多边形与四边形：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（解析版）

专题14多边形与平行四边形

五年中考真题

考点1多边形与平行四边形

一、单选题

1.（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的

横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六

边形的顶点.若点尸，。的坐标分别为卜26,3）,（0,-3）,则点M的坐标为（）

A.（3^,-2）B.（3^,2）C.（2,-3@D.（-2,-3^）

【答案】A

【分析】连接PF,设正六边形的边长为“，由正六边形的性质及点P的坐标可求得〃的值，即可求得点

M的坐标.

【详解】解：连接尸尸，如图，设正六边形的边长为m

・・・ZABC=120°,

：.ZABO=60°,

'：ZAOB=90°,

JZBAO=30°,

・CD1八人也a

22

•*.AC=CE=\f3atOF=OB+BF=,

•.•点户的坐标为（-2月,3）,

.3a_a

••—J,

2

即a=2；

，OE=OC+CE=^^=3G,EM=2,

2

.♦.点M的坐标为卜瓜-2).

【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌

握这些知识是解题的关键.

2.（2021・四川德阳・统考中考真题）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,点E是CD中

点，连接OE,则下列结论中不一定正确的是（）

A.AB^ADB.OE=gABC.NDOE=NDEOD.ZEOD=ZEDO

2

【答案】C

【分析】由菱形的性质可得AB=4庆CO,AC±BD,由直角三角形的性质可得OE=£>E=CE=g8=^48,

即可求解.

【详解】解：•.•四边形ABC。是菱形，

：.AB=AD=CD,AC1.BD,故选项A不合题意，

•••点E是CZ）的中点，

?.OE=DE=CE=gCD=；AB,故选项B不合题意；

ZEOD^ZEDO,故选项D不合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键.

3.（2023年河北省中考数学真题）综合实践课上，嘉嘉画出利用尺规作图找一点C,使得四边

C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等

【答案】C

【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断.

【详解】解：根据图1,得出80的中点。，图2,得出OC=AO,

可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，

判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理.

4.（2021•四川德阳•统考中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCCEF放置于平面直角坐标系中，边A8

在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转

60。，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（）

A.(—t—5/3)B.(-,_3")c.(—5/3,G)D.(—,——)

22222

【答案】A

【分析】如图，连接AD,BD.首先确定点。的坐标，再根据6次一个循环，由2025+6=337…3,推出

经过第2025次旋转后，顶点。的坐标与第三次旋转得到的2的坐标相同，由此即可解决问题.

【详解】解：如图，连接AO，BD.

在正六边形ABCDE尸中，AB=],AD=2,?ABD90?,

BD=-JAD2-AB2=6-F=6，

在RtAAOF中，AF=\,N04F=6O°,

.•.ZOM=30°,

:.OA=-AF=-,

22

3

:.OB=OA+AB=-,

2

3

.e.D(—,\/3),

2

将正六边形ABC。所绕坐标原点。顺时针旋转，每次旋转60。，

•••6次一个循环，

2025+6=337…3,

•••经过第2025次旋转后，顶点。的坐标与第三次旋转得到的2的坐标相同，

。与2关于原点对称，

3

・••经过第2025次旋转后，顶点O的坐标(-|,-6),

【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律

的方法，属于中考常考题型.

5.（2022・贵州遵义•统考中考真题）如图，在正方形A8CD中，AC和80交于点。，过点。的直线E尸交

A8于点E（£不与人，8重合），交CDT■点、F.以点。为圆心，0C为半径的圆交直线EF于点M,

N.若45=1,则图中阴影部分的面积为（）

r兀1

A.-------D.--------------D.----

88842824

【答案】B

【分析】根据题意可得四边形£BC尸的面积等于正方形面积的一半，根据阴影部分面积等于半圆减去四边

形EBC尸的面积和弓形的面积即可求解.

【详解】解：在正方形ABCD中，AB=\,

。的半径为：OB=AB=

22

EF过点。，根据中心对称可得四边形E8C户的面积等于正方形面积的一半，

又S08C=1S正方形ABCD

1（也Y1

•・阴影部分面积为：3兀义~2'-]XS正方物（BCD-（S）WOBC-SO8C）

1119011

=-7TX------------7TX1

22236024

7i\n\

------------1—

4284

_冗1

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键.

