北师大版八年级数学下册常考题专练专题09与旋转有关的最值问题(原卷版+解析)

专题09与旋转有关的最值问题题型一菱形中的1．如图，在中，，，，点为内一点，连接、、，且，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点为旋转中心，将绕点顺时针方向旋转，得到△（得到、的对应点分别为点、，则，．2．如图，已知等腰三角形，，，点为内一点（点不在边界上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出的最小值为．3．如图，在中，，，点为内一点，连接、、，的最小值为A． B． C． D．4．已知：是边长为1的正方形内的一点，求的最小值．5．如图，已知，，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为A． B．8 C． D．6．问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：．问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是．7．（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则度．（2）【解决问题】①如图2，在边长为的等边三角形内有一点，，，求的面积．②如图3，在中，，，是内的一点，若，，，则．（3）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值．8．问题提出（1）如图①，已知中，，将绕点逆时针旋转得△，连接．则；问题探究（2）如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，为内一点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点．①求证：；②求的最小值；问题解决（3）如图③，某货运场为一个矩形场地，其中米，米，顶点，为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台，在边上（含，两点）开一个货物入口，并修建三条专用车道，，．若修建每米专用车道的费用为10000元，当，建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）9．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在是一个可以变化的角），，，以为边在的下方作等边，求的最大值．小明是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合，他的方法是以点为旋转中心将逆时针旋转得到△，连接，当点落在上时，此题可解（如图（1）请你回答：的最大值是．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，等腰，边，为内部一点，则的最小值是多少？为什么？（结果可以不化简）提示：要解决的最小值问题，可仿照题目给出的作法，把绕点逆时针旋转，得到△．（3）如图4，是等边内一点，，，，则．10．中，，，，为内一个动点，则的最小值为．题型二矩形中的问题11．如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则的最小值为A．2 B． C． D．12．如图，在中，，，直线，是上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则点运动过程中，的最小值是．13．如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．414．如图，中，，，为中点，是线段上一动点，连接，将线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，连接，则点在运动过程中，的最大值为，最小值为．15．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是A． B．1 C． D．16．如图，在中，，，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是．17．在平面直角坐标系中，已知轴上一点，为轴上的一动点，连接，以为边作等边，如图所示，连接，则的最小值是．题型三正方形中的问题18．如图，在中，，，为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，则线段的最小值为．19．如图，在三角形中，，，，，将三角形绕顶点逆时针旋转得到三角形，与相交于点，则线段长度的最小值为A．6 B．5.2 C．4.8 D．420．如图，在中，，，为边上一动点点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转至，连接，则面积的最大值为A．16 B．8 C．32 D．1021．如图，是等边三角形外一点，，，当长最大时，的面积为．22．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到△，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值为．23．如图，在中，，，，点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值是．24．如图，中，，，，点是斜边上任意一点，将点绕点逆时针旋转得到点，则线段长度的最小值为A． B． C． D．325．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，点为线段中点，点是线段上的动点，将绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段的最大值与最小值之差为．26．如图，中，，，，点是的中点，以为旋转中心，将绕点旋转一周，、、的对应点分别为、、，则的最大值为．27．