初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习5.3 诱导公式（教师版）

5.3诱导公式【知识梳理】知识点三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限【基础自测】1．已知sin(π＋α)＝eq\f(3,5)，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是()A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．±eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)【答案】B【详解】因为sin(π＋α)＝－sinα＝eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5).又α是第四象限角，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(4,5).2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值等于()A.eq\f(2\r(2),3)B．－eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)【答案】D【详解】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).3．sin585°＝.【答案】－eq\f(\r(2),2)【详解】sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2).4．化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝.【答案】sin2α【详解】原式＝(－sinα)(－cosα)tanα＝sinαcosαeq\f(sinα,cosα)＝sin2α.5．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝.【答案】eq\f(5,2)【详解】原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝1＋1＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).【例题详解】一、给角求值例1计算下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用诱导公式将代数式化为的三角函数值，计算即可；（2）利用诱导公式将代数式化为和的三角函数值，计算即可.【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】本题考查利用诱导公式化简计算，体现了化大角为小角、化异角为同角基本思想的应用，考查计算能力，属于基础题.跟踪训练1计算下列各式的值(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据对数的运算及诱导公式和特殊角的三角函数值计算即可；（2）直接利用二倍角的正弦公式计算即可.【详解】(1)解：原式；(2)解：原式.二、给值(式)求值例2(1)已知，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系计算出，再由诱导公式计算可得.【详解】,∵，，，故选：A.(2)已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，然后利用诱导公式求解即可.【详解】设，则，故．故选：B跟踪训练2已知为锐角，若，则________．【答案】【分析】根据为锐角，可求出，从而结合可判断出为钝角，然后根据同角三角函数关系式可求出，再运用诱导公式即可求出的值.【详解】因为为锐角，所以，又因为，所以为钝角，所以．所以．故答案为：.三、化简求值例3已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由,可以利用诱导公式计算出,再根据角所在象限确定,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式,所以;(2)由诱导公式可知,即,又是第三象限角,所以,所以.【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.跟踪训练3已知.（Ⅰ）化简；（Ⅱ）已知，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）-2．【详解】试题分析：（Ⅰ）5分（Ⅱ）10分考点：三角函数化简求值点评：三角函数化简主要考察的是诱导公式，如等，本题难度不大，需要学生熟记公式四、诱导公式的综合应用例4(1)已知α为第二象限角，化简=________【答案】-1【分析】直接利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的化简，变换是解题的关键.(2)已知锐角终边上有一点，则______.【答案】【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式，求得的值，根据为锐角求得的值.【详解】根据三角函数的定义可知，，由于所以，所以.故答案为.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.跟踪训练4(1)已知为第四象限角,化简,________.【答案】【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意为第四象限角，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.(2)在△ABC中，若，，则A=________【答案】【分析】由条件利用诱导公式化简可得：，，两式平方相加可解出，进一步求出角.【详解】由，得

(1).由，得

(2).由得：,即.由(2)和为三角形的内角，可知角均为锐角，则.所以.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式化简和同角三角函数间的基本关系，属于中档题.【课堂巩固】1．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据角的配凑，得，即可求解出答案.【详解】由题意，故选：B.2．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知求得，再由诱导公式可求得选项.【详解】因为，且，所以，所以，又，故选：D.【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值型问题，关键在于得出所求的角与已知角之间的特殊关系，求解时，注意尽可能缩小角的范围，以便确定三角函数的值的符号.3．已知角，角，终边上有一点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式及三角函数的定义可求.【详解】点到原点的距离为1，故即为，由诱导公式得，，故，又，则，结合可得．故选：A．4．若是第三象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，由可求得值【详解】设，所以，由于，所以，因为是第三象限角，所以为第三或第四象限角，所以，故，故.故选：B.5．的值是___________.【答案】【分析】根据诱导公式直接求解即可.【详解】解：故答案为：6．若，则a，b的大小关系是______（用“>”连接）【答案】【分析】先利用诱导公式将角化为，即可求出值，得出大小.【详解】，.故答案为：.7．已知函数，若，则_________．【答案】【分析】利用指数幂的性质及诱导公式得到，从而得解.【详解】因为，易得定义域为，所以，故，即，所以.故答案为：.8．已知钝角终边上一点的坐标为，则________.【答案】【分析】先根据任意角三角函数定义得到，再结合诱导公式及角的范围得到的值.【详解】因为，又因为角为钝角，所以.故答案为：9．利用公式求下列三角函数值:(1);(2);(3);(4).【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.【详解】(1);(2);(3);(4).【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号.10．计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】利用诱导公化简求解即可【详解】解：（1）（2）11．已知角是第三象限角，且．（1）化简；（2）若求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）

