2021-2022学年广东省广州市九年级上册数学期末试卷（三）含答案

2021-2022学年广东省广州市九年级上册数学期末试卷（三）

一、选一选（每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要

求）

1.在aABC中，ZC=90°,ZA,ZB,/C的对边分别为a,b,c,c=3a,则sinA的值是

（）

A.-B.2叵C.3D.以上都没

33

有对

【答案】A

【解析】

【详解】试题解析：：在AABC中，NC=90。，ZA,ZB,/C的对边分别为a,b,c,c=3a,

..._«_«_1

•・sinA=----------------,

c3a3

故选A.

2.如图，弦A8_L0C,垂足为点C,连接。4,若OC=2,AB=4,则04等于（）

A.2&B.2&C.3&D.2石

【答案】A

【解析】

【详解】试题解析：由垂径定理可得：AC=-AB=2.

2

OA=>JOC2+AC2=@+22=2V2.

故选A.

定睛：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.

3.用圆心角为120。，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸

帽的高是（）

=

A.J^cmB.3C.4J^cmD.4cm

【答案】C

【解析】

【分析】先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长+2兀，可求圆

锥的底面半径，利用勾股定理得出答案.

【详解】；扇形的弧长=—120——^-6=4%cm,

180

圆锥的底面半径为4n^2n=2cm,

这个圆锥形筒的高为762-22=472cm.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，掌握扇形的弧长是对应圆锥的底面周长是解题的关

键.

4.若关于x的函数y=(2-a)x2-x是二次函数，则a的取值范围是()

A.ar0B.aW2C.a<2D.a>2

【答案】B

【解析】

【详解】试题解析：•••函数y=(2-a)x2-x是二次函数，

.•.2-a，0,即a/2,

故选B.

5.把y=^x2-2x+l写成y=a(x-h)2+k的形式是()

A.y=^(x-2)2-lB.y=^-(x-l)2+2C.y=y(x-l)2+^D.y=y(x-2)2-

3

【答案】A

【解析】

【分析】根据完全平方公式配方即可.

详解】解:y=：x2-2x+l

=：(X2_4X)+1

=—(x2-4x+4-4)+1

=y(x-2)2-l

故选A.

【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键.

6.下列说法错误的是()

A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧

C.面积相等的两个圆是等圆D,半径相等的两个半圆是等弧

【答案】B

【解析】

【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对

C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断.

【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，所以选项的说确，没有符合题意；

B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；

C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说确，没有符合题意：

D、半径相等的两个半圆是等弧，所以。选项的说确，没有符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半

圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).

7.把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是()

A.y=-2(x+l『+lB.y=-2(x-l)2+1

Cy=-2(x-l)2-1D.y=-2(x+l)2-1

【答案】B

【解析】

【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.

【详解】抛物线)，=-2x2向上平移1个单位，可得y=-2X2+1,再向右平移1个单位得到的

抛物线是y=-2(x-iy+l.

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式)，=a(x-

h)2+k(a,b,c为常数，存0),确定其顶点坐标①，k),在原有函数的基础上*值正右移，负左

移；&值正上移，负下移

8.如图，AABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（）

【答案】A

【解析】

【详解】试题解析：如图

故选A.

9.一人乘雪橇沿坡度为1：6的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为

S=10t+2t2,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）

A.72米B.36米C.36百米D.18用米

【答案】B

【解析】

【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.

【详解】当f=4时，s=10/+2/=72.

设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线,

在直角三角形中，由勾股定理得：x2+（V3x）2=722,

解得x=36.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解

是解题关键.

10.二次函数y=or2+/；x+c(W0)的大致图象如图所示(\<x=h<2,0<XA<1),下列结

论：①2。+%>0；②〃加<0；③若。C=2OA,则2b—ac=4；④3a-c<0,其中正确的个

数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【详解】①•••抛物线的开口向下，

.\a<0.

..•抛物线的对称轴-2>i,

2a

Ab>-2a,即2a+b>0,①成立；

@Vb>-2a,a<0,

Ab>0,

・・・抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,

Ac<0,

/.abc>0,②错误；

@VOC=2OA,

・，・点A的坐标为(，()),

2

2八

—1ac——1b7c+c=O,

42

整理得：2b-ac=4,③成立；

④：抛物线的对称轴1<上<2,

2a

工-2a<b<-4a,

,当x=l时，y=a+b+c>0,

.".a-4a+c>0,即3a-c<0,④正确.

综上可知正确的结论有3个.

故选C.

二、填空题(每题3分，共24分)

11.抛物线y=/+8x-4与直线x=-4的交点坐标是.

【答案】(-4,-20)

【解析】

【详解】解：,当户-4时，y=(-4)2+8x(-4)-4=-20,

二抛物线)=x2+8x-4与直线广-4的交点坐标是(-4,-20).

故答案为(-4,-20).

12.抛物线y=-2x2+6x-1的顶点坐标为.

37

【答案】

22

【解析】

37

【详解】试题解析：；y=-2x2+6x-1=-2(X--)2+—

22

37

抛物线y=-2x2+6x-1的顶点坐标为(—.