6.（2023・河南周口・河南省淮阳中学校考三模）已知在菱形45C£＞中，A3=9,80=14,则菱形ABCQ的

面积为（）

A.560B.126C.63D.112立

【答案】A

【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得OA的长，从而得到AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得

其面积.

四边形ABC。是菱形，BD=14,

:.AC1BD,OB=OD=1,

在RtZXAOB中，AB=9,

：.OA=NAB。-OB。=V92-72=4夜，

:.AC=2AO=Sy/2,

S多彩ABCD=gAC，BD=；x8及x14=5642,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质.

7.（2020・四川巴中•统考中考真题）如图，在矩形A8C3中，AB=4,对角线AC,BD交于点0,

sinZCOD=—,P为AO上一动点，PE_LAC于点E,PFLBD于点F,分别以PE,PF为边向外作正

2

方形PEGH和PFMN,面积分别为5，S2.则下列结论：①比）=8；②点P在运动过程中，PE+P尸的

值始终保持不变，为2⑺；③5+$2的最小值为6；④当P〃：PN=5:6时，则£）M:AG=5:6.其中正确

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】c

【分析】①由矩形ABC。的性质和特殊角三角函数可得AOB和△C8是等边三角形，进而可以判断;

②连接0尸.由SA。。=Sep+S求得答案；

③利用完全平方公式变形，当且仅当尸E=PF=有时，等号成立，即可判断；

④根据已知条件证明△APE/XDPF,对应边成比例即可判断.

【详解】解：①：sinNCOO=也，

2

，ZCOD=60°,

・・•四边形A8C。是矩形，

：.OA=OC=OD=OBf

：.AOB和是等边三角形，

：.BD=2OA=2AB=S9故①正确；

②连接。尸，由①知8。=8,

・・•矩形A8CO的两边AB=4,BC=4^，

**,S矩形ABCQ=钿,BC=16百,

*eeSA0D=-S矩形Ms=4G,OA=OD=4,

：.sAOI)=SAOp+SlWP=^OAPE+^ODPF=^OA(PE+PF)=^x4x(PE+PF)=4^.

:.PE+PF=2日故②正确；

③：(PE-PF)2=PE2+PF2-2PEPF>0,

PE2+PF2>2PE-PF，

222222222

：.S,+S2=PE+PF=^(PE+PF+PE+PF)>^(PE+PF+2PEPF)=g(2E+PF)=6,

当且仅当PE=PF=岔时，等号成立，故③正确；

④；NAEP=NDFP,ZPAE^ZPDF,

：./XAPE/XDPF,

：.AE：DF=PE：PF=EG：FM=PH：PN=5：6,

'：AE:DF=(AG+GE):(DM+FM),

：.AG：DM=5：6„故④错误.

综上所述，其中正确的结论有①②③，3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角形，三角形的相似，完全平方公式，等边三角形的判定与

性质，灵活运用矩形的性质，特殊角的函数值，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

二、填空题

8.(2022.江苏泰州.统考中考真题)正八边形一个外角的大小为度.

【答案】45

【分析】根据正八边形得出八个内角都相等，再因为每个内角与它相应的外角互补，且多边形外角和为

360°,算出正八边形一个外角的大小.

【详解】解：•••正八边形，

二正八边形八个内角都相等，

•••正八边形的每个内角和它对应的外角互补，且外角和360。，

/•正八边形有八个相等的外角，

正八边形一个外角为360°+8=45°,

故答案为：45.

【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，正确理解以上图形性质是解题的关键.

9.(2021•江苏镇江•统考中考真题)如图，花瓣图案中的正六边形ABCOE尸的每个内角的度数是

【答案】120。

【分析】多边形的内角和可以表示成("-2)・180。，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形

的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x,列方程可求解.

【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为X,

则6x=(6-2)・180。，

解得x=120。.

故答案为：120。.

【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正

确运算、变形和数据处理.

