高考数学三轮冲刺训练导数及其应用含解析

导数及其应用

从商号时导致的要求*黄公T个层次.一足看百子致公式.求号法则。号数的几何意义：

:虻5数的同手应用,包括求澳敷的啦遍区M、极值、最值等,二是嫁介号？E.如册宾讷散写点.

证明小等式.廿仗立问越、求参数越用等.除抵轴聘,同时在小题中也加以考合.11哎控耨在中等以

上应将冽是注盘第5数内容"传统内容中有关不躲式'致列、曲出用敦佳侬数以调性行机砧伶，&

计综介题.考件学4：灵活应用皎学皿识分析何趣、耐决何题的能力.

•'：'/-

I、基本初等函数的今数公式

⑴(/)=a'i«“为用&:

(2)U0*=a'lna(ir>0II^1).

<3)(1UK-A>'4OKQ=J.(a>0.flaWDi

⑷ST=。'：

(5)(In*)'=-j

(6)(sin#)'-c<>s_xt

(7)<cos*)'=—sin_x.

2、SIS的运铮法则

(I)Kflx)±g<A)3'=/'(x)±/U>,

(幻Kr(力・Ex)2'=rCr)E外+N心丁(6:

0闿=3叫泮，回—

3,里合画数的。数

r=/<u).u=«jr+Z>.则/.—)•',u',.即/

(1)Ffi线的单调件

在某个区间脑，加内，如1!/(力>。.那么函数尸=列月)在这个区间内的调递增；加果

ru)(o•那么函数，=外小在这个区间内单词递*i

(2)而致他极值

别断”力是极伯的方法

一•般地，当的数/"(力在点》处逢续时.

①如果在M附近的左侧r(JV)X>.fCr)«)•骷么rCrJM：极力值I

②如果在&PH近的左侧r(x)<o,右蚪r“)*,那么八』,)是极小值.

求可导函数的极值的毋骤

①求Cr)：

②求方程/'(6=0的根：

③检在r(外在方程a)=。的根的左方的㈣十散他的内号.仙梁左止右仇.堞么八*)在这个

机处取出极大f0；如果左负右止,H；么八*)口这个根处取得槛小泉.

(3>ffittffjfifft

⑴在用X向Ra,塘上连续的的数，3IX.杨上名打最大值q最小也

(2)若丽数八力在ka,A3上单调通增，则八力为诵数的数小值，八万为谶散的附大依；心眼致

《T—1上单调递减,则〃面为南故的最大假.”而为饱敛的心小值.

(3)设消数八力壮Ra,gl.iiS.在(部6内可导.求Ztr)在口小附上,的最大值和最小值的

那费如下：

①求N-)在区间脑，a内的极伯，

②科/■(力的各税值与「“)’八所进行比收,其中般人的一个炖最大值，最小的一个是属小值.

(4)方法技巧

1、利用导致的符号来刊斯函数的单调性：

2,己知函数的单调性求的数范用"J以粘化为不等式归成立问过：

3.八力为增函数的充要条件是对任意的xGQ.毋都有/CONOll在(&.a内的任-聋空子区

同上/(*)W0.应注意此时大手中的等号不能省略.否则温W.

(1)导由数的零点并不定就是函数的微ffl点.所以在求出寻访数的零点后定要注意分析这个零

点是不是响数的极值点.

(2)若函数y-八办在区间(小加内行极值.察幺尸=八,)在<小时内绝不是单调的数•即在某区

间上单调随数没育极KL

(1)求解雨散的最值时.笠先求两数.r=/(0在以内所有使尸(*)=。的点.再计尊用数

=〃,)在区H内所有使F6)=0的点和M加端点处的的或俏.G后比税即存.

(2)可以利用列表法研完函数在一个区间史的变化情况.

电税推理是得到数学结论，构建数学体系的E签方式，是数学产谓性的肥本保证.利用两个经典不

等式解决问应.仆低了思考问地的推变.优化「推算和运H过用.

(D对技形式：x5141nx(*>0).当H仅当*=1时.等号成立.

