中考数学压轴大题经典模型培优相似基本模型（解析版）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题19相似基本模型

解题策略

模型1：A、8模型“

已知N1=N2,结论：AADE^AABC

己知：Z1=Z2结论：△4。^-AABC,A^AD.AB.

模型3一线三等角“

已知△板■和B,C,笈三点共线，ZB=ZE=ZACD.“

经典模型培优素

经典例题

【例1】（2021•山东・嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）

中，NC=90。，AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发，沿4c向点C方向运动，动

点。从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点尸的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s,它们同

时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为f秒.

（1）求运动时间为多少秒时，P、。两点之间的距离为10cm?

（2）若ACPQ的面积为5,求S关于r的函数关系式.

(3)当r为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与A4BC相似?

【答案】(1)3秒或5秒；(2)5=(20t-4t2)cm2；(3)t=3或£=三

【分析】(1)根据题意得到AP=4fcm,CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(20-4r)cm,根据三角形的面积公式列

方程即可得答案：

(2)若运动的时间为rs,则密(204)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面积计算公式,即可得出S=20r-4»,

再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；

(3)分①Rt△CPQ-也△Q4B和②Rt△CPQ-Rt△CB4,利用相似三角形得出比例式，建立方程求解,

即可得出结论.

【详解】(1)解：由运动知，AP=4tcm,CQ=2tcm,

VAC=20cm,

：.CP=(20-4r)cm,

在中，

CP2+CQ2=PQ2,

即(20-4t)2+(2t)z=102；

：.t=3秒或t=5秒

(2)由题意得力P=43CQ=2t,则CP=20-4t,

因此Rt△CPQ的面积为S=ix(20-4t)x2t=(20t-4t2)cm2；

(3)分两种情况：

①当RtACPQ-Rt/iCAB时，”=丝，即竺二竺=4,解得亡=3；

CACB2015

②当RtACPQ-RtACBA时，—,即竺二竺=至，解得t=竺.

yCBCA152011

因此t=3或t=苧、j,以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.

【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

【例2】(2022•江苏・无锡市天一实验学校一模)如图，在等边AABC边长为6,。是中心；在RtZiACE中,

Z.ADE=90°,^DAE=60°,AD=2.将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一周.

图1图2备用图1备用图2

(1)当4D、4E分别在AC、4B边上，连结。。、OE,求△ODE的面积；

(2)设DE所在直线与AABC的边4B或4C交于点F,当0、£>、E三点在一条直线上，求AF的长：

(3)连结CE,取CE中点M,连结OM,DM的取值范围为.

【答案】(1)2g

(2)12-476

(3)1<DM<5

【分析】(1)由。是等边三角形的中心，可知0知=工08=工。/1,进而得到些=丝，从而EO〃BM,所以可

22BEOM

得OD--EN,SAOOE=SAODN=&SADEN即可求解；

(2)易证AAE产S^OBF,得到生=竺=竺，设AF=x,OF=y,求解即可；

OBOFBF

(3)取4E的中点M连接MMDN,由。、N在。A上,可知即MN-DN<DM<DN+MN,易知MN是AAEC

的中位线，从而求得.

(1)

连接40,并延长交8c于M,连接08

A

BML

•.•。是等边△48C的中心

；・NOBM=30。,BM=MC,AMIBC

二。M三*。4=6

BEOM

：.EO//BM

延长E。交AC于M则△AEN为等边三角形

•/EO〃BM

.AEAN4OEAOON

••—=--=—.---=---=---

BENC2BMAMMC

：・ON=OE,CN=DN=AD=2

：・0D《EN=2

:・S&ODE=S»ODN=|SAOEN=TX2xV3=2V3

连接08,0A,如图,

是等边△ABC的中心

，ZO8A=30°,0A=0B=26

：.OD=yJOA2-AD2=J(26)23=2衣

ZD4E=30°

：.AE=4,DE=2^3

在△AE尸和△OBF中

,.'NA8O=NAEO=30°,NAFE=NBFO

：.△AEFs^OBF(AA)

,—EF

''0B~0F~BF

设上x,OF=y,则壶=尸出祥

解得x=12-4布y=6-6V2,

所以A尸=12-4n

(3)