10.（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在四边形ABCO中，AD=BC,于点

O.请添加一个条件：，使四边形A8C。成为菱形.

B

【答案】AD//BC（答案不唯一）

【分析】根据题意，先证明四边形A8C。是平行四边形，根据AC人B。，可得四边形A5CO成为菱形.

【详解】解：添加条件AO〃8c

VAD=BC,AD//BC

四边形43CD是平行四边形，

：ACJ.BD,

...四边形A8C3成为菱形.

添加条件/R=CC

VAD=BC,AB=CD

...四边形A8CD是平行四边形，

AC1BD,

四边形ABCD成为菱形.

添加条件08=。。

ACJ.BD,

：.ZAOD=Z.COB=9Q°

,:AD=BC,OB=OD,

：.RtAOD^RtCOB（HL）

AD-BC,

...四边形ABC。是平行四边形，

AC1BD,

四边形ABC。成为菱形.

添加条件NADB=NCB£>

在△A0£)与△COB中,

ZADB=NCBD

<ZAOD=ZCOB

AD=BC

：./\AOD冬/\COB

AD-BCi

，四边形48。是平行四边形，

,?AC1BD,

四边形ABC。成为菱形.

故答案为：AD//BC(AB=CD或OB=OD或ZADB=NCBD等).

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.

11.(2023年吉林省长春市中考数学真题)如图，将正五边形纸片A8C3E折叠，使点8与点E重合，折痕

为AM,展开后，再将纸片折叠，使边A3落在线段40上，点8的对应点为点"，折痕为月尸，则

ZAFB'的大小为度.

【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为1(5-2)x1800=108。，根据折叠的性质求得

在V4EB'中，根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：•••正五边形的每一个内角为#5-2)x180。=108。，

将正五边形纸片ABCDE折叠，使点8与点E重合，折痕为AM,

则ZBAM=-NBAE=4x108°=54°,

22

・・•将纸片折叠，使边A8落在线段4W上，点B的对应点为点"，折痕为A尸，

・・・ZFABf=-/BAM=-x540=27。,/AB'F=ZB=108°,

22

在NAFS中，ZAFB1=180°-NB—NMB'=180°-108°-27°=45°,

故答案为：45.

【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

12.（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，正方形A5CD的边长为2,对角线4c,8。相交于点。,

以点8为圆心，对角线3。的长为半径画弧，交BC的延长线于点£,则图中阴影部分的面积为.

【答案】n

【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出8£>=2夜，再

由扇形的面积公式求解即可.

【详解】解：正方形A8CO,

AO=CO,BO=DO,AD^CD,NDBE=45°,

四一COB（SSS）,

•••正方形ABC。的边长为2,

••BD=V22+22=2\/2

••・阴影部分的面积为扇形的面积，即45X万X（2&）

一/（

360

故答案为：£.

【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关

键.

13.（2020•四川阿坝•中考真题）如图，有一张长方形片4BC£>,A8=8cm,3c=10cm.点E为CO上一

点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边BC’恰好经过点D,则线段DE的长为cm.

B'

【分析】根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在中，由勾股定理求出夕。的长，则可得出

C'。的长，再在RSECO利用勾股定理进行计算即可求DE的长.

【详解】解：：四边形ABCD是长方形，

AD=BC=10,CD=AB=8,ZB=ZC=90°.

根据折叠的性质，得AB=A£=8,CE=C'E=8-DE,B'C'=CB=10,ZB,=ZB=90°.

在Rt△他刀中,由勾股定理，得B，D=，AD2_ABa=6.

C'£>=10-6=4.

在RSEC,。中,由勾股定理，得CE+C'。？=£>62.

A(8-DE)2+42=DE2.

解得DE=5.

故答案是：5.

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键.

14.(2020.广西贺州.统考中考真题)如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC,8力相交于点O,

AC=6△,3。=6,点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则9+PE的最小值为.

【答案】36

【分析】连接。E,依据菱形的性质即可计算得到QE的长，再根据线段的性质，即可得到PC+PE的最小

值为OE的长.