(2)指数形式：e,^x+KjrGB).当且仅当r=0B-J.等号成立.进一步可用到一组不等式琏:

e'>x+l>i>l+lnx<x>Q.A4*1).

2、一般地，若a)/Lr)对tuHH成立.则只需苏>八力“：若小八。对*e例H成立.则只苕小〃力~

若存在&G4使a”tr.)成立，则只高心人力.“1若存在刖G",住豕，CrJ成立,则只需豕八&)-.

由此构造不等式，求懈舂收的取位市阳.

・技工二缶

K分类讨出法：常见有曲肿情况.仲光利用抗介法.州台杼糜皎牛点之间大小关来的决定条

件.确定分类讨论的标准,分类后.洌断不川X何南数的埴调M.得到ZrX忙构造不等武求解：»

一种.在接逋过挣旧数的我f.石出导的数值小位的分臭机准.遇京9的数为二次乐故或占一次病

ft.

郎小：求解参数隹用时.股会涉及分离出数法,博利庆区中很少林到分离参数后构造的新舟

故傕1/1接求出/色丹的情次,通常布雯戊出导的数的零八.&度较大.

K判断,证明或讨论函数号内个数的〃掠2利用零点在在性定理!的怎付为函数图象占区间

K«.*3上是连续不断的曲线•且f（疝•武阶”.①直接法「判断一个零点时.若丽餐为单调的

a.MHSttffiOJA«）•/XAX0,@」11；2法，灯好几力零点时，胃夔尤结合单调性.鼐定分

类时论的标准，H利用零点存在懂定庠，在每个单调区间内取的if用：.，一.♦川9.

2、数学慢里及数学佳模

数学模型就淤把实际阿爆用数学语言拙故微括.再从数学角度来反映诚近似地反映实际问甥

时.所得出的关于实际问题的数学描述.

教学建慢是妃女林问也加以独显概括，建立和网的横型,利用京叫呼掣束研究实物何也的-e

数学方法.

3、常见的曲数模型①一次诂数；②：次曲数：③指（对）蛛曲般.罂由政.

三种增K型曲数模型的性质

由数

件防y=a'(a>l)y=Joff.x(a>l)y=x(nX»

在（0・十8）上的冷减

单调通用单调递增中调逋馆

性

增K速4越束越快越来越憎相时平稔

Klx的塔大逐渐表现随X的增大逐旗发现刖n伯变化面各有不

图像的变化

为与y釉平行为与X轴平行同

存在•个。・当x〉x.

值的比12

时.有/但<x”<a'

•R解函数应用JB的步修

第七：阅读理赭题比.读题或做到逐字逐句，读惮题中的文字叙述,理好艮述所反映的实际

ffBt.在此帮础上,分析出一知什么.求什么.从中提域IH相应的数学问牌.

第一步，引用数学符号.ST在数学根里.一般堆.设白堂贵为x.画攻为y.必奥时引入其他

相关辅助变1ft.并用x.y和辅助变出表示不相关量.然后根据已知条件.运HI已掌理的数学知

UI.物理知识及应他相关加识建，工关第式.在此展础上用实际何电转化力•个的数时型.实现日晒

数学化，即所谓隹立数学模型.

第：步：利用教学的力法笥抖到的常设懵数问理（曲数学校堂）予以解谷.求得必果.

第四步：将所得结果再於译成H体问即的蝌答.

♦-W；一0Tie”

Ke-r■清

惟防54-------------------1—*

I.南数/(XI«.r'-2x'的图像6,•?.>(1./<1»处的切线方程X

A.y=-2A-1B.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

E答TUB

:聊忻…/(x)=x'-2x、.../(x)=4.i'—6.d..J(l)=-L/(I)--：.

川此,口U、切线的方限为F+1=-2(x-l),即y-2x+l

故选：B.

2,苒口蛾/与曲线尸J7和八厂g都相UJ・则/的方程为

A.尸2rHB.>«2J+—

《答案》D

■I,、=返上的切点为(耳.灰］.则，>0

语狼),=G纲导数为>'=京.1-k=2^

线“，，.''一«二+:=«).