（2）

（3）【分析】（1）由条件利用诱导公式与同角三角函数的基本关系化简即可得结果；（2）由条件利用诱导公式求得，根据角是第三象限角,利用平方关系求得的值，可得的值；（3）由，利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可..【详解】（1）.（2）因为所以，又角是第三象限角，所以所以（3）因为，所以【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.这种题型难度度不大，却容易出错，特别利用诱导公式时要注意确保符号的正确性.12．已知为第二象限角，．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由诱导公式以及同角平方和关系即可求解，（2）根据诱导公式化简，由第一问的结果代入即可求解.【详解】（1），因为为第二象限角，∴．（2）∵，∴【课时作业】1．记，那么A． B． C． D．【答案】B【详解】,,从而，，那么，故选B．2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合，根据诱导公式求解即可.【详解】解：因为，，所以故选：D3．已知为锐角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平方关系计算出，再由诱导公式得出答案.【详解】由为锐角得，所以，.故选：C.4．已知（且为实常数），若，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先得到的解析式，然后可得，再由诱导公式可得，所以可得，结合得到答案.【详解】因为（且为实常数），所以，所以可得，而，所以，而，所以可得，故选C.【点睛】本题考查函数的奇偶性，三角函数的诱导公式，属于中档题.5．已知，且为第三象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题得，再解方程即得解.【详解】由题得，因为，所以，因为，因为为第三象限角，所以.所以.故选：C6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式，结合同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案.【详解】因为，则,故选:D．7．已知，则的值为（

）A．2 B．1 C．－2 D．－1【答案】C【分析】利用分段函数的解析式及诱导公式，分别求得的值，由此得到结果.【详解】因为，所以，，故.故选：C.8．有一个内角为的等腰三角形被称为黄金三角形，它的较短边与较长边之比为黄金分割比．由上述信息可求得的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出，其中，，计算出，然后利用诱导公式可求得的值.【详解】在中，，，取的中点，连接，如下图所示：由题意可知，且，所以，，所以，.故选：C.9．已知cos(45°＋α)＝，则cos(135°－α)＝________.【答案】－【分析】由诱导公式直接可得.【详解】因为，所以.故答案为：10．已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____.【答案】18【分析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值.【详解】由，可得，∴.故答案为：18.11．已知函数，若___________．【答案】5【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】解：因为函数，所以，即，所以，故答案为：5.12．已知角的终边经过点，将角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边，则___________.【答案】【分析】先由三角函数的定义求得，再利用诱导公式求得，进而求得.【详解】因为角的终边经过点，所以，则，又因为角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边，故，所以，故.故答案为：.13．（1）求值：.（2）已知角的终边上一点，且，求值.【答案】（1）2；（2）或.【分析】（1）根据三角函数诱导公式与特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据定义法求三角函数值的方法列出方程求解即可.【详解】（1）.（2）依题意有：即：解得：或即或14．计算的值.【答案】【解析】将、、代入所求代数式，利用诱导公式化简计算即可.【详解】原式.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，体现了化大角为小角、化异角为同角的求解策略，考查计算能力，属于基础题.15．(1)请化简：．(2)已知,,求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据诱导公式化简即可（2）计算的平方，分析的大小即可求值.【详解】（1）原式=（2）因为，两边平方得，有所以又因为