【详解】如图，连接。E,

D

AEB

:四边形ABC。是菱形，对角线AC,2。相交于点O,AC=6BBD=6,

：.AO=-AC=3>/3,BO=-BD=3,AC1BD,

22

；•AB=^AO-+BO2=小厨+32=6.

：.AB=AD=BD,即△的£>是等边三角形，

又是AB的中点，

/.DEJ.AB,

--S^ABCD=^ACXBD=ABXDE,

/.—x6J5x6=6xDE,

2

/.DE=3>/3,

DP+PE>DE,

：.PD+PE的最小值为DE的长，

即PD+PE的最小值为35n，

故答案为：3g.

【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，关键是掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最

短.

15.（2022•山东临沂•统考中考真题）如图，在正六边形A8COEF中，M,N是对角线8E上的两点，添

加下列条件中的一个：①BM=EN；②4FAN=4CDM；@AM=DN；④ZAMB=ADNE.能使四边形

4WDN是平行四边形的是（填上所有符合要求的条件的序号）.

【答案】①②④

【分析】根据正六边形的性质，依次结合题给的条件，先证有关三角形是否全等，再证四边形AMDV是平

行四边形.

【详解】解：由正六边形的性质知：

/ABM=NDEN,AB=DE,NBAF=NCDE,

①若BM=EN,

在△A8M和△DEN中，

BM=EN

<ZABM=ZDEN,

AB=DE

・・..ABM^DEN(SAS),

；・AM=DN,/AMB=NDNE,

：./AMN=/DNM,

：.AM//DN,

・・・四边形AMDN是平行四边形;

②若NE4N=NCE>M,贝ij

NBAN=NEDM,

在-ABN和△£)•中，

/BAN=4EDM

<AB=DE,

/ABM=ADEN

・・・/\ABN^/\DEM(ASA),

:,AN=DM,/ANM=/DMN,

：.AN//DM

...四边形AMDN是平行四边形；

③若AM=ON,结合条件AB=OE,NABM=/DEN,SSA无法证明一ABM空DEN,也就无法证明四边形

4WDN是平行四边形；

④若ZAMB=NDNE,

在AABM和ADEN中，

ZAMB=NDNE

-ZABM=ADEN,

AB=DE

:ABM"DEN（AAS）,

：.AM=DN,NAMB=NDNE,

：.ZAMN=ZDNM,

：.AM//DN,

...四边形AMDN是平行四边形；

综上所述，①②④符合题意.

故答案为：①②④.

【点睛】此题考查了正六边形的性质、全等三角形的判定以及平行四边形的判定.解题的关键是熟练运用

上述知识逐一进行判断.

16.（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，4（7,4。,可是正五边形4?。注的对角线，A£＞与CE相

交于点F.下列结论：

①CF平分NACD；②AF=2DF：③四边形ABCR是菱形：④AB:AZXEF

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④

【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和

性质，菱形的判定依次证明即可.

【详解】解：①•••正五边形"CDE,

・•・ZABC=NBCD=NCDE=ZDEA=侬'（匕3）=,AB=BC=CD=DE=AE,

5

iono_inoo

.・・ZBAC=ZBCA=NDAE=NADE=NDCE=NCED=—~~—=36°,

2

・•・XACE=\08°-ZBCA-ZDCE=36°=ZDCE,

・・・CV平分/ACD；正确；

（2）ZACE=ZDEC=36°,ZDFE=ZAFCf

：..DEFS'ACF,

,DFDE

**AF-AC*

・・・DE=AB,2AB>AC,

.DF1

••--H-，

AF2

即AF#2Z5P,故②错误；

③,/ZBAC=ZACE,ZABC+/BAD=108°+36°+36°=180°,

ABC//AD,AB//CE,

...四边形A8CF是平行四边形，

AB=BC,

四边形ABCF是菱形；正确：

④/CED=/DAE=36°,/F.DF=ZADE，

ADEFsADAE,

.DEEF

••茄一记

:.EDAE=ADEF,即A^MADEF，正确；

故答案为：①③④.

【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解

题关键.