,,|A.1

!.：Ci找/，刈r+y-=7归划・蚪Z

5小+为爽

陷边干方"-4x,,-l=0.解制％=1.S=-g(含，

僧在找/的方科为x-2»fI=0.|Hy='x+1.

22

故i心0.

3.已知曲线y=oe*+xln.t注点(I,4)处的切技方程为产2》几则

A.u=e.fr=-lB.tt^,归I

b[>.<<t-e1./>=-1

K答*11D

£科HOVinx+1.

把*率—=刖+1=2,.•."=5，

!：il.l»、-lr+b,得2+力=1•力=-l

故选I).

.<I

4,已知awK,设函数/«月)=---，"+-〃•*；；若为于X的不等式，（力204R上恒成也.

x-fllnx.

则。的取值葩图为

A.[0.1]B.[0.2]

C.[0.e]D.[l.e]

Kff案DC

&顺||.v=|H：./(I)=l-2tf+2fl=l><)、、，：

-i*<IH.fix)=x2-2ar+2«>O-o2a>y-j怕或。

x*(I-x-1)*(1-AT)--2(1-x)+1

”⑶=-1r——rr

\l-x=^-.；.x=o时取等小

:.la之内力­=0.l<a>0

•；x>lii./(Al=x-zdn.r>0,UW」-，—.

In.r

令仅x)=±,则似幻=ln.r-1

In.r(Inxf

:圈旧

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》一：

解a//VO.1-»>0.b■ibl)•则，》一1•”0.

ttftc.

6、曲段丁=3(/+工把'在点(OQ)处的切战方程为.

/£3x7=0

E鼾Hi：，>,'=3(2x+1圮'+*/+.5'=3(/+311把'，

。以切线的；：：<=)1》=3.

则自线y=Y/rXZ‘@°)处的般方仟为k3,[J3K7=°

4

7、在平面也向电标累MX中，/是曲皎>=*+—。>0)上的一个动由.用点小到直彼*+y=OM

x

跖离的0小俵可▲.

K答«3<

EW析，由y=x+±«x>。)，得_/=1-2，

XX6

44

■舒步•为-I的ft线'J曲线y=x+-(x>O»tflJ<%,%♦—>,

x/

4

1I一了=7/5=01=-J2,VA.

/.p'ay=r+4(x>0).P(£,37^j•.侬X+F=O的E大/小.一小他修

7P+if

故答案为4.

8.“函数/(x)=e'+«e*为常数).Kf(.T)为奇函数.则一,占。(x)是1上

的姑的数.则“的〃值粗憎是.

K芥案3—1(F。］

。”11.“rn」mL「”的忸湃式,*比电相。的值."仃利用/"(X)20

得”的取值期礼

/^tt/(.v)=c*+flc，为毋快轨.则/(一\)=一/(1).即c'+m'=-(c’+AC').

!!|J(«+l)(e'+e")=()*「，i”归心.，,

则a+l=0.^o=-l.

工怵也/(x)=e'+〃e'，¥R匕的蕾阙葭,因/'")=e'-ae-'NO/fRr/hib'c<.

即“Se”在RIr或-,

Ze;,>0.训“40

•".一i。］

9,己知油故/(x)=e'+ad-.r.

<nmg时,讨论/(*)的单两性:

<2)当时，r<j)含彳*+L求a的取｛ft范国.

E解析hI)*1时,>.则/”1:'

故与rWI--.0>时.r(x1<0t"nt(0.-->>f.,HrlX>.所以J-.在(-8.Qi

单调递M.在(o.+8)单调通墟.

(2)/<A»>^?+Ifi?J+X+IK<1

立就故^(x)=<^r'-af+x+l)e^x20).Ui

+二+1-；/+2<u-lieJ

■小-T%♦3M♦♦2)e

■.rtx-2a-lMx-2ie*

2

(i»心2h|W0,同aS-；.则当iO.Ll»t也所以g(.r)A<0.2)通涌仓巾.

而“0>=1,故昔卜€(0.2)时，ji(.r>?l.不合遛虫.

i.即-；<。<:，则。\七•।•'Ui.'；।■'：

2”寸，/(H，0.所以(0,24*1),(2,,8)电冏速M.在“32>用调道沿.木于K0W1,

■以K力w1当TL仅-2)M7Ta)-W1,HPa>宁.