取AE的中点M连接MMDN,

•.."N在。A的圆上

...当£>、M、N三点共线时，DM最大或最小,

即MN-DN<DM<DN+MN,

：.MN-2<DM<MN+2

当。、M、N三点共线如图1时，

△AND为等边三角形，

，NNOA=NO4C=60。，

J.MN//AC

'：M,N为中点

：.MN=-AC=3

2

：.DM>\

N：A

当力、M、N三点共线如图2时

BC

△AN。为等边三角形，

/.NNDA=NBAC=NCAE=60°,

:.MN〃AC

,：M,N为中点

：.MN=-AC=3

2

：.DM<5

故答案为：1SDMS5

【点睛】本题主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，平行

线分线段成比例的性质与判定，相似三角形的判定与性质及方程思想，综合运用相关性质和判定是解题关

键.

【例3】(2022•全国•八年级专题练习)定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足41=42,则称点

P为这个三角形的“理想点

(1)如图①，若点。是△力BC的边AB的中点，AC=2A/2,AB=4,试判断点。是不是△力BC的“理想点”,

并说明理由；

(2)如图②，在RtAABC中，4c=90。，AB=5,AC=4,若点。是△ABC的“理想点”，求CO的长.

【答案】(1)。为4ABC的理想点，理由见解析

喈呢

【分析】(1)由己知可得失=黑，从而AACDsAABC,AACD=zB,可证点。是A4BC的“理想点”；

ADAC

(2)由。是A4BC的“理想点”，分三种情况：当。在AB上时，CD是48边上的高，根据面积法可求CD长度;

当。在4C上时，XBDCsXABC,对应边成比例即可求CD长度；。不可能在BC上.

(1)

解：点。是AABC的“理想点”，理由如下:

•••D是48中点，AB=4,

・••AD=BD-2,AD•AB=8,

•••AC=2A/2,

AC2=8,

•••AC2=ADAB,

AC_AB

'而=就'

•・•乙4=乙4,

・•・AACD〜LABC,

・'・Z.ACD=乙B,

・•.点。是A4BC的“理想点”；

(2)

①。在48上时，如图：

C

ADB

•••。是A4BC的“理想点”，

二4ACD=4B或4BCD=乙4,

当乙4CC=48时，

•••4ACD+乙BCD=90°,

乙BCD+NB=90°,

/.CDB=90°,即CD是48边上的高，

当4BCD=乙4时，同理可证4CDB=90°,即CD是AB边上的高,

在RtAABC中，〃CB=90。，AB=5,AC=4,

BC=>JAB2-AC2=3,

•■ShABC=\AB-CD=\AC-BC,

CD=y,

②•••AC=4,BC=3,

・•・AC>BC有乙B>乙4,

•••”理想点”。不可能在BC边上,

③。在AC边上时，如图：

•••。是A4BC的“理想点”,

Z.DBC=

又乙C=乙C,

二ABDC〜LABC,

CDBCCD3

—=—,即An一=-

BCAC34

・•・哈

综上所述，点。是AABC的“理想点”，6的长为1或2.

54

【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解"理想点''的定义.

【例4】(2022•全国•九年级专题练习)如图1,在用AABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=1,点D,E分

别为AC,BC的中点.△COE绕点C顺时针旋转，设旋转角为a(0映好360。)，记直线4。与直线BE的交

点为点P.

A

(2)当0。〈任360。时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；

(3)ACOE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最

大值.

【答案】(l)A£)=gBE,AD1BE

(2)结论仍然成立，证明见解析

(3)P点运动轨迹的长度是孑；P点到直线8c距离的最大值是当

【分析】(I)分别求出A。、8E的长即可解答；

(2)先证明△5CESZ\ACD,可得丝="=旧，NC80=/CAD即可解答；

BEBC

(3)利用锐角三角函数可求NEBC=30。，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求

。点到直线BC距离的最大值即可.

(1)

解：在RAA8C中，NC=90。，NA=30。，BC=l,

/.AC=V3BC=V3,AB=2BC=2,ADLBE

,:点、D，E分别为AC,8c的中点

：.AD=CD=-AC^—,BE=EC=%C=L

2222

AD=WBE.

故答案为：AD=V3BE,ADA.BE.