17.（2023年河北省中考数学真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1,正六

边形边长为2且各有一个顶点在直线/上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图

2,其中，中间正六边形的一边与直线/平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中

（1）/&=度.

（2）中间正六边形的中心到直线/的距离为（结果保留根号）.

IXXlrlA图l

ffll2

【答案】302g

【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；

（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线/的距离转化为求

QN=OM+BE,再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出OM,BE即可求解.

【详解】解：（1）作图如下：

图2

根据中间正六边形的一边与直线/平行及多边形外角和，得NABC=60。,

ZA=Za=90°-60°=30°,

故答案为：30；

（2）取中间正六边形的中心为O,作如下图形，

由题意得：AG//BF,AB//GF,BF±AB,

.,・四边形ABFG为矩形，

:.AB=GF,

ABAC=ZFGH,ZABC=NGFH=90°,

RtABC^RtGFH(SAS),

:.BC=FH,

在RtZXPOE中，DE=1,PE=6,

由图1知AG=BF=2PE=24,

由正六边形的结构特征知：0M=」x2百=6,

2

BC=g（BF-CH）=6-l,

BC>/3-1./T

AB=-------------=-—=3—«3

tanZ.BACV3，

T

:.BD=2-AB=y[3-\,

又[DE=LX2=1,

2

BE=BD+DE=y/3,

ON=0M+BE=273

故答案为：2石.

【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解

直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征.

18.（2023•河南周口•河南省淮阳中学校考三模）如图，在矩形A8C0中，Afi=15,BC=20,把边AB沿

对角线B。平移，点4,U分别对应点AB,A'C+8'C的最小值为.

【答案】9^17

【分析】先证明四边形ABC。是平行四边形，作点。关于A4'的对称点），连接。。交/U'于1/，过点

ZX作O'E_LC。交C£＞的延长线于E,连接C。'交A4'于4,此时CB'+C4'的值最小，最小值为C。，通过

证明AJD^DAB,可得川=12,通过证明DEDsDAB,可得DE=《,ED'=『最后由勾股定理

即可得到答案.

【详解】解：根据题意可得：AB=Aff,AB//AS,AB=CD,AB//CD,

:.A'B'=CD,AB'//CD,

••・四边形AZ'C。是平行四边形,

:.B'C^AD,

..A'C+B'C=AC+A'£>,

如图所示，作点。关于A4'的对称点。C,连接QZT交A4'于J,过点以作。E_L8交8的延长线于E,

连接CD'^AA'^A1,此时CB'+CA的值最小，最小值为CD',

则ZA7£)=Nr)ED=N8AO=Z4DC=90°,AA//BB：,

：.D'E//AD,ZADB=ZJAD,

:._AJD^_DAB,

,^ABD=ZADJ,

ABBD

BD=dAB?+Ab2=>/152+202=25，

,DJ_20

1525

：.DJ=\2,

:.Diy=24,

VE//AD,

;"EDD=NDDA,

:.NEDD=ZABD,

:._DEDs_DAB,

DE_ED'DD'

砺~~BD

DE_ED'_24

~20"IT~25,

96

DE=—,ED'=

5

.'.C£=CZ)+DE=15+—=171

5

CD'=y/CE2+D'E2

.•.4。+夕。的最小值为9如,

故答案为：9>/17.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、轴对称的性质、矩形的性

质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、轴对称的性质、矩形的性

质，添加适当的辅助线，是解题的关键.

三、解答题

19.（2019・湖南娄底•中考真题）如图，点E、F、G、”分别在矩形A8C。的边A2、BC、CD、D4（不包括

端点）上运动，且满足A£=CG,AH^CF.

（1）求证：MEH三NCGF、

（2）试判断四边形EFG/7的形状，并说明理由.

（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形A2CD一条对角线长的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFG”是平行四边形，理由见解析；（3）四边形EFGH的周长一半大于

或者等于矩形ABC。一条对角线长度，理由见解析.

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论：

（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF,同理可得FE=HG,即可得四边形EFGH是平行四边

形；

（3）由轴对称-最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度.

【详解】解：（1）...四边形ABCD是矩形，

ZA=/C.