*i—sa<-H.

42

(in)神2,UaN；,Wl/e：.gx'+x+llc

!lJ0e|^^i).rtlH：i)可在<：./+x“圮1.

422

故“a2：收.,；.<!-I.

绘I.”的取/应用；11P子,yc).

10.已知函数.〃.()="in?x、ir12K.

(】)讨论八。在区间(O・—的单调性：

(2)证明：|".叫S型：

O

《3>设”eN*,证明：sin.«in2,win:4A--sin*2*x<^7.

；MHi1•1)/Iv)=cnsrtsmrsin2x)4sinrlMnrsin2xY

2sinxa»s.rMn2r♦2MH*XO»2A

=2sinxsin3x.

号*«(0,5u卓皿时,rcdi*呜•争时・八箝<。,

rvill/(x)ffIXfH](a^h(^.rt)6阈此：—1呜4)单网逸网.

■21M7-//(0»=/(ni=0.ii1))切・〃x“l<niO.nmJJ：为。2)=羊，

38

般小值为。生）=-¥-向/■⑺足闾朋为x的周4/敏.牧3小¥

⑶由I(sin"in%・・rin，2•)

<|-y>eci(Yj->9rr,号-'''j>l>u

jiHl，JOBWDM6/•"；&，！.

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II

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E半⑴

・累安骑4、撕侑*Y)v^(*»/=•<w・八w+j・c"麻纲祖-ii

[=工(捻下»,Z.UK-IJ.UI*YUIS、j'%

,|(X1.,Z)/-UZJ/(X|/|S

I、匕rUIK|l(*,.r)/-(Xc)/<x>/||xUIS卜

I*，九UisNr,tUISX..Z,111s..-47,uisrtuis||ruis|=

|r.j,U!*a1,叫"•，叫£卜

故h.芥〃-个绝中i*M、人”的KW/CO所仃+/的，＜:亿法不入口.

12、已知函数"x)=x、HnMAcR，.广口)为“"的号函数.

(I)"iA=6时，

(i)求曲段,v=/(x)在点(】./(1))处的切故方M

川)求明数如X)二/⑴-/(幻+*的单调KM和松做；

X

(II)当1N-3时.求沛：对什怠的小是e[l,+8)・且凡>&.6

2

I解机JH1<HU=6iir./(x)=?+6IIIA.A-O=3A^+-Pl/⑴=|.

X

ni)-9.h,A!LsY=f(A).d./d)rV-|=9(X-!>.%V=9x-8.

(i>依曰i"^(.v)=x'-3xI+61nr+-.XG(O.+xjA：1?•^'(x)=3x;-6x+---。

XXX

,可制《3=史二詈士12.a/'3=o.w(!?x=i.

g'QxgCd的变化气况加卜夫;

X

(0.1)1(L-HO)

«*U)0-

■

J?(.o、较小值

所以.脸数8(*)的睢-GM何为(<M)・单谓4地区间为《L+®bg(x)的极小值为g(l)・l・

无棱大tft

(II>.IEW!：iti/(x)-r'+4lnx.^/'(x)=3r+--

对。.。的&,0€[1,4)11N>与.令」■=/(，>I).喇

(%-毛)(/(茂)*/(马))-2(，(匕)“小))

—(i)-Xj3i|!+—+3片¥—|-21X|'-x；+A-In:'；

=.v*-A'-3.V|".VI+3.V1.xi+«|―—，1-2^In—

«^(?-34*+3/-l)4lp-y-2ln/|.①

y/i<.r)=.r---21nx.x€[l,+x>).=!+=fI--)>0.lull.J?

XX'X\x)

Mx)在[L+ao)<iii增,所以”“>1时./»(n>h(h.^t---2ln/>0.

J

因为*221•z,-3/}+3/-l=a-IP>0.*>-3.

'VTU..t；(r,-3rI+3F-l)+4p-y-21nr|>(f?-3r+3r-l»-3jr-y-2lnrj

=f-3/3+6lnr+--l.