22

37

故答案为(二)•

22

13.抛物线与x轴交于点(1,0),(-3,0),则该抛物线可设为：.

【答案】y=a(x-1)(x+3)(aWO)

【解析】

【详解】试题解析：•••抛物线与x轴交于点(1,0),(-3,0),

设该抛物线解析式：y=a(x-l)(x+3)(a/0).

故答案是：y=a(x-1)(x+3)(a/0).

点睛：交点式：y=a(x-xi)(x-X2)(a是常数，a/0),该形式的优势是能直接根据解析式得

到抛物线与X轴的两个交点坐标(XI,0),(X2,0).

14.用没有等号">"或连接：sin50°cos50°.

【答案】>

【解析】

【详解】试题解析：Vcos50o=sin40°,sin50°>sin40°,

.".sin5（）°>cos50o.

故答案为〉.

点睛：当角度0。〜90。间变化时，

①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

15.如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为a,则建

筑物AB的高可表示为________.

［答案】atana

【解析】

【详解】试题解析：•.,在直角AABC中，/B=90。，NC=a,BC=a,

BC

AB=BC,tanZC=a,tana.

故答案为atana.

16.如图，在00中，弦AB=8,M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3.则。。的半径为

【答案】5

【解析】

【分析】略

【详解】根据垂线段最短知，当OMLAB时，OM有最小值,

此时，由垂径定理知，点M是AB的中点,

连接OA,AM=^AB=4,

由勾股定理知，OA2=OM2+AM2.

即OA2=42+32,

解得0A=5.

所以。O的半径为5；

故答案为5.

【点睛】略

17.如图，四边形ABCD内接于（DO,E为CD延长线上一点.若NB=110。，则/ADE的度

【解析】

【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解.

【详解】：四边形ABCD内接于且NB=110。

.,.ZADE=ZB=110°

故填：110°.

【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.

18.如图，在锐角AABC中，以BC为直径的半圆0分别交AB,AC于D,E两点，且cosA=

,则SAADE：S㈣边彩DBCE的值为.

3

D

B-------7)C

【答案】|

【解析】

【详解】试题解析：连接BE；

：BC是。0的直径

・•・ZBEC=90°；

在RtZkABE中，cosA=无，即丝=走；

3AB3

•・•四边形BEDC内接于。O,

AZADE=ZACB,ZAED=ZABC,

AAADE^AABC,

.SJDE__J_

"-AB~3；

所以SaADE：SMiiiEDBCE的值为g.

故答案为y-

三、解答题(本大题共66分)

19.7tan260-4tan60+4'2V2sin45°.

【答案】-V3

【解析】

【详解】试题分析：把角的三角函数值代入进行运算即可.

试题解析：原式J(tan60°-2丫一2正*[=[6-2卜2=2-百一2=

20.二次函数的学习，求没有等式x2+5x-6>0的解集.

【答案】x>l或x,V-6

【解析】

【详解】试题分析：设y=x2+5x-6,画出函数的图象，由抛物线和x轴交点横坐标以及函数图象

即可求出没有等式x2+5x-6>0的解集.

试题解析：设y=x?+5x-6,函数图象如图所示：

由函数图象可知没有等式x2+5x-6>0的解集为x>1或x<-6.

点睛：二次函数y=ax?+bx+c(a、b、c是常数，a^O)与没有等式的关系，①函数值y与某个

数值m之间的没有等关系，一般要转化成关于x的没有等式，解没有等式求得自变量x的取值

范围.②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用

交点直观求解，也可把两个函数解析式列成没有等式求解.

21.二次函数y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5)

(1)求m的值，并写出二次函数的表达式；

(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.

【答案】(1)m=3,y=x2+6x+5：(2)顶点坐标为(-3,-4),对称轴为直线x=-3.

【解析】

【分析】(1)把点(0,5)代入y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2即可求出m的值，然后可

确定二次函数的表达式；

(2)把二次函数的表达式配方化为顶点式即可解决问题.

【详解】(1)•••图象过点(0,5),

m-2^Q

由题意：〈.解得m=3.

〃2+2=5

二次函数解析式为y=x2+6x+5.

(2)Vy=x2+6x+5=(x+3)2-4,

...此二次函数图象的顶点坐标为（-3,-4）,对称轴为直线x=-3

考点：确定二次函数解析式、抛物线的顶点坐标和对称轴.

22.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD.小明在山坡

的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60。,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为

45°.已知山坡AB的坡度i=l:,AB=10米,AE=15米，求这块宣传牌CD的高度.（测角器的

高度忽略没有计，结果到0.1米.参考数据：=1.414,=1.732）

【答案】2.7米

【解析】

【详解】解：作BFEIDE于点F,BG0AE于点G

口

口

口

口

口

口

在RtEADE中

BtanEADE=^--,

AE

[?1DE="AE"-tan[aADE=15石

13山坡AB的坡度i=l：后,AB=10

I3BG=5,AG=s/^,

0EF=BG=5,BF=AG+AE=5^+15

EECBF=45°

0CF=BF=5^+15

EICD=CF+EF—DE=20—10Ja=20—10x1.732=2.68=2.7

答：这块宣传牌CD的高度为2.7米.