AE=CG

...在AAE〃与ACG尸中，-ZA=ZC,

AH=CF

：.^AEH三ACGF(SAS):

(2；•由(1)知，AAEH三ACGF(SAS),则E〃=GF,同理证得AEBF=△G£>4(SAS),则"=GH,

四边形EFGH是平行四边形；

(3)四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度.

理由如下：作G关于BC的对称点G，，连接EG，，可得EG，的长度就是EF+FG的最小值.

连接AC,

VCG,=CG=AE,AB〃CG1

四边形AEG-C为平行四边形，

；.EG，=AC.

在AEFG冲，：EF+FG2EG，=AC,

...四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度.

【点睛】考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质.灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键.

20.(2019•江苏常州•统考中考真题)【阅读】：数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的

内角和等)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做

富比尼原理，是一种重要的数学思想.

【理解】：(1)如图，两个边长分别为。、b,。的直角三角形和一个两条直角边都是。的直角三角形拼成

一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

(2)如图2,“行〃列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：”2=

♦♦••

••;••

•••:••

•♦••

♦•：••

••:•

•

【运用】：（3）〃边形有〃个顶点，在它的内部再回加个点，以（“+〃）个点为顶点，把“边形剪成若干个

三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形.当〃=3,机=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角

形，所以y=7.

①当“=4,6=2时，如图，y-；当〃=5,"?=时，＞=9；

②对于一般的情形，在"边形内画"，个点，通过归纳猜想，可得y=（用含加、〃的代数式表示）.请

对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.

【答案】（1）见解析，故结论为：直角长分别为。、分斜边为c的直角三角形中/+从=°2；（2）

1+3+5+7++2”一1；（3）①6,3：②〃+2（机一1）,见解析.

【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出

方程并整理.

（2）由图可知”行w列的棋子排成一个正方形棋子个数为每层棋子分别为1,3,5,7,

2n-l.故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答.

（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论.

【详解】（1）有三个RfA其面积分别为《必，（必和

222

直角梯形的面积为:.

由图形可知：一（〃+〃）（〃+/?）=—cib4—abH—c2

2'八'222

2222

整理得（。+=2ab+cfa+b+2ab=2ab+c,

a2+b2=c2.

故结论为：直角长分别为。、8斜边为。的直角三角形中=02.

（2）〃行"列的棋子排成一个正方形棋子个数为I,每层棋子分别为1,3,5,7,…，2n-l.

由图形可知：/72=1+3+5+7++2n-l.

故答案为1+3+5+7++2n-l.

（3）①如图，当〃=4,〃?=2时，y=6,

如图，当〃=5,%=3时，y=9.

②方法1.对于一般的情形，在〃边形内画机个点，第一个点将多边形分成了“个三角形，以后三角形

内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y=〃+2（帆-1）.

方法2.以AABC的二个顶点和它内部的加个点，共（〃任3）个点为顶点，可把A43c分割成3+2（m-1）

个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的，〃个点，共（加+4）个点为顶点，可把四边形分

割成4+2（,”-1）个互不重叠的小三角形.故以“边形的〃个顶点和它内部的机个点，共（“+鹿）个点作为

顶点，可把原n边形分割成个互不重叠的小三角形.故可得丫=〃+2（帆-1）.

故答案为①6,3；②〃+2（机-1）.

【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键.

21.（2019•广西玉林•统考中考真题）如图，在正方形ABCO中，分别过顶点8,D作BE。尸交对角线

AC所在直线于E,F点,并分别延长尸。到点H,G,使B〃=DG,连接EG,FH.

（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；

（2）已知：AB=2g，EB=4,tanNGEH=26,求四边形EHFG的周长.

GD

【答案】（1）见解析；（2）四边形E"/G的周长=10+2何.

【分析】（1）根据正方形的性质证明=再根据平行四边形的判定即可求解；

（2）连接5Q,交EF于0,根据正方形的性质求得ADaFMO石，得到OF,OE,EF,FM,EM的长，过尸

作功;，即于M,交所的延长线于M,根据三角函数求出HM=1,再根据勾股定理求出

FH=>JFM2+HM2=7（2>/3）24-12=Vi3，即可求出四边形的周长.

