2025年高考数学一轮复习-第四章-第四节-第3课时-导数的不等式问题【课件】

第3课时导数的不等式问题核心考点·分类突破第四章一元函数的导数及其应用【命题分析】导数中的不等式证明经常被考查,常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合,题目难度较大,解题方法多种多样,如构造函数法、放缩法等,针对不同的题目,采用不同的解题方法,可以达到事半功倍的效果.核心考点·分类突破

解题技法

作差法构造函数,证明不等式的策略(1)待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数;(2)有时对复杂的式子要进行变形,借助所构造函数的单调性和最值求解,利用导数研究其单调性和最值.对点训练

已知函数f(x)=x+xlnx,求证:f(x)>3(x-1).【证明】令g(x)=f(x)-3(x-1),即g(x)=xlnx-2x+3(x>0).g'(x)=lnx-1,由g'(x)=0,得x=e.由g'(x)>0,得x>e;由g'(x)<0,得0<x<e.所以g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(e)=3-e>0.于是在(0,+∞)上,都有g(x)≥g(e)>0,所以f(x)>3(x-1).

[例2]已知函数f(x)=elnx-ax(x>0).(2)当a=e时,证明:xf(x)-ex+2ex≤0.

解题技法1.当直接求导后导数式比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量.在证明过程中,等价转化是关键,此处g(x)min≥f(x)max恒成立,从而f(x)≤g(x)恒成立.2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点,一般地,ex与lnx要分离,常构造xn与lnx,xn与ex的积、商形式.

考点三放缩构造函数证明不等式[例3]f(x)=ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;【解析】(1)由f(x)=ex,得f(0)=1,f'(x)=ex,则f'(0)=1,即曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=x-0,所以所求切线方程为x-y+1=0.

[例3]f(x)=ex.

(2)当x>-2时,求证:f(x)>ln(x+2).

则当-2<x<-1时,h'(x)<0,当x>-1时,h'(x)>0,即h(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,于是当x=-1时,h(x)min=h(-1)=0,因此x+1≥ln(x+2)(当x=-1时取等号),所以当x>-2时,f(x)>ln(x+2).解题技法

放缩法证明不等式的策略导数方法证明不等式的问题中,最常见的是ex和lnx与其他代数式结合的问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和lnx进行放缩,使问题简化,简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号;(2)lnx≤x-1,当且仅当x=1时取等号.

所以φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以φ(x)min=φ(1)=0,所以φ(x)≥0,所以f(x)≥φ(x)≥0,即f(x)≥0.方法二:令g(x)=ex-x-1,所以g'(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=0,

【加练备选】

(2023·南充模拟)已知函数f(x)=ax-sinx.(1)若函数f(x)为增函数,求实数a的取值范围;【解析】(1)f(x)=ax-sinx,所以f'(x)=a-cosx,由函数f(x)为增函数,则f'(x)=a-cosx≥0恒成立,即a≥cosx在R上恒成立,因为y=cosx∈[-1,1],所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).

(2023·南充模拟)已知函数f(x)=ax-sinx.

(2)求证:当x>0时,ex>2sinx.【解析】(2)由(1)知,当a=1时,f(x)=x-sinx为增函数,当x>0时,f(x)>f(0)=0⇒x>sinx,要证当x>0时,ex>2sinx,只需证当x>0时,ex>2x,即证ex-2x>0在(0,+∞)上恒成立.设g(x)=ex-2x(x>0),则g'(x)=ex-2,令g'(x)=0解得x=ln2,所以g(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(ln2)=eln2-2ln2=2(1-ln2)>0,所以g(x)≥g(ln2)>0,所以ex>2x成立,故当x>0时,ex>2sinx.重难突破

泰勒公式在比较大小的应用

比较大小的选择题是近年高考的常见题型,一般情况下我们会构造函数模型代入数值进行比较和运算,但是对学生来说函数模型的选择是非常有难度的,因此在选择题中我们可以选择利用泰勒公式计算近似值的办法进行比较大小.

解题技法通过以上示例可以看出,利用泰勒公式近似计算求解难度比较大的试题确实可以提高解题速度,运用该法的难点是要利用数字特征构造对应的函数.对点训练1.已知a=e0.02,b=1.02,c=ln2.02,则(

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