(2)

解：结论仍然成立，理由如下：

V4C-V3,8c=1,CD=@,EC=-,

22

.BCV3EC_y/3

••=，，

AC3CD3

.BC_EC

AC~DC9

绕点C顺时针旋转，

NBCE=ZACD,

:ZCES^ACD,

：.—=—=y/3,NCBO=NCAD,

BEBC

:・AD=WBE,

NC5O+N8OC=90。,

：.ZCAD+ZAOP=90°,

：.NAP。=90。，

：.BELAD.

(3)

解：'：ZAPB=90°,

.•.点尸在以AB为直径的圆上，

如图3,取A8的中点G,作。G,以点C为圆心，CE为半径作。C,当8E是。C切线时，点P到8c的距

离最大，过点尸作交BC的延长线于“，连接GP,

J.CEYBE,

..EC_1

•1，

BC2

AZEBC=30°,

/.ZGBP=30°,

GB=GP,

：.ZGBP=ZGPB=30°,

AZBGP=120°,

,:点P的运动轨迹为点C一点PT点、CT点B一点C,

・・.P点运动轨迹的长度=吗誉x2=*

1803

VZABP=3009BP-LAP,

：.AP=^AB=l,BP=V3AP=V3,

,.,/CBP=30。，PH±BH,

：.PH=-BP=—.

22

.♦.P点到直线8c距离的最大值4.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、

锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键.

/-------------------------\

培优训练

\,________________✓

一、解答题

1.（2021.辽宁丹东.九年级期中）如图，ZkABO中，NA=90。，AB=6cm,>40=12cm.某一时刻，动点、M

从点A出发沿AB方向以Icm/s的速度向点8匀速运动；同时:动点N从点。出发沿D4方向以2cm/s的速

度向点A匀速运动，运动的时间为rs.

（1）求，为何值时，△的面积是AAB。面积的：；

（2）当以点A,M,N为顶点的三角形与△ABZ）相似时，求“直.

【答案】⑴/=4,立=2;（2）f=3或总

【分析】（1）由题意得£W=2/（cm）,AN=（12-2t）cm,AM=tcm,根据三角形的面积公式列出方程可

求出答案；

（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出f的值.

【详解】解：（1）由题意得£W=2f（cm）,AN=（12-2r）cm,AM=fcm,

二/\AMN的面积（12-2t）xt=6t-t2,

♦.•NA=90°,AB=6cm,AD=12cm

，AAfiD的面积为UB・AQ=&6xl2=36,

22

4AMN的面积是仆ABD面积的工

6/-?=-x36,

9

A/2-67+8=0,

解得力=4,及=2,

答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△A3。面积的;；

(2)由题意得£W=2r(cm),AN=(12-2z)cm,AM=tern,

若AAMNSAABD,

则有丝="，即£=生卫，

ABAD612

解得f=3,

若4AMNsXADB、

d士4MAN.It12-2t

则1n有二=77，即n不二一^，

ADAB126

解得/=y,

答：当f=3或g时，以4、M、N为顶点的三角形与△45。相似.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是

解题的关键.

2.(2022・上海•九年级专题练习)如图，在△ABC中，点。在边AB上，点E、点F在边AC上，且。EI由C,

AF_AE

FE~EC'

(1)求证：DFWBEj

(2)如且AF=2,EF=4,AB=6y/3.ADE^AAEB.

【答案】(1)见详解；(2)见详解

【分析】⑴由题意易得差则有若=给进而问题可求证；

BDECFEBD

(2)由⑴及题意可知级=崂=；,然后可得4。=2次，进而可证笠=铝="，最后问题可求证.

BDEF2ABAE3

【详解】解：(1)VDEIIBC,

,.•AD——AE—,

BDEC

.•竺_AE_

*FE一~ECf

.AF_AD

FE~BDf

：.DFWE；

(2)VAF=2,EF=4,

・••由(1)可知，-=—=AE=6

BDEF2f

VAB=6V3,

：.AD=：AB=2V3,

.AE_6_V3AD_2yf3_V3

**AB~~6\[3~3fAE~6-3，

.AE_AD_\[3

**AB~AE~3'

VZA=ZA,

・・・/\ADE^/\AEB.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

3.(2021♦辽宁鞍山•九年级期中)如图，在平行四边形48C。中，AD=AC,NAOC=a,点E为射线区4上

一动点，且AEVA8,连接。E,将线段OE所在直线绕点。顺时针旋转a交B4延长线于点从OE所在直

线与射线CA交于点G.

