安徽省滁州市定远县2024-2025学年高三数学下学期第一次月考理试题含解析

Page21安徽省滁州市定远县2024-2025学年高三数学下学期第一次月考（理）试题本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得正确答案.【详解】，故选：D2.已知，复数（为虚部单位）为纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据复数的动身运算结合纯虚数的定义求出，从而可求出复数，即可得出答案.【详解】解：，因为复数（为虚部单位）为纯虚数，所以，解得，所以，所以，所以z的共轭复数的虚部为.故选：B.3.定义：设函数的定义域为，假如，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，依据单调性，可得，化简整理，可得，令，利用导数求得的单调性，分析即可得答案；当时，依据单调性，可得在上有两个不等实根，利用导数求得的单调性及最值，结合题意，分析计算，即可得答案.【详解】当时，函数在上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，所以，消去，得，令，则，当时，，所以在上是单调增函数，所以符合条件的，不存在.当时，函数在上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，即上有两个不等实根，设函数（），则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，所以，又，，故，即.故选：C.【点睛】解题的关键是探讨的单调性，依据题意，整理化简得到新的函数，利用导数求得新函数的单调性和最值，分析即可得答案，考查分析理解，计算求值的实力，属中档题.4.若非零向量、满意，且，则与的夹角为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据数量积的定义和运算法则即可计算.【详解】，，∴，.故选：B.5.祖暅是南北朝时代宏大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异.”其意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线中的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a，高为m的圆柱体后，所得几何体与底面半径为，高为m的圆锥均放置于平面上（几何体底面在内）．与平面平行且到平面距离为的平面与两几何体的截面面积分别为，可以证明总成立．依据上述原理，的双曲线旋转体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据双曲线旋转体的定义，结合双曲线的标准方程、圆柱和圆锥的体积公式即可求解.【详解】解：依题意，，，圆锥底面半径，即圆锥底面积为4π，由祖暅原理可知，双曲线旋转体体积．故选：B．6.“烂漫的山花中，我们发觉你.自然击你以风雪，你报之以歌颂.命运置你于危崖，你馈人间以芳香.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参与支教活动，要求甲､乙两个学校各支配一个人，剩下两个学校各支配两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的支配方案共有（）A.156种 B.168种 C.172种 D.180种【答案】A【解析】【分析】利用间接法来求得不同的支配方案的数量.【详解】依据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，支配到甲学校，有种状况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，支配到乙学校，有种状况，最终将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后支配到剩下的2个学校，有种状况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种状况，在剩下的4位志愿者中任选1个，支配到甲学校，有种状况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，支配到乙学校，有种状况，最终2个支配到剩下的学校，有1种状况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种.故选：A7.在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系化简计算题意中的等式，得出，即可得出结果.【详解】已知，由正弦定理，得，所以，有，由，得，，，，，由，解得，又，所以.故选：A.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数幂的性质比较各指数式的大小.【详解】由，又，而，故，综上，.故选：B9.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据函数的定义域及零点的状况即可得到答案.【详解】函数的定义域为，则解除选项、,当时，，则在上单调递减，且，，由零点存在定理可知在上存在一个零点，则解除，故选：.10.某校举办“中华魂”《中国梦》主题演讲竞赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，……，，详细分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别为（）A.，86 B.，87 C.，87 D.，86【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行过程，该程序运行后是计算5个数据的平均数，由此求出对应的结果.【详解】模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以i>5，由5个数据分别是78、86、85、92、94，计算平均数为故选：C11.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，依据长期生产阅历，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸听从正态分布，若落在内的零件个数为，则可估计所抽取的这批零件中直径高于的个数大约为（）（附：若随机变量听从正态分布，则，，）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据原则可求得，，依据概率计算可得结果.【详解】由正态分布可知：，，，，，，直径高于的个数大约为.故选：D.12.已知双曲线的方程是，点，为双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线相交于点P（点P在第一象限），若，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件求得的范围，然后结合勾股定理求得的不等关系，从而求得离心率的范围．【详解】由题意，所以，又，即，所以，整理得，所以，又，故解得．故选：D．第II卷非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知恰好有三个零点，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数（x∈R）的图象，在同一坐标系内再作出（x∈R）的图象，由图象可知f（x）有三个零点时实数a的取值范围．【详解】当时，，，故在上单调递增；当时，，由可得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数（x∈R）的图象，