出，l>s)可知.'i/>ln：.g(r)>K(】).Kir'-3r2+6lnr+->1,

i

,Wf-3z^6liw+--l>0.

r

'I''!"(夕一&)(/'(3)+/'(.*2)卜2(/«卜/(七))>0.可以.M任

意的.,乎n.y)./同仆)—

2X\~~2

也已知函数/*)=12-./.

(I)求曲找y=，CO的羁率等广-2的切成方程：

<II)及曲纹F=〃H在点亿/«))处的切线与坐标场用成的：用形的面枳为S(r),求s⑴由

用小鱼.

E«析X'Iw>?/(x)-12-r,所以八"-一加.

设切点为(％.12-%),#1-2,^=-2,即&=1,所以切点为(L”).

'I'•I'.y-11=-2(x-1))2A+\-13=0.

<II>⑪然…，

','.v=/(A),(r.l2-/?|，，、・(l2")=-2r(x-j).

令x=0.IMv=rJ+l2,令y=0.得x=

2/

所-3=；咛+12).哥，

不妨涉，>。(，<0时.”-n).

,,入24八|441一”144、

'l!JllSc/(J)r—=一(，♦24r+-)•

4r4/

皿叱轲+24-号)=空当当

3(r-4M/?+I2)—)“+2*+12)

=---------------------=-----------------------------.

4-4r

山Ut>2,hS,(f)<0.|t!0<r<2.

<AS(i)(0.2)j^；.,(■(Z+oc)|.-fl.

所以/=2HS")取格及小h

也此最小伍由S(2)=Uy=32

o

11.已知1<。42,由数/卜)7・7・。・其中・=2,718除”是自上对数的底《(.

(1)证明।南数「・，(”在上有唯一零点：

(II)记M为函数y=〃*在(0.E上的零点.证明：

(i)Vo-I0^2(u-l)：

(ii)xtt/(e-'")2(e-lM«j-lk/.

；研机》I>1-*!<(».r(2)-e:2-42C-4>o.叩:电，■/⑶fi.(O.Y)在

作多点.

伙I为_ra)=*'T,所以巧”>0时.外月>0.故哂]〃外在2-)卜押网川埔,

所以函数以y="X)存(ftg)上有*牛点.

,,

(II)：i)>^(J：)=C'-l.^-x-KxiO).Jj(-O=e-x-l=/(x)*u-l.

it<I>知雨数内幻在9,g)」单*玉增.故“3。时.gE>.«o)=a,

ttg(X)〃肛+»)国品里婚.故8(外2别01:0.

ilx(72j-l»2QdT3<u-U)=e^'7T-Sg-l)-a2n=/(%].

“为。»)/f1ft+<劝用同诙尸.欣V2,u'*vS

令夙力-e'-x:-x-l(Oix<l>.*'"<・《*-2x-I.

fA(JT)-«*-2*-WSXSI).Ai'(x)-c'-2.所以

X0(ain2)M2(InXI)1

匕'a)-10c-2

/

A<*)0c-3

Vr'iO<.r<l••­,h,(xlV0.即A(r)<0.1ibA(r)♦[0.l|单1±,&

囚此当OMUWX)£MO)=O.

UM业-I><04e"-J"-I-“，0=fix,,).

内为/(.v)6la-wo)-n.1造塔.w7T7<%.

；工.皿工中屈F

«ii：yirtx)=e'-(e-lM-l•«'(.<)=e'-(c-1),所以，JT>1时.”10>0

w，a«Cr)A4问艮74」也J)递增.囚此M(Q2WD=0

li-e"=%+a•<1'.-x,f(e')=、/(%♦")=(e--1)4+*e--2乂

■I%-.

15.Llim%1ft.〃N)=aei-lnx+lna.

<!）巴"二，时.求曲找在点<1,r<l>>处的切找。两+标轴四成的三用形的面

(2)-21,求“的以值菽附.

K解「2八公的定义喊内(Q*e).八外三加i一；

(1)"ifl-eB-r./(x)=c*-lnx+1./'(I)=c-I.

曲战f：「ii/l"，；I"；'.''v«c•h-(e-1Xx-l),E(y-<e-IK»2

农践〉=催-1“+2介”ft，他1.的装即分别为2.

e-l

内此所求力V衫的曲枳为高.