23.如图，已知直线y=-2x+12分别与y轴，x轴交于A,B两点，点M在y轴上，以点M为

圆心的0M与直线AB相切于点D,连接MD.

(1)求证：△ADMS^AOB；

529

(2)如果©M的半径为2百，请写出点M的坐标，并写出以(-；,万)为顶点，且过

点M的抛物线的解析式.

529

【答案】(1)见解析；(2)y=-2(x+-)2+—.

22

【解析】

【详解】试题分析：(1)由AB为圆M的切线，利用切线的性质得到一对角为直角，再由公共

角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；

(2)设M(0,m),表示出AM,求出DM的长，利用勾股定理求出AB的长，由三角形相

似得比例，求出m的值，求出M坐标，设出抛物线顶点形式，把M坐标代入求出即可.

试题解析：(1)证明：；AB是0M切线，D是切点，

AMD1AB,

.\ZM*DA=ZAOB=90o,

又/MAD=/BAO,

/.△ADM^AAOB；

(2)解：设M(0,m),

由直线y=2x+12得，OA=12,OB=6,

则AM=12-m,DM=26,

在RtAAOB中,AB=笛+OB2=V122+62=6非，

VAADM^AAOB,

.AMABR„12-m6亚

••=,k|J-----/——---------，

DMOB2石6

解得：m=2,

AM(0,2),

529529

设顶点为(--，—)的抛物线解析式为y=a(x+-)2—,

222+2

529

将M点坐标代入，得a(0+—)2+一=2,

22

解得：a=-2>

529

则抛物线解析式为y=-2(x+-)2+—.

22

24.某百货商店服装柜在中发现：某品牌童装每天可售出20件，每件盈利40元，经市场发

现，在进货价没有变的情况下，若每件童装每降价1元，日量将增加2件.

(1)当每件童装降价多少元时，的盈利至多？

(2)若商场要求的盈利为1200元，同时又使顾客得到，每件童装降价多少元？

【答案】(1)值为1250元；(2)每件童装降价20元.

【解析】

【详解】试题分析：(1)设每件童装降价x元，则每天盈利为S,根据盈利=(每件盈利)x(件

数)即可解题；

(2)当S=1200时，即可求得x的值，即可解题.

试题解析：(1)设每件童装降价x元，则每天盈利为S,

则S=(40-x)(2x+20)=-2x2+60x+800,

当x=@-=15时，S有值为1250元；

2x2

(2)盈利为1200元,则

S=-2x2+60x+800=1200,

整理得：-2x?+60x-400=0,

a=-2,b=60,c=-400,

△=b2-4ac=3600-(4x2x400)=400>0,

解得:xi=20,X2=10,(舍去)

・・・每件童装降价2()元.

25.如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平

面的高度AB（见示意图），可供使用的工具有测倾器、皮尺.

（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的，画出测量的平

面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m,n,...表示，角用a,d...表

示，测倾器高度忽略没有计）；

.„„,、....„mtanatan^

【答案】(1)见解析；(2)x=----------------------.

tan/r—tan

【解析】

【详解】试题分析：（1）可在距离AB的地方用测倾器测2次，并量出两个测试点之间的距离;

（2）设AB为未知数，可用没有同的方式表示出BD长，列出方程求解即可.

试题解析：（1）如图所示，在点C测得ZACB=a,在点D测得NADB邛，测得DC=m.

在Rt1AABD中，BD=x4-tanp,

：BD=m+BC,

即x+tan|3=m+x+tana,

m-tan«-tany9

解得x=------------------

tana-tan

26.如图，已知AB为00的直径，AC为弦，OD〃BC,交AC于D,BC=4cm.

(1)求证：AC±0D；

(2)求OD的长；

（3）若sinA=L，求G）O的直径.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）0D=2cm；（3）。0的直径是8cm.

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可得/C=90。，再根据两直线平行，同位

角相等可得/ADO=/C=90。，然后根据垂直的定义证明即可；

（2）先判断出0D是AABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边

的一半可得OD=gBC；

（3）先根据ZA的正弦求出ZA=3（）。，再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半

可得BC=gAB,然后求解即可.

试题解析：（1）证明：：AB是。。的直径，

；.NC=9（）°,

；OD〃BC,

.\ZADO=ZC=90°,

AAC1OD；

（2）解：：OD〃BC,O是AB的中点，

；.OD是AABC的中位线，

11

/.OD=—BC=—x4=2cm；

22

（3）解：V2sinA-1=0,

1

/.sinA=—，

2

・•.ZA=30°,

在RlZkABC,VZA=30°,

1

ABC=-AB,

2

.,.AB=2BC=8cm,

即。O的直径是8cm.

27.已知，如图，抛物线y=-x?+bx+c直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x

轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M,使△ACM与AABC的面积相等？若存在，求

点M的坐标；若没有存在，请说明理由.

（3）在x轴上是否存在点N使4ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若没有存

在，请说明理由.

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）点M的坐标为（0、3）或2,3）或（1+J7,-3）或