(1)如图1,当a=60。时，求证：丝△COG；

(2)当a/60。时,

①如图2,连接HG,求证：XADCsf\HDG；

②若AB=9,BC=12,AE=3,请直接写出EG的长.

H

f_________D

2

上图1；图2备用图

【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为乎或学.

【分析】（1）AD=AC,/A£>C=60。，可证△AC力为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得

AB=CD=BC=AD,/B=NAOC=60。，AD/7BC,可得8=60。=/GCO,由NGO”=NC£）A=60。，可

证/"AQ=NCOG,即可证△AQH且△COG（ASA）；

（2）①根据AC=AC,/4OC=a,可得乙48=N49C=a,根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD〃BC,

可得N/MD=/ADC=a=NGC3,由NG£W=a=/ADC,可得/A。，=NCDG即可；

②根据点E的位置分两种情况，当点E在A8上时，过C作CNLAB于M过G作GMLAE于M,根据四

边形ABC。为平行四边形，AB〃DC,AB=DC=9,AD=BC=12,可证"GEs/xcGO,得出AG=3,

CG=AC-AG=12-3=9,根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=]4B=n根据勾股定理CNZBC2-B*=

122-©2=逅，由GM〃CN,再证△AMGs^vlNC,可求AM=-AN=-,GM=-CN=—,

yjv2y24848

EM=AE-AM=3-1=4,根据勾股定理EGZME2+GM2=屋）21（^）2=乎，当点E在/M延长线上，

88y882

过C作CALLA8于N,过G作GMJ_AE于用，由AE/7CD,AGAE^AGCD.可求GA=6,由GM/7CN,

可证△GMAS2\CNA,可得GM=^CN=三乂逅=逅，AM=-AN=-x-=~,EM=AE-AM=3--=根

2224222444

据勾股定理EGZGM2+EM2=J（噜）2+（/；=警.

【详解】（1）证明:VAD=AC,ZADC=60°,

・・・△AC。为等边三角形，

・・•四边形A3CD为平行四边形，

:・AB=CD=BC=AD,ZB=ZADC=60°,\D//BC,

：.ZHAD=ZB=60°=ZGCDf

V/GDH=NCDA=60。,

AN”OA+NADG=NCDG+N/WG=60。，

:・NHDA=/CDG,

在△AOH和△COG中

^ADH=乙CDG

{AD=CD

乙HAD=乙GCD

△A。〜△COG（ASA）：

E

R

(2)①证明：'：AD=AC,ZADC=a,

：.ZACD=ZADC=a,

・・・四边形ABCD为平行四边形，

:,AD〃BC,

：.ZHAD=ZADC=a=ZGCD,

'/ZGDH=a=ZADC,

・・・NADH+NADG=NCDG+/ADG=a,

・・・NADH=NCDG,

：.AADHsACDG；

②解：当点E在A8上时，过C作CN_1_A8于N,过G作GMJ_AE于M,

;四边形48C。为平行四边形，AB〃DC,AB=DC=9,AD=BC=\2,

:・/EAG=/DCG,ZAEG=ZCDG,

・•・△AGEs/\CGD,

•.•AG_—•AE—_3—_1,

CGCD93

：.CG=34G,

*：AD=AC=\2f

：.AG+CG=AG+3AG=4AG=12,

・"G=3,

ACG=AC-AG=12-3=9,

\'AC=AD=BCfCNLAB,

19

：.AN=BN=-AB=

22

在RS8CN中，根据勾股定理CN3BC2-BN?=J122-(|)2=^,

/.GM〃CN,

：.△AMGs"NC,

.AMAGGM31

••————,

ANACCN124

...AM=-AN=-,GM=-CN=

4848

9is

・・・EM=AE-AM=3,

88

当点E在84延长线上，过C作CW_LA8于M过G作GM_LAE1于M,

・；AE〃CD,

：.ZGAE=ZGCD,ZGEA=ZGDCf

:•△GAES^GCD,

.GAEA31

••―•

GCDC93

：.GC=3G4,

a：AC=GaGA=3GA-GA=2GA=12,

・・・GA=6,

♦：AC=AD=BC,CN1AB,

:・AN=BN』1AB=9

22

在RtABCN中，根据勾股定理CN=>JBC2-BN2=J122-(|)2=岁,

*；CNtAB,GM±AE,

:・GM〃CN,

•••△GMAs/xc,

.GAGMAM61

CACNAN122

・13V553755…1..199

；.GM=-CN=-x---=----,AM=-ANr=-x-=-,

22242224

9R

:.EM=AE-AM=3-2=±,

44

在RsGME中，根据勾股定理EG^GM2+EM2=J(竽7+(|)2=^

G

【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相

似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键.