如图，等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则线段的最小值为．28．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为．专题09与旋转有关的最值问题题型一费马点最值1．如图，在中，，，，点为内一点，连接、、，且，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点为旋转中心，将绕点顺时针方向旋转，得到△（得到、的对应点分别为点、，则，．【解答】解：（1），，，，，，将绕点顺时针方向旋转，得到△（得到、的对应点分别为点、，，，，，，；（2），为等边三角形，，，而，，点在直线上，同理可得点、、共线，，，，即．故答案为，．2．如图，已知等腰三角形，，，点为内一点（点不在边界上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出的最小值为．【解答】解：如图：以为边作等边三角形，以为边作等边．连接交于点．和是等边三角形，，且，当、、、四点共线时，值最小，，是的垂直平分线，，，，，，最小值为，故答案为．3．如图，在中，，，点为内一点，连接、、，的最小值为A． B． C． D．【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，．由旋转的性质可知：，，，是等边三角形，，，，，当，在直线上时，的值最小，，，，的最小值为，故选：．4．已知：是边长为1的正方形内的一点，求的最小值．【解答】解：将绕点顺时针旋转60度，可得为等边三角形．即得要使最小只要，，在一条直线上，即如下图：可得最小．此时，所以，，，，则，在中，勾股定理得：．5．如图，已知，，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为A． B．8 C． D．【解答】解：如图，连接，，过作垂线交延长线于，绕着点逆时针方向旋转得到，，，，为等边三角形，即，，，，，，，，．故选：．6．问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：．问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是．【解答】（1）证明：如图1，在上截取，在和中，，，，，，是等边三角形，，；（2）解：如图2：以为边作等边三角形，以为边作等边．连接，作，交的延长线于．和是等边三角形，，，在和中，当、、、四点共线时，值最小，，，，，．，，，最小值为，故答案为，7．（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则65度．（2）【解决问题】①如图2，在边长为的等边三角形内有一点，，，求的面积．②如图3，在中，，，是内的一点，若，，，则．（3）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值．【解答】（1）【操作发现】解：如图1中，绕点顺时针旋转，得到，，，，故答案为：65．（2）【解决问题】①解：如图2中，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，是等边三角形，，，，，，，即，，，即，，，．②如图3，将绕着点按顺时针方向旋转，得到，，，△为等腰直角三角形，，，，，，，，．故答案为：2．（3）【拓展应用】解：如图4中，将绕顺时针旋转，得到，连接、．将绕顺时针旋转，得到，，，，，，，过点作交的延长线于点，，，在中，，，，即的最小值为．8．问题提出（1）如图①，已知中，，将绕点逆时针旋转得△，连接．则；问题探究（2）如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，为内一点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点．①求证：；②求的最小值；问题解决（3）如图③，某货运场为一个矩形场地，其中米，米，顶点，为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台，在边上（含，两点）开一个货物入口，并修建三条专用车道，，．若修建每米专用车道的费用为10000元，当，建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）【解答】解：问题提出：（1）由旋转有，，，根据勾股定理得，，故答案为：；问题探究：（2）①是等边三角形，，，由旋转得，，，，在和中；②如图1，连接，，是等边三角形，，由①有，，，由两点之间线段最短得，，，当点，，，在同一条直线上时，取最小值为的长，作，为边长是的等边三角形，，，，，，，，即：取最小值为12；实际应用：（3）如图2，连接，，将绕点逆时针旋转，得△，由（2）知，当，，，在同一条直线上时，最小，最小值为，在上，当时，取最小值，设交于，是等边三角形，，，，，，最少费用为万元；建在中点米）处，点在过且垂直于的直线上，且在上方米处，最少费用为万元．9．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在是一个可以变化的角），，，以为边在的下方作等边，求的最大值．小明是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合，他的方法是以点为旋转中心将逆时针旋转得到△，连接，当点落在上时，此题可解（如图（1）请你回答：的最大值是6．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，等腰，边，为内部一点，则的最小值是多少？为什么？（结果可以不化简）提示：要解决的最小值问题，可仿照题目给出的作法，把绕点逆时针旋转，得到△．（3）如图4，是等边内一点，，，，则．【解答】解：（1）如图2，逆时针旋转得到△，，，，△是等边三角形，，在△中，，即，当点、、三点共线时，，即，的最大值是：6，故答案是：6．（2）的最小值是．理由：如图3，是等腰三角形，，以为中心，将逆时针旋转得到△，则，，，．