在同一坐标系内再作出（x∈R）的图象，

由图象可知要使恰好有三个零点，即函数f（x）的图象与x轴有三个交点，只需0≤a＜2，

故答案为：[0，2）.14.经过点且斜率为的直线与圆：相交于，两点，若，则的值为______.【答案】或【解析】【分析】利用勾股定理求出圆心到直线的距离，设出直线的方程利用点到直线的距离公式求出值.【详解】由已知条件得设直线的方程为，圆：的圆心为，半径为，由勾股定理得圆心到直线的距离为，即圆心为到直线距离为，解得或.故答案为：或.15.已知实数，满意约束条件则目标函数的最大值为______.【答案】4【解析】【分析】画出可行域，结合图像即可得出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故答案为：4.16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.【答案】-1【解析】【分析】由奇函数的性质可得，，结合条件求的值.【详解】由函数是定义在上奇函数得，，又当时，，所以，所以故答案为：-1.三、解答题(本大题共6小题，共70分.其中22、23为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列的首项，且满意.（1）求证：数列为等差数列；（2）若，求数列前n项和.【答案】（1）证明见解析;（2）.【解析】【分析】（1）由递推关系构造等差数列即可证明；（2）依据裂项相消法求出数列的和即可.【小问1详解】为常数,又,∴是以为首项，为公差的等差数列【小问2详解】由（1）得∴∴∴.18.某种植园在芒果接近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．（1）估计这组数据的平均数；（2）在样本中，按分层抽样从质量在，中的芒果中随机抽取10个，再从这10个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：全部芒果以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）387；（2）；（3）种植园选择方案②获利更多.【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图结合平均数的定义求解；(2)依据分层抽样的性质求出各层中应抽取的芒果的个数，求出样本空间中的基本领件个数和事务2个芒果都来自同一个质量区间所包含的基本领件个数，结合古典概型的计算公式求解即可；(3)分别计算两个不同方案下种植园的收入，比较大小确定所选方案.【小问1详解】由频率分布直方图知，各区间频率为，所以这组数据的平均数为：；【小问2详解】由题可知质量在，中的频率分别为0.2，0.3，按分层抽样从质量在，中的芒果中随机抽取10个，则质量在中的芒果中有4个，质量在中的芒果中有6个，从这10个中随机抽取2个，共有种等可能结果，记事务A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则事务A有种等可能结果，∴；【小问3详解】方案①收入：（元）；方案②收入：由题意得低于350克的收入：（元）；高于或等于350克的收入：（元）.故总计（元），由于，故种植园选择方案②获利更多.19.如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，由此得到，依据线面平行的判定定理可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】证明：取的中点，连接，，为中点，为中点，为的中位线，且；又，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，，，设二面角的平面角为，则，即二面角的正弦值为.20.已知椭圆C：的短轴长为2，椭圆上一点到两焦点的距离之和是6（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l方程是，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）过定点，【解析】【分析】（1）由题意得，，从而写出椭圆方程；（2）设直线的方程，与椭圆方程联立方程组，化简得一元二次方程，利用化简运算，同理得的方程，从而可得直线的方程，再由在上列式代入，即可求解出定点坐标.【小问1详解】由题意，，，所以，所以椭圆⽅程为；【小问2详解】设，，，设直线的方程为，，，，化简得所以，因为方程只有1解，所以，故直线MG的方程为，化简得，同理可得直线MH的方程为，因为两切线都经过点，所以，所以直线GH的方程为，因为，所以直线GH方程为，令，得，所以直线GH恒过定点【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．21.已知函数．（1）探讨的零点个数；（2）若，求证：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将问题转化为探讨函数在的零点个数，依据分类探讨即可；（2）将问题转化为，然后分别求最值，最终再作差比较即可证明.【小问1详解】由题意（其中），只需考虑函数在的零点个数．①当时，函数在内没有零点，②当时，函数在单调递增，取时，，时，，此时在存在唯一个零点，且．③当时，，则时，；时，．所以在上单调递减，在上单调递增.则是函数在上唯一的微小值点，且．取时，，取时，.因此：若，即时，没有零点；若，即时，有唯一个零点；若，即时，有且仅有两个零点．综上所述，时，有两个零点；或时，有唯一个零点；时，没有零点．【小问2详解】不等式即为（其中），先证时，．令，则，则单调递增，所以，则．所以，故只需证明即可．即证明（其中），令，，只需证明即可．又，，则时，；时，．所以在上单调递增，在上单调递减.则时，取得极大值，且，也即为最大值．由得．则时，；时，．所以在上单调递减，在上单调递增.则时，取得微小值，且，也即为最小值．由于，即有，则，所以时，不等式成立，则不等式也成立．【关键点点睛】解决第（1）问的关键是将问题转化，然后