4.(2021.山东省青岛第二十六中学九年级期中)矩形ABC。中，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是对

角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为Icm/s；动点。从点C出发沿CO方向向点。

匀速运动，速度为2cm/s.过点P作8c的垂线段PH,运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接

交4C于点O.若点P和点。同时出发，设运动的时间为f(s)(0</<1.5),解答下列问题：

BH

(1)求当f为何值时，四边形PaCQ为矩形；

(2)是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出，值；如果不存在请说明理由；

(3)是否存在一个时刻，使矩形A8CZ)的面积是四边形PHCQ面积的含，如果存在请求出r值；如果不存

在请说明理由.

【答案】(1)t=~(2)存在,t=~⑶存在，t=l

【分析】(1)当四边形PHCQ为矩形时，PH=CQ,利用相似三角形的性质求出PH,CH,构建方程求解即

可；

(2)证明〜AABC,由相似的性质得出，整=整，由此构建方程求解即可；

ABBC

(3)根据矩形4BCD的面积是四边形PHCQ面积的工，构建方程求解即可.

【详解】解：(1)AB=3,BC=4,

••・AC=V324-42=5,

由题可得：4P=3CP=5-t,CQ=2t,

,・,四边形4BCD是矩形，

••・乙B=90°,

♦:PH1BC,

・・・Z.CHP=LB=90°,

•・・Z,PCH=乙ACB,

PCH~&ACB,

PHCHPCPWCH5-t

:.—=—=—,H即n一=——=---,

ABCBAC345

...PH=|(5-t),CH=^(5-t),

当四边形PHCQ为矩形时，PH=CQ,

3

|(5-t)=2t,

解得：t=K，

.•.当t=!|时，四边形PHCQ为矩形；

(2)存在一个时刻，使HQJ.4C,

当HQ1AC时，/-QHC+^ACB=90°,

VABAC+乙ACB=90°,

・•・(QHC=Z.BAC,

•・•乙HCQ=ZF=90°,

HCQ~&ABC,

...生=丝，B|JCHBC=AB-CQ,

ABBC

4

・•・g(5—t)x4=3x23

解得：£=挤

.•.当时，HQ1AC；

(3)存在，

由题意得：3x4=[2t+1(5—t)]xg(5—t),

解得：t=1或t=/(舍去)，

・••当”1时，矩形48CD的面积是四边形PHCQ面积的条

【点睛】本题属于四边形综合问题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识点是

解决本题的关键.

5.(2022・上海•九年级专题练习)已知：矩形ABC。中，AB=9,AO=6,点E在对角线AC上，且满足AE

=2EC,点尸在线段8上，作直线尸E,交线段AB于点M,交直线BC于点N.

(1)当CF=2时，求线段BN的长；

(2)若设CF=x,ABNE的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

(3)试判断能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值.

【答案】⑴吁10；⑵”箸，0<x<3；y=*3cx<45⑶x=2或涉最

【分析】(I)由4BIICD得△CFES2XAME,4NCFs^NBM,进而求得；

(2)分为0<x<3和3<犬<4.5两种情形，作EG,8c于G,根据三角形相似求出EG和8M

(3)分为BM=BE,EM=BE,EN=8M三种，可根据8M=9-2CF求得.

