沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题03锐角的三角比(重点)(原卷版+解析)

专题03锐角的三角比（重点）一、单选题1．在中，，那么锐角的正弦等于（

）A． B． C． D．．2．在中，，，，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（）A． B． C． D．4．如图，线段OA在第二象限，A点的坐标为（﹣4，4），OA与y轴的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A． B． C． D．6．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．7．如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（）A．2sinα B．2cosα C． D．8．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为(

)（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．1210．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（）A． B． C．1 D．二、填空题11．计算____．12．在中，，，，那么______．13．沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，这个斜坡的坡度_______．14．如图，已知中，点是上一点，，若，，则________．15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么：的值是______．16．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为________米．17．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是________．18．如图，已知在中，，，，是边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，如果，那么点与点的距离等于________．三、解答题19．计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°；（2）．20．如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，．(1)求平行四边形的面积；(2)连接，求的值．21．如图，在中，，，，CD⊥AB，垂足为D．(1)求BD的长；(2)设，，用，表示．22．如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，．(1)求的长；(2)求的正切值．23．已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：（1）线段的长；（2）的值．24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）25．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．(1)求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；(2)依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）26．如图，已知等边中，、分别是边、上的点，且，以为边向左作等边，联结、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，求的值．27．已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．(1)如图，当为锐角时，①求证：；②如果，求的正切值；(2)如果，，求的面积．28．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，点D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F是边AC上一点，联结DF、EF，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG．（1）如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；（2）如图2，如果AF＝AE，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长．专题03锐角的三角比（重点）一、单选题1．在中，，那么锐角的正弦等于（

）A． B． C． D．．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．【解析】在中，，那么锐角的正弦=，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义．2．在中，，，，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．【解析】根据勾股定理可得：，则；；；；故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键．3．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．【解析】∵，，而，∴，故选：C．【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．4．如图，线段OA在第二象限，A点的坐标为（﹣4，4），OA与y轴的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出线段OA的长，再利用直角三角形的边角间关系得结论．【解析】解：∵A点的坐标为（﹣4，4），∴OA＝＝4．∴cosα＝＝．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形和勾股定理，掌握勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作AD⊥BC，可得AD＝BD＝5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解可得．【解析】解：如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝5，BD＝5，∴AB＝＝＝5，∴cos∠B＝＝＝，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．6．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．【解析】解：∵0°＜25°＜30°∴∴．故选A．【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．7．如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（）A．2sinα B．2cosα C． D．【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝，∴BC＝AB＝，∴重叠部分的面积是：×1＝．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．8．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为(

)（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.4【答案】C【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=（6+20）（米），即可得出大楼AB的高度．【解析】解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1：，∴BH：CH＝1：，设BH＝x米，则CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得：x2+（x）2＝122，解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米，∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝（6+20）（米），∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵DF⊥AB，

∴∠ADF＝90°，∴∠BAC+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴△ECF∽△ACB，∴＝tan∠EAC＝，∴，又∵S△ECF＝1，∴S△ABC＝9，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】延长AD、BC交于点G，将图形补充成等边三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EC的长度，用等边三角形的性质推导ECAD，继而得出△EFC∽△DFA，，最后结合CF=AC-AF利用这个比例式得到关于AF的方程，解出即可．【解析】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∵AD⊥CD，CD＝1，∴AD＝，AC＝2，延长AD、BC交于点G，如图，∵∠DAB＝∠B＝60°，∴∠G＝60°，∴△ABG为等边三角形，∵AC平分∠DAB，∴C为GB的中点，且AC⊥GB，∴AB＝，连接EC，∵E为AB边的中点，AC⊥GB∴EC＝AB＝，∵C为GB的中点，∴ECAD，∴△EFC∽△DFA，∴，即∴∴AF＝．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用判定△EFC∽△DFA并用其列出关于AF的方程是解题的关键．二、填空题11．计算____．【答案】【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可．【解析】，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．12．在中，，，，那么______．【答案】【分析】直接利用正弦的定义列式求解即可．【解析】解：∵，，∴∵∴，解得：BC=12．故填：12．【点睛】本题主要考查了正弦的定义，正确理解正弦的定义是解答本题的关键．13．沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，这个斜坡的坡度_______．【答案】2.4【分析】根据勾股定理求出此人行走的水平距离，根据坡度的概念计算即可．【解析】解：由勾股定理得，此人行走的水平距离为：=12，则此斜坡的坡度i=5：12=1：2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．14．如图，已知中，点是上一点，，若，，则________．【答案】2【分析】由题意易得，进而问题可求解．【解析】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为2．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及角的正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定及角的正切是解题的关键．15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么：的值是______．【答案】7【分析】过点A作于，作的垂直平分线交于点、交于，根据余弦的定义求出，根据勾股定理求出，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解析】解：过点A作于，作的垂直平分线交于点、交于，在中，，，则，解得：，由勾股定理得：，在中，，则，∴，是的垂直平分线，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是解直角三角形、平行线分线段成比例定理，根据余弦的定义求出是解题的关键．16．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为________米．【答案】【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．【解析】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100∴依题意，有由①得将③代入②，解得故答案为：．【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．17．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是________．【答案】【分析】过点作于点，易证，从而可求出，，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解析】解：如图，过点作于点，设，在与中，，，，，，tan∠ADB＝＝，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．18．如图，已知在中，，，，是边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，如果，那么点与点的距离等于________．【答案】【分析】由题意可得如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，则有，然后可得，进而可得，则有，，最后问题可求解．【解析】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，如图，∵，，∴，∴，∴，由折叠的性质可得，∵，∴，∵，∴（AAS），∴，，∴，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理及解直角三角形，熟练掌握折叠的性质、勾股定理及解直角三角形是解题的关键．三、解答题19．计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1）（2）-【分析】根据特殊的锐角三角函数值以及基本的四则运算法则可直接求解最后结果．【解析】解：（1）原式==

