沪教版九年级数学考试满分全攻略第25章锐角的三角比【单元提升卷】(原卷版+解析)VIP

第25章锐角的三角比【单元提升卷】（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1．3tan60°的值为(

)A． B． C． D．32．在中，，，则(

)A． B． C． D．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，则sinA的值为（）．A． B．C． D．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则等于()A． B． C． D．5．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a·sinB B．a=b·cosB C．a=b·tanB D．b=a·tanB6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变二、填空题7．若，则________°．8．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．9．如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则______．10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为_______；CD的长为_________.11．已知，则锐角的取值范围是________．12．在中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=_____．13．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为_________.(2)∠CDE的正切值为________.14．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=

，AB=6，那么BC=________15．已知∠A为锐角，且tan35°cotA=1，则∠A=________度．16．如图，在ABC中，∠ACB=120°，AC=4，BC=6，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，则tanB的值为____．17．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B：∠C＝1：2，那么BD的长是_____．18．如图，已知中，，点M是的中点，将沿所在的直线翻折，点A落在点处，，且交于点D，的值为_________.三、解答题19．计算：．20．在锐角三角形ABC中，若sinA＝，B＝75°，求cosC的值．21．如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？22．如图，商丘市睢阳区南湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小坤在小道上测得如下数据：AB=200.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5°．请帮助小坤求出小桥PD的长．（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）23．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．24．如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)25．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离；(2)求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)是否存在点P，使△PQR是以PQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由第25章锐角的三角比【单元提升卷】（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1．3tan60°的值为(

)A． B． C． D．3【答案】D【详解】解：3tan60°==．故选D．2．在中，，，则(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】由Rt中，，根据正切值的求法，可设BC边为1，则AC边为3，勾股定理算出AB的长，即可求解【详解】解：设BC=1∵在中，，∴∴AC=3由勾股定理得：∴故答案为D【点睛】本题考查已知锐角三角函数值，但未知边长的题型，这种类型的题目可设已知锐角三角函数相关的边长为具体数值，再进行求解3．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，则sinA的值为（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA=求解即可．【详解】∵∠C=90°，BC=3，AC=4∴，∴故选：C．【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则等于()A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：先根据sinA=得到，即可求得结果.∵∠C=90°，∴故选A.考点：三角函数点评：概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.5．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a·sinB B．a=b·cosB C．a=b·tanB D．b=a·tanB【答案】D【详解】根据三角函数的定义，可知：A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=，∴a=，故选项错误；D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确．故选：D．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变【答案】D【详解】∵各边长都扩大2倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴sinA的值不变．故选：D．二、填空题7．若，则________°．【答案】60°【详解】根据特殊角30°，45°，60°的三角函数值，可知α的值为60°.故答案为60°.8．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．【答案】或【详解】解方程x2-4x+3=0得，x1=1，x2=3，①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA=；②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=，∴tanA=；所以tanA的值为或．9．如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则______．【答案】【详解】依题意直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1且正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，∴过B,D分别作，，，的垂线则形成的直角三角形全等，较长直角边为2，较短直角边为1，∴正方形的边长为，∴故填10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为_______；CD的长为_________.【答案】

5+10；

10+5【分析】过B点分别作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF.分别解Rt△AEB和Rt△BFC，求得AE,BE,BF,CF，则可得解.【详解】解：过B点分别作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF.∵在Rt△AEB中，∠A=30°，AB=10，∴AE=AB·cos30°=10×=5，BE=AB·sin30°=10×=5.又∵在Rt△BFC中，∠C=30°，BC=20，∴BF=BC=×20=10，CF=BC·cos30°=20×=10.∴AD=AE+ED=5+10，CD=CF+FD=10+5.故答案为

(1).5+10；

(2).10+5【点睛】本题考查了解直角三角形，添加恰当的辅助线构造直角三角形和灵活运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键.11．已知，则锐角的取值范围是________．【答案】0＜α≤30°【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论.【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin30°，由正弦函数是增函数．知0＜α≤30°【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键.12．在中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=_____．【答案】4±3【详解】如图，过C点作CD⊥AB于D，设BC=x,∵∠ABC=30°，∴CD=BC=x，BD=，∴AD=（8－）在Rt△ADC中，根据勾股定理得：AD2+CD2=AC2即（8－）2＋（x）2=52解得4±3即BC=4±3.13．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为_________.(2)∠CDE的正切值为________.【答案】

