2023-2024学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足1+2z1−z=i，则z=(

)A.15+35i B.152.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为x：3：5.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，C种型号产品有40件，(

)A.x=2，n=24 B.x=16，n=24

C.x=2，n=80 D.x=16，n=803.设x∈R，向量a=(x,1)，b=(2,4)，且a⊥b，则A.41 B.552 C.4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=15°，∠CBD=30°，CD=102m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB=(

)A.302m

B.203m5.某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人数是(

)A.45 B.50 C.55 D.606.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1=2,D,E分别为棱BC，BB1的中点，FA.66

B.34

C.7.如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的体积为(

)A.676π3cm3

B.8788π3c8.在△ABC中，A，B，C所对的边长为a，b，c，△ABC的面积为S，若b2+2c2=4aA.32 B.33 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下面四个命题中正确的是(

)A.z=i−2对应的点在第二象限

B.若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2−

C.方程x2−2x+3=010.设a，b是互相垂直的单位向量，AB=λa+2b，ACA.若点C在线段AB上，则λ=2

B.若AB⊥AC，则λ=23

C.当λ=1时，与AB共线的单位向量是55a+25511.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为2，M是侧面ADD′A′上的一个动点(含边界)，点P在棱CC′上，则下列结论正确的有(

)A.若|PC′|=1，沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为17

B.若|PC′|=1，三棱锥B′−ABP的外接球表面积为41π4

C.若|PC′|=12，BD′⊥PM，则点M的运动轨迹长度为322

D.若|PC′|=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且面积为S，若bcosC+ccosB=2acosA，S=14(b13.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，DD1AE+CF=8.点P在棱AA1上，且AP=2，若EF//平面PBD，则CF=14.南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅．开平方得积．现设△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为面积，则“三斜求积术”可用公式S=14[c2a2−(c2+a四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

(1)证明：DN//平面PMB

(2)证明：平面PMB⊥平面PAD．16.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．A∈(0,π2),3sinA+cosA=3．

(1)求tan2A的值；

(2)若b=2317.(本小题12分)

如图，四棱锥C−AEFB中，底面AEFB为直角梯形，且∠FBA=∠EAB=90°，平面AEFB⊥平面ABC，BF=BC=6，AB=AC=5，四棱锥C−AEFB的体积为32．

(1)求AE长；

(2)若M为EF中点，求直线CF与平面AMC所成角的正弦值．18.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从下列三个条件中选择一个并解答问题：

①2cosAbc=cosBab+cosCac；②cosC−3sinC=b−2ca；③a2−c2+19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．

(1)证明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5，PD=1，

(i)求二面角P−DM−B的余弦值；

(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．

参考答案1.C

2.C

3.D

4.D

5.B

6.A

7.B

8.C

9.AD

10.ABD

11.BCD

12.5π1213.2

14.915.解：(1)证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，

因为M、N分别是棱AD、PC中点，

所以QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ．

DN//MQMQ⊆平面PMBDN⊄平面PMB⇒DN//平面PMB．

(2)PD⊥平面ABCDMB⊆平面ABCD⇒PD⊥MB，

又因为底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，且M为AD中点，

16.解：(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．A∈(0,π2),3sinA+cosA=3，

则sin(A+π6)=32，

又A+π6∈(π6,2π3)，

则A+π6=π3，

即A=π6，

则tan2A=3；

(2)已知b=23，a=2，17.解：(1)四棱锥C−AEFB中，底面AEFB为直角梯形，且∠FBA=∠EAB=90°，

平面AEFB⊥平面ABC，BF=BC=6，AB=AC=5，四棱锥C−AEFB的体积为32，

取BC中点O，连AO，∵AB=AC=5，∴AO⊥BC，BC=6，∴AO=4，

过点C作CH⊥AB，H为垂足，∵平面AEFB⊥平面ABC，

平面AEFB∩平面ABC=AB，

∴CH⊥平面AEFB，

CH=2S△ABCAB=2×6×45=245，

VC−AEFB=13×(BF+AE)⋅AB2⋅CH=(6+AE)×56×245=32，

∴AE=2．

(2)如图，以O为原点，OC，OA所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系．

由题意得FB⊥平面ABC，

C(3,0,0)，A(0,4,0)，F(−3,0,6)，E(0,4,2)，

∴M(−32,2,4)，

设平面AMC的法向量为n=(x,y,z)，18.解：(1)选①，∵2cosAbc=cosBab+cosCac，

∴2acosAabc=ccosBabc+bcosCabc，即2acosA=ccosB+bcosC，

∴2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA，

∵sinA≠0，

∴2cosA=1，即cosA=12，

∵A∈(0,π)，

∴A=π3；

选②，cosC−3sinC=b−2ca，

则acosC−3asinC=b−2c，

由正弦定理可得，sinAcosC−3sinAsinC=sinB−2sinC=sin(A+C)−2sinC=sinAcosC+cosAsinC−2sinC，

∴−3sinAsinC=cosAsinC−2sinC，

∵sinC≠0，

∴3sinA+cosA=2，化简整理可得，sin(A+π6)=1，

∵A∈(0,π)，

∴A=π3；

选③，a219.(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：

∵M为棱PC的中点，

∴MN/​/CD，MN=12CD，

∵AB/​/CD，AB=12CD，

∴AB/​/MN，AB=MN，

∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM/​/AN，

又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，

∴BM//平面PAD；

(2)解：∵PC=5，PD=1，CD=2，

∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，

PD⊂平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，

∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0