【详解】（1）,・•四边形A8CZ）是正方形，

:・AB=CD,AB//CD,

：./DCA=/BAC,

■:DF//BE,

：.ZCFD=ZBEA,

,/ABAC=ZBEA+ZABE,ZDCA=/CFD+/CDF,

：.ZABE=/CDF,

在石和△CO/7中，

/ABE=NCDF

・；［ZAEB=NCFD,

AB=CD

：.MBE^ACDF（A4S）,

；・BE=DF,

,:BH=DG,

・•・BE+BH=DF+DG,

即M=G/，

■:EHHGF,

・・・四边形EHFG是平行四边形；

（2）如图，连接3。，交EF于O,

・・•四边形A5C。是正方形，

:.BDLAC,

，NAO8=90,

*.*AB=2日

・・・OA=OB=2,

RtABOE中，EB=4,

，4OEB=3。,

・•・EO=25

・：OD=OB,/EOB=NDOF,

,:DFEBt

：.ZDFC=ZBEAf

：.ADOF三MOE(AAS),

OF=OE=26

：.EF=46，

:.FM=26,EM=6,

过/作RW_LEW于M,交四的延长线于M,

・.・EGFH,

:・/FHM=NGEH,

tanZGEH=tan/FHM==2G,

HM

'需=25

：.HM=1,

：.EH=EM-HM=6-1=5,FH=JFM'HM?=g厨+『=9，

...四边形的周长=2£¥/+2尸//=2、5+2炳=10+2万.

【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与

性质及三角函数的应用.

22.(2020•广西贺州・统考中考真题)如图，已知在AABC中AB=AC,是BC边上的中线，E,G分别是

AC,£>C的中点，F为。E延长线上的点，ZFCA=ZCEG.

(1)求证：AZ)〃CF；

(2)求证：四边形ADCF是矩形.

aDGC

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)先证EG是△△(；£»的中位线，WEG//AD,再由NFCA=/CEG证出EG〃CF,即可得出结

论；

(2)先证AAOE丝△CFE(AAS),得AD=CF,则四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的在得/

ADC=90°,即可得出结论.

【详解】解：(1)证明：G分别是AC,DC的中点，

；.EG是△/!CD的中位线，

S.EG//AD,

ZFCA=ZCEG,

：.EG//CF,

：.AD//CF；

(2)证明：由(1)得：AD//CF,

：.NDAE=ZFCE,ZADE=ZCFE,

是AC的中点，

.'.AE—CE,

：.^ADE^/\CFE(AAS),

：.AD=CF,

...四边形AOCF是平行四边形，

又：AB=AC,AO是8c边上的中线,

：.AD±BC,

：./ADC=90°,

平行四边形AOCF是矩形.

【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性

质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键.

23.（2023年吉林省长春市中考数学真题）将两个完全相同的含有30。角的直角三角板在同一平面内按如图

所示位置摆放•点4,E,B,。依次在同一直线上，连结AF、CD.

（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；

（2）已知BC=6cm,当四边形AFDC是菱形时.A。的长为cm.

【答案】（1）见解析；

⑵18

【分析】（1）由题意可知△ACB丝△£>££易得AC=DE,NC4B=NFDE=30。即AC〃。/7,依据一组对

边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；

（2）如图，在R14AC8中，由30。角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得

AB=28C=12cm,ZAfiC=60°；由菱形得对角线平分对角得=/曲=30。，再由三角形外角和易

证ZBCD=ZCDA即可得BC=8。=6cm,最后由AD=AB+求解即可.

【详解】（1）证明：由题意可知AAC哙ADFE,

：.AC=DF,NC4B=NFDE=30。，

\AC//DF,

•••四边形AFC心地平行四边形；

（2）如图，在RtZk4C8中，ZACB=90°,ZCAB=30°,BC=6cm,

.•.43=28C=12cm,ZABC=60°,

四边形AFDC是菱形，

..4）平分/8尸，

:.ZCDA=ZFDA=30°,

ZABC=ZCDA+/BCD,

ZBCD=ZABC-ZCDA=60°-30°=30°,

:.ZBCD^ZCDA,

BC=BD=6cm,

:.AD^AB+BD=\Scm,

故答案为：18.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30。角所对的直角边等于斜边

的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解.

