7.7空间向量的概念及运算

7.7空间向量的概念及运算课标要求精细考点素养达成1.了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直空间向量基本定理与坐标表示及空间向量的线性运算通过空间向量基本定理与坐标表示及空间向量的线性运算,培养学生的直观想象、数学运算素养共线、共面向量定理及应用通过共线、共面向量定理的应用,培养学生的直观想象、数学运算素养空间向量的数量积及其应用通过空间数量积及其应用,培养直观想象、数学运算素养1.(概念辨析)(多选)下列说法正确的有().A.若AB∥CD,则AB∥CDB.若AB与CD异面,则AB与CD异面C.若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0D.A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若OP=34OA+182.(对接教材)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为棱CC1上任意一点.(1)向量AM在平面ABC上的投影向量为,AM·BC=;

(2)向量AM在直线BC上的投影向量为,AM·BC=.

3.(对接教材)若{a,b,c}为空间向量的一个基底,则下列各项中,能构成空间向量的基底的一组向量是().A.{a,a+b,ab} B.{b,a+b,ab}C.{c,a+b,ab} D.{a+b,ab,a+2b}4.(易错自纠)(多选)下列各组向量中,是平行向量的是().A.a=(1,2,2),b=(2,4,4)B.c=(1,0,0),d=(3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(2,3,5),h=(16,24,40)5.(真题演练)(2023·新高考Ⅰ卷改编)已知向量a=(1,1,1),b=(1,1,2),若(a+λb)⊥(a+μb),则().A.λ+μ=1 B.λ+μ=1C.μλ=12 D.μλ=空间向量的线性运算典例1如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D(1)AP;(2)A1N;(3)MP+1.线性运算要熟练掌握运算法则和运算律.2.用基向量表示指定向量的方法(1)结合图形找出已知向量和所求向量的联系;(2)利用三角形法则、平行四边形法则和多边形法则;(3)先把所求向量用已知基向量表示出来,再用待定系数法求出线性表达式.训练1(多选)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,ON=23OM,设OA=a,OB=b,OC=A.OM=12b12cB.AN=13b+13caC.AP=14b14c34aD.OP共线、共面向量定理的应用典例2(1)若A(1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n=.

如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,D1E=kD1A,D1F=kD1B,(1)当k=34时,试用AB,AD,AA1(2)证明:E,F,G,H四点共面.证明空间四点P,M,A,B共面的方法(1)MP=xMA+yMB(x,y∈R);(2)对空间任一点O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)(x,y,z∈R);(3)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM).训练2如图所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=k(1)向量MN是否与向量AB,AA(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?空间向量的数量积及其应用典例3如图,正四面体ABCD的棱长等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(1)EG·BD;(2)EG的长;(3)向量EG与AB的夹角.(1)空间向量数量积的计算方法①定义法:设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|·cosθ.②坐标法:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2.③投影法:向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积,还等于向量a在向量b所在平面上的投影向量与向量b的数量积.(2)数量积的应用①解决垂直问题:利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.②求两向量的夹角:利用空间向量数量积求夹角.设向量a,b所成的角为θ,则cosθ=a·③求线段长度(距离):运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.训练3(1)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.①求AC1的长.②求证:AC1⊥BD.③求BD1与AC夹角的余弦值.(2)已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).①求向量AB在向量AC上的投影向量的坐标;②求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积.建立空间坐标系的原则在运用空间向量解决立体几何问题时,常常要建立空间直角坐标系,坐标系建立的是否恰当,直接影响解题的繁简程度.典例如图,在四棱锥VABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标.建立空间直角坐标系的原则(1)右手坐标系:右手拇指指向x轴正方向,右手食指指向y轴正方向,右手中指指向z轴正方向.(2)“就地取材,简单原则”①注意利用图形中的垂直关系和对称性建立坐标系;②让问题中涉及的点尽量多的放在坐标轴或坐标平面内.特别提醒(1)建系之前必须证明建系的垂直条件;(2)空间向量的坐标与坐标原点的选择无关,坐标位置不同,只会影响计算的繁简,不会影响结果.训练如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=5.设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥B1C,当线段MN最短时,求点M的坐标.一、单选题1.已知PA=(2,1,3),PB=(1,2,3),PC=(7,6,λ),若P,A,B,C四点共面,则实数λ=().A.9 B.9 C.3 D.32.已知A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2),则向量AB在AC上的投影向量的坐标是().A.16,16,-13 B.3.在四面体ABCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,AB·CD=2,则∠BAC=().A.30° B.45° C.60° D.90°4.如图,在平行六面体ABCDA'B'C'D'中,AC与BD的交点为O,点M在BC'上,且BM=2MC',则下列向量中与OM相等的向量是().A.12AB+76AD+23AA'B.C.12AB+16AD+23AA'二、多选题5.若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量组也可以作为空间一个基底的是().A.{a+c,b,ac} B.{a+b,b,ab}C.{ab,bc,c} D.{a+c,b,abc}如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,则下列说法正确的是().A.AC1=66B.AC1⊥DBC.向量B1C与AA1三、填空题7.若空间中三点A(1,5,2),B(2,4,1),C(p,3,q)共线,则p+q=.

8.已知MN是正方体内切球的一条直径,点P在正方体的表面运动,正方体的棱长为2,则PM·PN的取值范围为.

四、解答题9.已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c.(1)求向量a,b,c的坐标;(2)求a+c与b+c所成角的余弦值.10.如图,四边形ABCD和ADPQ均是边长为2的正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,当cosθ最大时,求EM在平面ABCD上的投影向量的模.11.设{a,b,c}为空间一组基底,若向量p=xa+yb+zc,则向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(x,y,z).若q在基底{a,b,c}下的坐标为(1,3,3),则向量q在基底{