=．（2）原式===-=-【点睛】本题考查了锐角三角函数函数值，熟记特殊的锐角三角函数值是解决本题的关键．20．如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，．(1)求平行四边形的面积；(2)连接，求的值．【答案】(1)(2)【分析】对于（1），在中，根据，求出AE，再根据勾股定理求出DE，进而求出面积即可；对于（2），作，根据平行四边形的性质得，可求出EB，进而求出EF，根据勾股定理求CE，最后根据得出答案．(1)∵，∴．在中，．又，∴．在中，，∴∴．(2)过E作，与的延长线交于点F．∵，∴．∵，∴．∴．在中，，又，∴．在中，．在中，．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理等，构造直角三角形是解题的关键．21．如图，在中，，，，CD⊥AB，垂足为D．(1)求BD的长；(2)设，，用，表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据解直角三角形，先求出CD的长度，然后求出AD，由等角的三角函数值相等，有，即可求出BD的长度；（2）由（1）可求AB的长度，根据三角形法则，求出，然后求出.（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△ACD中，，∴．∴，∴．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠B=∠A+∠B=90°，∴∠DCB=∠A．∴；（2）解：∵，∴，又∵，

∴．【点睛】本题考查了解直角三角形，向量的运算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形求三角形的各边长度.22．如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，．(1)求的长；(2)求的正切值．【答案】(1)7(2)6【分析】（1）由，求得DE的长，再用勾股定理求出CE的长，由求得BE的长，最后求出BC的长；（2）过点为A作，垂足为点H，由在Rt△DEB中，DE=3，可得BD=，在Rt△ABH中，AB=，，再求出CH的长，最后求出的正切值．(1)∵，∴∠DEB=∠DEC=90°∵在Rt△DEC中，，，∴，∴DE=3，∴，∵在Rt△DEB中，，DE=3，∴BE=DE=3，∴BC=BE+CE=3+4=7；(2)如图，过点为A作，垂足为点H，∵在Rt△DEB中，，DE=3，∴BD=，∵是边上的中线，∴AB=2BD=，∵在Rt△ABH中，，AB=，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：（1）线段的长；（2）的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直角三角形中求解再利用勾股定理求解从而可得答案；（2）先利用直角三角形斜边上的中线的性质证明可得再求解从而可得答案.【解析】解：（1）是边上的高，，，，（2）为边的中点，【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握“等角的三角函数值相等”是解题的关键.24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）【答案】7【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．【解析】假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC于E’∵CD=12，∠DCE=60°∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’∴四边形DEE’D’是矩形∴DE=D’E’=6，∵∠D’CE’=39°∴CE′=≈13∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．即答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．【点睛】本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键．25．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．(1)求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；(2)依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）【答案】(1)6米(2)24米【分析】（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；（2）过点D作DG⊥BC于点G，设BC=x米，用x表示出BG、DG，根据tan∠BDG=列出方程，解方程得到答案．（1）解：作DH⊥AE于H，如图所示：在Rt△ADH中，∵，∴AH＝2DH，∵AH2+DH2＝AD2，∴（2DH）2+DH2＝（）2，∴DH＝6（米）．答：乙同学从点A到点D的过程中，他上升的高度为6米；（2）如图所示：过点D作DG⊥BC于点G，设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝x，由（1）得AH＝2DH＝12，在矩形DGCH中，DH＝CG＝6，DG＝CH＝AH+AC＝x+12，在Rt△BDG中，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝x﹣6，∵tan∠BDG＝，∴，解得：x≈24，答：大树的高度约为24米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作辅助线DH和DG构造直角三角形ADH和直角三角形BDG是解决本题的关键．26．如图，已知等边中，、分别是边、上的点，且，以为边向左作等边，联结、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)首先可证得△ACD≌△CBF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ADC=∠CFB，AD=CF，由等边三角形的性质得出CF=DE，再由等边三角形的性质可得，进而证得，，据此即可证得；(2)过点F作FG⊥BC于点G，解直角三角形求出BD，CD，则可得出答案．(1)证明：是等边三角形，又，AD=CF是等边三角形四边形CDEF是平行四边形(2)解：如图：过点F作于点G四边形CDEF是平行四边形，设BG=x，则【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．27．已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．(1)如图，当为锐角时，①求证：；②如果，求的正切值；(2)如果，，求的面积．【答案】(1)①见解析；②2(2)或【分析】（1）①由题可知，即可证明，之后证明即可；②设，则，，根据可得，故在中，可求；（2）设，即可证得，根据，可得根据与，可得到，之后分为锐角与钝角两种情况讨论即可．（1）（1）①证明：，，，，，且，，，，，；②由题意知：设，则，，，，，，，在中，；（2）解：设，，，，，，，且，在Rt△BDQ中根据勾股定理可得，，，1°当为锐角时，，，解得；∴，，；2°当为钝角时，，，解得，∴，，．【点睛】本题主要考查三角形的相似的判定与性质、解直角三角形，解一元二次方程、三角形的面积，根据题目条件分类讨论是解题的关键．28．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，c