而结合题意得，进而得答案.【详解】∵为幂函数，∴，解得；又，∴，解得．∵，∴或．当时，，此时的图像关于原点对称，不合题意；当时，，满足题意，∴．∴．12．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．【详解】(1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.(2)g(x)＝x2－ax－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－3－eq\f(a2,4)在[1,3]上不单调，则对称轴x＝eq\f(a,2)满足1<eq\f(a,2)<3.即2<a<6.所以，实数a的取值范围为(2,6)．【课时作业】1．“当时，幂函数为减函数”是“或2”的（

）条件A．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要【答案】C【分析】根据幂函数的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】当时，幂函数为减函数，所以有，所以幂函数为减函数”是“或2”的充分不必要条件，故选：C2．已知幂函数满足，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根据函数为幂函数，求出的值，结合函数单调性，排除不正确的值.【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得：或，当时，在上单调递减，满足；当时，在上单调递增，不满足，综上：.故选：C.3．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由奇偶性可排除D；由幂函数性质可排除AC，由此可得结果.【详解】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.故选：B.4．给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征判断即可【详解】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A5．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），若0<a<b<1，则下列各式正确的是（）A．f（a）<f（b）<f（） B．<f（b）<f（a）C．f（a）<f（b） D．【答案】A【分析】先求得幂函数的解析式，由解析式得到该函数的单调性，根据及单调性得出正确选项.【详解】设幂函数y=f（x）=xα，∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α=2，解得，∴f（x）=，∵0<a<b<1，∴，∴f（a）<f（b）<f（）．故选A．【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，考查函数值比较大小，属于基础题.6．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；对于B，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.7．已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，，再由，代入化简计算，即可求解出答案.【详解】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因为，所以，因为，可得.故选：B8．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】A【详解】由已知函数是幂函数，可得，解得或，当时，，当时，，对任意的，且，满足，函数是单调增函数，所以，此时，又，可知异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则恒大于，故选A.点睛：本题考查了函数的单调性以及幂函数的定义的应用，考查了推理与计算能力，试题有一定的抽象性，属于中档试题，对于函数的函数单调性判定常见的方法：1、平时学习过的基本初等函数的单调性；2、函数图象判断函数的单调性；3、函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4、导数判断函数的单调性.9．（多选）已知幂函数，则（

）A． B．定义域为C． D．【答案】AC【分析】根据为幂函数得可判断A；根据幂函数的解析式可判断B；利用单调性可判断C；计算可判断D.【详解】为幂函数，，得，A对；函数的定义域为，B错误；由于在上为增函数，，C对；，，D错误，故选：AC.10．（多选）下列说法正确的是（

）A．若幂函数的图象经过点，则解析式为B．若函数，则在区间上单调递减C．幂函数始终经过点和D．若幂函数图象关于轴对称，则【答案】ACD【分析】设出幂函数解析式，代入点的坐标即可判断A项；根据幂指数与0的关系以及函数的性质，可判断B项；代入即可判断C项；根据已知可求出，根据函数的奇偶性以及单调性，即可判断D项.【详解】对于A项，设幂函数解析式为，代入点，可得，所以，解得，所以解析式为，故A项正确；对于B项，由已知为幂函数，且，所以在区间上单调递减.又，所以为偶函数，根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故B项错误；对于C项，因为，所以，，故C项正确；对于D项，由已知可得，，解得或.又幂函数图象关于轴对称，所以，.所以有，又在区间上单调递增，且，所以，故D项正确.故选：ACD.11．已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.【答案】【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.【详解】为幂函数，，解得：或；当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不合题意；综上所述：.故答案为：.12．不等式的解为______.【答案】【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式.【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，又，则为偶函数，所以在上单调递减，则由不等式可得，平方后整理得，即，解得，则不等式的解集为.故答案为：.13．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.【答案】【分析】设幂函数，将点代入求出的值，再利用幂函数的单调性求解即可.【详解】设幂函数，，因为幂函数的图象过点，所以，解得