【详解】解：(1)如图1,

在矩形ABCD中，BC=4Z)=6,AB\\CD,

：.4CFEs/\AME,ANCF^/\NBM,

.CF_EC_1CF_NC

•・AM一4E一2一~NB'

，AM=2CF=4,

：.BM=AB-AM=5,

.2_BN-6

•・5-BN'

：.BN=10；

(2)当C广=8M时，MFWBC,此时△BEN不存在,

・♦・CF=9-2CF,

ACF=3,

当点M和3点重合时，

AB=2CF,

-45

・••分为0<x<3和3<x<4.5,

如图2,

；v

图2

当0<x<3时，

作EG_LBC于G,

由（1）知，

EG=3,AM=2CF=2x,

：.BM=9-2x,

由CF_NC得._BN-6

士嬴一而1寸'9-2x-BN

：.BN=18-4%

3-x

：.y^-BN-EG

-2

-1Ex

------------------XD

23-X

6X-27

如图3,

当3Vx<4.5时,

崂喏得，

BN___9-24

BN+6~X

...CN=2（9m）

X-3

•—3

27-6。

x-3

(3)如图如

.CGEG1

••—=----——

CBAB3

...CG=#=2,

:・GB=CB-CG=4,

:・BE=5,

当BM=BE=5时,

9-2x=5,

•・x=2,

作于〃,

，BM=2BH=2EG=6,

・・・9-2尸6,

・・・%=一3，

2

作于”,

5EG3

在放中,BH^BEcos^MBH=cosZBEG=—=

2BE5

5

・nixBH225

・・BM=--------------=4=—

cos乙MBH-6

•MT

・一29

•*X-------

12

综上所述：x=2或|或工•

【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确

引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键.

6.（2021・全国•九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为1.5m2,一条直角边48为1.5m,怎样才能把

它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位

木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.

（甲）（乙）

【答案】乙木匠的加工方法符合要求.说明见解析.

【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合

要求：由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得

到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角

形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求.

【详解】解：作B”_LAC于H,交CE于M,如图

ABC=—=2

1.5

'：AC=y/AB2+BC2=V1.52+22=-

2

：.ShABC=lAC-BH

：.BH=-

5

DE//AC

•..-D-E-=--B-M-

ACBH

设正方形的边长为工米，如图乙

■:DE//AB

.DECD

>,——=----

ABCB

号，解得x=T

,,1.5

・・6、30

737

乙木匠的加工方法符合要求.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立

数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键.

7.(2021.江苏.扬州市梅岭中学九年级阶段练习)如图，在平行四边形48co中，乙4OB=90°,AB=10cm,

AD=8cm,点P从点。出发，沿D4方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运

动，速度为lcm/s.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作交AB于点E,连接PQ,交BD于

点F.设运动时间为t(s)(0<t<4).解答下列问题：

(1)当t为时，PQ//AB2

(2)连接EQ,设四边形APQE的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式.

(3)当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？

(4)若点F关于4B的对称点为V,是否存在某一时刻3使得点P,E,尸三点共线？若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)3(2)y=--t2-3t+24；(3)V5-1；(4)g.

【分析】(1)由题意得，尸。〃/18,则四边形用BQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得A尸=80,即

8-2/=/,解方程即可求解；

(2)过点。作。交AB的延长线于点”，由勾股定理求出8。=6,证明根据相似

三角形的性质可得。，=白，根据平行线分线段成比例定理可得整=名可得出8E="，根据y=S期修

5ADADZ

即可求解；

(3)先证HMAPESAAB。，根据相似三角形的性质可得差=笫可得PE=61t,根据线段垂直平分线的

性质得EQ=PE,由(2)得QH=|t,可得出根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2,列出方程即可求解；

(4)连接尸尸交A8于点N,由对称及平行线的性质可得由等角对等边得EF=FB,则BN=

EN=gBE=：t,再证△DPF^/XBQF,可得DF=2BF,可求出BF=2,然后证明4BNF^/XBDA,根据相

似三角形的性质即可得f的值.

【详解】解：(1)；四边形A8C。是平行四边形，

：.AD//BC,

若PQ//AB,

・・・四边形以BQ是平行四边形，

：.AP=BQ,

/.8-2/=1,

..弋，

当暂时，PQ//AB；

故答案为：|:

(2)如图，过点。作交A8的延长线于点H,

408=90。，

/.BD2=AB2-A£>2=100-64=36,即BD=6,

•••四边形ABCD是平行四边形，

.'.AD//BC,

：.ZA=ZQBH,

又；NADB=NBHQ=9。。,

二△ADBsABHQ,

.BDABnfi610

••—,,

QHBQQHt

・・.QH=|t,

■:PE//BD,

,DPBE2tBE

••--=，nn,

ADAB810

：.BE=-t,

2

2

：.y=S四边形APQB-SABE*(8-2t+t)x6-|x|tx|t=-|t-3t+24:

(3)如图:

■:PE//BD.