当、、、四点共线时，最短，即线段最短，，长度即为所求．过作延长线于．由旋转可知，，．，，，．在△中，，的最小值是：（或．（3）如图4，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点，连接，则是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形，．故答案为：．10．中，，，，为内一个动点，则的最小值为．【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，过点作交的延长线于．，，，，都是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，的最小值为．故答案为：．题型二轨迹类最值（瓜豆）11．如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则的最小值为A．2 B． C． D．【解答】解：作于，于，如图，设，在中，，而，，线段绕点逆时针旋转，得到线段，，，易得，当在上时，，，在中，，此时没有最小值，当在的延长线上时，，，在中，，当时，有最小值，的最小值为．解法二：过点作于，过点作交的延长线于，过点作于，于，过点作于．证明，推出，推出点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，最小值．故选：．12．如图，在中，，，直线，是上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则点运动过程中，的最小值是2．【解答】解：取线段的中点，连接，如图所示．，，为等边三角形，且为的对称轴，，，，．在和中，，，．当时，最小，点为的中点，此时．故答案为：2．13．如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点，和为等边三角形，，，，，在和中，，，，，，是直线的动点，在直线上运动，的最小值为，，．故选：．14．如图，中，，，为中点，是线段上一动点，连接，将线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，连接，则点在运动过程中，的最大值为，最小值为．【解答】解：如图所示，取的中点，连接，由旋转可得，，又，，为中点，，，，，，①如图1所示，当时，最短，此时是等腰直角三角形，，即的最小值为；②当与重合时，；③如图2所示，当与重合时，，即的最大值为．故答案为：，．15．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是A． B．1 C． D．【解答】解：解法一：如图在的下方作等边，作射线．，，，，在和中，，，，，，点在射线上运动（点是定点，是定值），当时，的值最小，最小值，解法二：如图，的上方，作等边，连接，过点作于．，都是等边三角形，，，，，，的值最小时，的值最小，当时，的最小值，的最小值为1．故选：．16．如图，在中，，，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是．【解答】解：如图，在上取一点，使，连接，，，，旋转角为，，又，，是等腰直角的对称轴，，，又旋转到，，在和中，，，，根据垂线段最短，时，最短，即最短，，，，，故答案为：．17．在平面直角坐标系中，已知轴上一点，为轴上的一动点，连接，以为边作等边，如图所示，连接，则的最小值是3．【解答】解：如图所示，在第二象限以为边长作等边，连接，延长交轴于点，连接，、是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，，，点随着点的运动形成的图形是直线，，，，，，点是的中点，，是的中垂线，，，又点在直线上运动，点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，，，，的最小值为3．故答案为：3．题型三其他最值18．如图，在中，，，为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，则线段的最小值为．【解答】解：如图所示，过点作于，由旋转可得，，，，，当最短时，最短，且，为边上一动点，当时，最短，，，，当时，，此时，，故答案为：．19．如图，在三角形中，，，，，将三角形绕顶点逆时针旋转得到三角形，与相交于点，则线段长度的最小值为A．6 B．5.2 C．4.8 D．4【解答】解：当与垂直时，有最小值，如图，由旋转的性质知，，，，．故选：．20．如图，在中，，，为边上一动点点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转至，连接，则面积的最大值为A．16 B．8 C．32 D．10【解答】解：如图，过点作于，作于点，，，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，，，且，，在和中，，，，面积，当时，面积的最大值为8，故选：．21．如图，是等边三角形外一点，，，当长最大时，的面积为．【解答】解：如图1，以为边作等边，连接．，，，，在和中，，，，在中，，，，，的最大值为5，的最大值为5，此时点在上，如图2，过点作于，，，，，，，，，，的面积，故答案为：．22．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到△，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值为6．【解答】解：连接．在中，，，，，，，，，，的最大值为6，故答案为6．23．如图，在中，，，，点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值是．【解答】解：如图，过点作于，将线段绕点逆时针旋转得到线段，，，，且，，且，，，，，，，，当时，有最小值为，故答案为24．如图，中，，，，点是斜边上任意一点，将点绕点逆时针旋转得到点，则线段长度的最小值为A． B． C． D．3【解答】解：由旋转的性质得，，，为等边三角形，，当最短，最