(2>"IOVOVIIW./(l)=fl+ln«<l.

当“-1时./(x)=c',-Inx./'(x)=e'H--.

x

,iAretanwf.f(x)<0jXea-wmj.yu)>o.

所以巧JT=］时./⑶应用最小值.G小ff为〃1)=l.从/l/Cr)Zl.

*1a>III1./(x)-ae,ln.r+ln“2e'"-IntNI.

靛匕”的取侑位国足IL-).

IK.已知的数/")=sinx-ln(l+x)./'(x)为八乂)的导数.让明：

(D/㈠)在区间(-L号存在曦一懵大腕加

(2)八月)自11仅有2个零点.

K答案H«1>见帕加(2)见魅氏

=■kl.j?(.r)=cos.v———•#*'(x)=-Mnx*—二■.

I+K(l*x)-

1

\*w|T，T「J.«(x"町士.Hi；R'(0)>0.s,<^)<0.；-l.yi，'刑^'.

设为a.

则”w(-La)*j?,(x)>0；打气/9时，^(.vKO

所以8(©在<-1.0)41怎即用.“《三卜"：.明品85)/1极攵侑M

门.1)I

<2i/(*)的定义域为(一1.也)

i।'i*€(-l,O]iir.i-r11*/")在(7,0)通MiUtfl.ifti/'(0>=0.%TLiAW(-1,⑴

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没有零点.

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I./(x)

名校陵测

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故选：C.

2.dm/(x)=1r2-aInvttI*ft«J(0,2)上有根值点.实效•的取值越1«是(

A.(0.2)B.(-i0)U(0.2)C.(0.4)D.（Y.0）U（Q4）

K警案M

IK析X

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故选；D.

3、己知。，b为止变Si,□战.。曲找，=ln（x，b）相切.网二+二的尤小伯是（

ab

K解析3

沟导致为y--1r.

x+b

J，-.!,0l・

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代入¥=工一”,抬a+b=l

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2

故选；c

4,2；制的数/(*)的图象讨点隹5则随数用(.<)=的递增区间为(

A.(0,2)B.(YM))UQF)

C.(-2.0)D.[-KL2)U(0.M)

1»案SA

IVt析2

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■，；g(R的速埔I*「(0.2).

故逸:A.

5、出函数，(x»“In.r♦hi,若函数/⑻的图集A：点(1・〃1))处的切线方物为.r=),则由数y=，(x)

的始区则为

C,哼，o.吟,i)

A.(o,nli.(0.

K答羯yc

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"5ft/(x)的图隼在点(I,/(I))处的切代h崔为.，-A.

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HI，“；tty=/(.nH..；-,l<u|^：—.+»)

2

故选：c

6、己用的数有两个零点.则实效，的取值超圉是《)

A.|1,11H.(0.1)

3钏P

K解析3

腐故/(.t)=ar2-x-lnx(.t>0)行两个.V•'i

小题。外方村a=见尸力两个业

设g(x)=3.则“"jMYnA田2tllMXT

工人V4/-4一1

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AG(l.+x.>J/(x)<0.^(Aj<0所以,(工)“工杵>单网HU,

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所以力Fa=q-勺M上/，口g(x)的图以。F=。《火V文,，

所以•一””力取俏汨：(0.1).

故选：B

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A-2丘B2C->[20.|

R答案XB

K解析X

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此时.d==V?.:.|大］=0x0=2.fi<1IJ

:、多选■

—月MI

8、ffltt/(A)=gfc产数履加〃)…只有一个.点，如可能靠的醺

A.2B.-2C.01).1

R答案1ABC

K解析2

••,x(x)=/(x)-x+“只仃卜》

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I•1•f(v)=

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，“>0时.y=ln(x-l),=_L.V—=1nJM.v=2-"'A-2.

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故选：AM.

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K??案？RCD

KM析》

国也g(x)=/(x)-〃，：V=/(A)'jy=bfi个不同的4

XSOH：./(x)=(x+1)/,,“r(x)="+(x+1)，=(x，2)/

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