：.ZAPE=ZADB,

VZA=ZA,

・・・△APESAADB,

.PEAPPE8-2t

..—=——,aRnJ-=--，

DBAD68

3

：.PE=6--t,

2

;点E在线段PQ的垂直平分线上，

3

：.EQ=PE=6-^t,

由(2)得QH=|t,BE=|t,

22

:.BH=y/BQ-QH=Jf2-(|)2=lt)

4533

：.EH=BH+BE=-t+-t=—t,

5210

Rt4EQH中,EH2+HQ2=E^,

:.舄t)2+(|t)2=(6-11)2,即内2-4=0,

解得：=V5-1,t2=—V5—1<0(舍去)，

...当仁西一1时，点E在尸。的垂直平分线上;

(4)连接FF交AB于点、N,

•・•点/关于AB的对称点为尸,

:・/FEB=/FEB,FN工EB,

丁点尸，E,尸三点共线，PE//AB.

：.NFEB=/ABD,

：./FEB=/ABD,

:・EF=FB,

：.BN=EN=-BE=-t

24ft

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

：./DPF=/FQB,

■:DFP=/BFQ,

:ADPFSABQF,

.DFDP

••—=2o,

BFBQ

：.DF=2BF,

：・2BF+BF=6,

：.BF=2,

•：4FBN=/ABD,/FNB=NADB,

:•△BNFS/\BDA,

・BNBD

♦•_——__，

BFAB

•4解得：仁全

，存在某一时刻r,使得点P,E,广三点共线，，的值为黄.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，

多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

8.(2021•浙江・温州市南浦实验中学九年级阶段练习)如图，A。是aABC的外角NE4C的平分线，与△ABC

的外接圆。。交于点。，连结80交AC于点立

(1)求证：BD=CD.

(2)若N8AC=60°,BC=3,当AF将△ABO的面积分为1：2两部分时，求△AOF与△B”的面积比值.

(3)将C点关于AO的对称点记为点C,当3C=b8。时，写出4。与半径,•的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)见详解；(2)京号(3)AD-r,理由见详解

【分析】(1)先推出NE4O=NC8。，再根据圆内接四边形的性质可得NEA£>=N8C。，进而即可得到结论;

(2)由题意可得3尸=2,或BQ1,DF=2,分两种情况：①当8F=2,DF=\Rj,过点。作CMLBQ,

②当BF=l,QF=2时，过点。作CN，3O,结合相似三角形的性质，即可求解；

(3)由题意可知点C在AE的延长线上，连接CD,过点。作。连接4。,。。,从而可得NA8D=30。,

进而即可求解.

【详解】(1)证明：・・・AQ是△A8C的外角NE4C的平分线，

：.ZEAD=ZCAD,

♦：/CAD=/CBD,

：.ZEAD=ZCBD,

•・•四边形A8CD是。。的内接四边形，

：・/EAD=/BCD,

：.4CBD=/BCD,

:.BD=CD；

(2)VZ^AC=60°,

・•・ZBDC=60°,

•:BD=CD,

•*.△BCO是等边三角形，

工BD=BC=3,

・・•A/将△ABD的面积分为1:2两部分,

:・BF=2,D/=1或8/=1,DF=2,

当8尸=2,力尸1=时，过点C作CMJ_8O,则8M=1.5,MF=Q.5,CM=|b,

VZADF=ZBCF,NAFD=NBFC,

：.AAFDBFC,

.•.△AD尸与△8b的面积比值=(引2=俱)2=}

当BF=1,£＞尸=2时，如图，

同理可得：CN=|V5,NF=0.5,CF=J(竽)2+(/=夕,

.♦.△AZ)/与△BCF的面积比值=(|7=停了=i,

综上所述：△尸与△8CF的面积比值为］或%

(3)是△A8C的外角/E4c的平分线，C点关于AO的对称点记为点C1

...点。在AE的延长线上，连接C7),过点。作OMJ_3C,连接A。，DO,如图所示,

:.B"CD=C'D,BM=-BC,

2

'：BC'=y/3BD,

即：cosABD—,

2Z=2

：.NA8ZX30。，

，400=60。，

是等边三角形，

•\AD=AO=r.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，添

加辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

9.(2022•上海•九年级专题练习)已知：如图，四边形A8C。是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=