BE=5；

tan∠CDE=【分析】（1）由轴对称的性质可以得出△BFE≌△DFE，从而得出DE=BE，由∠DBC=45°可以得出∠BED=90°，过A作AG⊥BC于G，可以求出BG=3，可以求出BE的值．（2）根据tan∠CDE=，由（1）的结论可以求出其值．【详解】（1）由题意得△BFE≌△DFE，∴DE=BE.又∵在△BDE中，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠BED=90°，即DE⊥BC.∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，过A作AG⊥BC于G，∵四边形AGED是矩形．∴AD=GE=2，AG=DE．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∵∠AGB=∠DEC=90°Rt△ABG和Rt△DCE中，∴Rt△ABG≌Rt△DCE（HL），∴BG=EC=3．∴BE=5(2)由(1)得DE=BE=5，在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，∴tan∠CDE==故答案为(1)BE=5；

(2)tan∠CDE=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，翻折变换，全等三角形的判定，解直角三角形的运用．14．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=

，AB=6，那么BC=________【答案】2【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】sinA==，得BC=AB×=6×=2

，故答案为

2.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.15．已知∠A为锐角，且tan35°cotA=1，则∠A=________度．【答案】35【分析】根据同角的三角函数关系tanA•cotA=1直接解答．【详解】∵∠A为锐角时有tanAcotA=1，∴∠A=35°．【点睛】本题考查了对同角的三角函数的关系tanAcotA=1的理解．16．如图，在ABC中，∠ACB=120°，AC=4，BC=6，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，则tanB的值为____．【答案】．【详解】试题分析：根据∠ACB=120°，求出∠ACD的度数，根据三角函数的概念求出AD、CD的长，根据正切的概念求出答案．解：∵∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，又AC=4，∴CD=4×cos60°=2，AD==2，∴BD=6+2=8，tanB===．故答案为．考点：解直角三角形．17．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B：∠C＝1：2，那么BD的长是_____．【答案】4【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO＝BD，BD⊥AC，在Rt△ABO中，由cos∠ABO即可求得BO，继而得到BD的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD为菱形，∴，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC：∠BCD＝1：2，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，BO＝BD，BD⊥AC．在Rt△ABO中，cos∠ABO＝＝，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×＝2．∴BD＝2BO＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．18．如图，已知中，，点M是的中点，将沿所在的直线翻折，点A落在点处，，且交于点D，的值为_________.【答案】【分析】如图1，作的角平分线CF交AB于点F，连接FD，先证明得AC=CF，从而有，再证明，得，在直角三角形DFM中利用即可求解．【详解】解：如图1，作的角平分线CF交AB于点F，连接FD，0，CF平分，，将沿所在的直线翻折，点A落在点处，，，，点M是的中点，CM=BM=AM，，，，，，AC=CF，，，在和中，，，，，，故答案为．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的性质以及解直角三角形，构造辅助线得出三角形全等是解题的关键．三、解答题19．计算：．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．20．在锐角三角形ABC中，若sinA＝，B＝75°，求cosC的值．【答案】．【分析】先利用特殊角的三角函数值得到∠A的度数，再根据三角形内角和求出∠C的度数，然后根据特殊角的三角函数值求解．【详解】解：∵sinA＝，∴锐角A＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴cosC＝cos45°＝．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．21．如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？【答案】（1）不会穿过森林保护区.理由见解析；（2）原计划完成这项工程需要25天.【详解】试题分析：（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；（2）根据题意列方程求解．试题解析：（1）如图，过C作CH⊥AB于H，设CH=x，由已知有∠EAC=45°,∠FBC=60°则∠CAH=45°,∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中，tan∠HBC=∴HB===x，∵AH+HB=AB∴x+x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区．（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5根据题意得：=(1+25％)×，解得：y=25知：y=25的根．答：原计划完成这项工程需要25天．22．如图，商丘市睢阳区南湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小坤在小道上测得如下数据：AB=200.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5°．请帮助小坤求出小桥PD的长．（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）【答案】小桥PD的长度约为61.5米，位于AB之间距B点约123.0米．【分析】设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=200.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．【详解】设PD=x米，

∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°，在Rt△PAD中，tan∠PAD=，∴AD=≈=x，在Rt△PBD中，tan∠PBD=，∴DB=≈=2x，又∵AB=200.0米，∴x+2x=200.0，解得：x≈61.5，即PD≈61.5（米），∴DB=123.0（米）．答：小桥PD的长度约为61.5米，位于AB之间距B点约123.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．23．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．【答案】．【详解】试题分析：根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB=CN﹣CM，从而可以求得AB的长．试题解析：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM==60米，DN==米，∴AB=CD+DN﹣CM==（）米，即A、B两点的距离是（）米．考点：解直角三角形的应用；探究型．24．如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)