24.（2023年山西省中考数学真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相

应任务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1，在四边形ABC。中，点E,£G,〃分别是边48,BC,8,D4的中点，顺次连接

E,F,G,H,得到的四边形EFG"是平行四边形.

图1

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形ERG”被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

1722）是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接AC,分别交于点P,Q,过点。作DW上AC于点M,交法于点N.

•••”，6分别为4。（。的中点，；.〃6〃4（7,"6=,4（7.（依据1）

2

图2

.DN_=DG...DG=GC,:.DN=NM==DM.

NMGC2

:四边形EFG”是瓦里尼翁平行四边形，〃GF,即HP〃GQ.

HG//AC,即HG//PQ,

四边形"PQG是平行四边形.（依据2）••.S“WG="G-MN=；HG-DM.

VS^ADC=^ACDM=HGDM,：.SIIPQC=|.同理，…

任务：

⑴填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：.

（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形使得四边形

EFGH为矩形;（要求同时画出四边形ABCD的对角线）

（3）在图1中，分别连接AC,得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFG”的周长与对角线AC,8。长度

的关系，并证明你的结论.

图3

【答案】（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的

定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）

（2）答案不唯一，见解析

（3）平行四边形£打汨的周长等于对角线AC与3。长度的和，见解析

【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；

（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；

（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得她结

论.

【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）

平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）

（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可.例

如：如图即为所求

B

C

（3）瓦里尼翁平行四边形EFG”的周长等于四边形48。的两条对角线AC与8。长度的和,

证明如下：•••点E,F,G,"分别是边AB,BC,CD,94的中点,

EF^^AC,GH.

EF+GH=AC.

同理由+FG=3£>.

，四边形EFGH的周长uEF+G/y+EH+BGuAC+B。.

即瓦里尼翁平行四边形EFG”的周长等于对角线AC与8。长度的和.

【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线.熟练掌握三角形中位线定理是解题的

关键.

25.（2023年北京市中考数学真题）如图，在YA8CD中，点E,尸分别在BC,4。上，BE=DF,

AC=EF.

（1）求证：四边形AEC/是矩形;

（2）AE=BE,AB=2,timZACB=-,求BC的长.

【答案】（1）见解析

⑵30

【分析】（1）利用平行四边形的性质求出AF=EC,证明四边形AEb是平行四边形，然后根据对角线相

等的平行四边形是矩形得出结论：

（2）证明q/WE是等腰直角三角形，可得=然后再解直角三角形求出EC即可.

【详解】（1）证明：•••四边形AB8是平行四边形，

AAD=BC,AD//BC,

'：BE=DF,

AF=EC,

四边形AEC尸是平行四边形，

AC=EF,

.♦•平行四边形4EC尸是矩形；

（2）解：由（1）知四边形A£CF是矩形，

ZAEC=ZAEB=9Q°,

VAE=BE,AB=2,

是等腰直角三角形，

AE=BE=^AB=母,

2

AI7\

又•.・tanNAC3=—=—，

EC2

,V2_1

••=—,

EC2

,EC=2近,

.*•BC=BE+EC=6+2丘=3丘.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定

定理和性质定理是解题的关键.

26.（2020•广西贵港•中考真题）已知：在矩形A8CD中，AB=6,A£>=2百，尸是BC边上的一个动点，

将矩形ABC。折叠，使点A与点尸重合，点O落在点G处，折痕为EF.

（1）如图1,当点尸与点C重合时，则线段,EF=；

(2)如图2,当点尸与点B,C均不重合时，取EF的中点0,连接并延长P。与G尸的延长线交于点

M,连接PF,ME,MA.

①求证：四边形MEP尸是平行四边形：

②当tanNM4£>=；时，求四边形MEPF的面积.

图1