A8,点尸在AE的延长线上，CE和。尸交于点M,8c和。尸交于点N,联结BD

(1)求证：△BNDs^CNM；

(2)如果AQ2=AB.AF,求证：CM,AB=DM,CN.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用平行四边形的性质得A8=C£）,AB//CD,再证明四边形3ECZ）为平行四边形得到BD//CE,

根据相似三角形的判定方法，由CM〃/58可判断△BNDs^CNM；

（2）先利用尸可证明△则/1=/尸，再根据平行线的性质得NF=N4,N2=N3,

所以N3=N4,加上NMWC=NCA/Q,于是可判断△MNC^^MCD,所以MC-.MD=CN：CD,然后利用CD=AB

和比例的性质即可得到结论.

【详解】证明：（1）♦.•四边形A8C。是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD,

而BE=AB,

:.BE=CD,

而BE//CD,

二四边形BECD为平行四边形，

.,.BD//CE,

,JCM//DB,

：./\BNDs丛CNM；

（2）'：AD2=AB>AF,

：.AD：AB^AF：AD,

而阳。，

.♦.N1=N尸，

'：CD//AF,BD//CE,

：.ZF=Z4,Z2=Z3,

，N3=N4,

而NNMC=NCMD,

：.4MNCS〉MCD,

：.MC-.MD=CN：CD,

:.MC・CD=MD,CN,

而CD=AB,

【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相

似三角形.在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长.也考查了平行四边形的判定与性质.

10.（2021•四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1,在正方形ABCQ中，点E是8上一点（不与

C,。两点重合），连接8E,过点C作C”,BE于点凡交对角线BD于点G,交AD边于点H,连接GE.

（1）求证：CH=BE；

（2）如图2,若点E是C£）的中点，当BE=12时，求线段GE的长；

（3）设正方形A8C。的面积为S/,四边形的面积为S2,点E将CD分成1：2两部分，求却的值.

S2

【答案】（1）见解析（2）4（3）5或8.

【分析】（I）可得NCHD=NBEC,根据A4S可证明A即可求解；

⑵由三角形全等与平行线的性质，可得警=整="则GC=2GH,可求出GH的长，故可得到GE的长;

CBCG2

（3）点E将8分成1：2两部分得到幅=/②需=：，再分别得到S,和52的关系进行求解.

【详解】解：（1）•••四边形A8C。是正方形，

：・CD=BC,/HDC=/BCE=9(f,

・•・ZDHC+NOC〃=90。，

•：CH_LBE,

：.ZEFC=90°,

:・NECF+NBEC=90。,

ZCHD=/BEC,

:•△DH8/\CEB(A4S),

:.CH=BE；

(2),:△DHgXCEB,

:.CH=BE,DH=CE,

■:CE=DE=*D,CD=CB,

2

：.DH=^BCf

*：DH\\BC9

DGH〜△BGC,

•..—DH=—GH=—1,

CBCG2

：.GC=2GH,

设G〃=x,则，则CG=2x,

A3x=12,

/•x=4.

即GH=4

•:DH=DE,NHDG=NEDG=45。,DG=DG

：./\HDG^/\EDG(SAS)

:.GE=GH=4；

(3)点E将CO分成1:2两部分

则啸岩，啸号

竿H时，

♦：DH=CE,DC=BC,

•.•DH=_一1，

BC3

VDWHBC,

DGH〜&BGC,

.PH_GH_i

♦•访W，

・S&DGH_£S^DGH_£

S&BCG9'S^DCG3'

设S.OGH=m则SJ?CG=9Q,SQCG=3a,

**•S^BCD—9a+3(2=12a,

：.Si=2SABCD=24af

■:SADEG：SACEG=2：1,

：.SADEG=2af

•e•S2~2a+a=3a.

*••Si：S2=246f：3a=8.

端=1时，

♦：DH=CE,DC=BC,

.PH_2

••=—，

BC3

VD//IIBC,